एक शंकु घूर्णन के स्थानिक आंकड़ों में से एक है, जिसकी विशेषताओं और गुणों का अध्ययन स्टीरियोमेट्री द्वारा किया जाता है। इस लेख में, हम इस आंकड़े को परिभाषित करेंगे और एक शंकु के रैखिक मापदंडों को उसके सतह क्षेत्र और आयतन से जोड़ने वाले बुनियादी सूत्रों पर विचार करेंगे।
शंकु क्या है?
ज्यामिति के दृष्टिकोण से, हम एक स्थानिक आकृति के बारे में बात कर रहे हैं, जो एक सपाट सपाट वक्र के सभी बिंदुओं के साथ अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु को जोड़ने वाले सीधे खंडों के एक समूह द्वारा बनाई गई है। यह वक्र एक वृत्त या दीर्घवृत्त हो सकता है। नीचे दिया गया चित्र एक शंकु को दर्शाता है।
प्रस्तुत आकृति में कोई आयतन नहीं है, क्योंकि इसकी सतह की दीवारों की मोटाई बहुत कम है। हालांकि, अगर यह एक पदार्थ से भरा है और ऊपर से एक वक्र द्वारा नहीं, बल्कि एक सपाट आकृति से घिरा हुआ है, उदाहरण के लिए, एक सर्कल, तो हमें एक ठोस वॉल्यूमेट्रिक शरीर मिलेगा, जिसे आमतौर पर शंकु भी कहा जाता है।
शंकु का आकार अक्सर जीवन में पाया जा सकता है। तो, इसमें एक आइसक्रीम कोन या धारीदार काले और नारंगी यातायात शंकु हैं जो यातायात प्रतिभागियों का ध्यान आकर्षित करने के लिए सड़क पर लगाए जाते हैं।
शंकु के तत्व और उसके प्रकार
चूंकि शंकु एक बहुफलक नहीं है, इसलिए इसे बनाने वाले तत्वों की संख्या बहुफलक जितनी बड़ी नहीं है। ज्यामिति में, एक सामान्य शंकु में निम्नलिखित तत्व होते हैं:
- आधार, जिसके बाउंडिंग कर्व को डायरेक्ट्रिक्स या जेनेट्रिक्स कहा जाता है;
- पार्श्व सतह का, जो कि गाइड वक्र के शीर्ष और बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा खंडों (जेनरेटिस) के सभी बिंदुओं का संग्रह है;
- वर्टेक्स, जो जनरेटियों का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
ध्यान दें कि शीर्ष आधार के तल में नहीं होना चाहिए, क्योंकि इस मामले में शंकु एक सपाट आकृति में बदल जाता है।
यदि हम ऊपर से आधार तक एक लम्बवत खंड खींचते हैं, तो हमें आकृति की ऊँचाई प्राप्त होगी। यदि अंतिम आधार ज्यामितीय केंद्र पर प्रतिच्छेद करता है, तो यह एक सीधा शंकु है। यदि लंबवत आधार के ज्यामितीय केंद्र के साथ मेल नहीं खाता है, तो आकृति झुकी हुई होगी।
सीधे और तिरछे शंकु चित्र में दिखाए गए हैं। यहाँ, शंकु के आधार की ऊँचाई और त्रिज्या को क्रमशः h और r द्वारा दर्शाया गया है। आकृति के शीर्ष और आधार के ज्यामितीय केंद्र को जोड़ने वाली रेखा शंकु की धुरी है। आकृति से यह देखा जा सकता है कि एक सीधी आकृति के लिए, ऊँचाई इस अक्ष पर होती है, और एक झुकी हुई आकृति के लिए, ऊँचाई अक्ष के साथ एक कोण बनाती है। शंकु की धुरी को अक्षर a. द्वारा दर्शाया गया है
गोल आधार के साथ सीधा शंकु
शायद, यह शंकु आंकड़ों के माने जाने वाले वर्ग में सबसे आम है। इसमें एक वृत्त और एक भुजा होती हैसतहें। इसे ज्यामितीय विधियों से प्राप्त करना कठिन नहीं है। ऐसा करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज लें और इसे एक पैर के साथ मेल खाने वाली धुरी के चारों ओर घुमाएं। जाहिर है, यह पैर आकृति की ऊंचाई बन जाएगा, और त्रिभुज के दूसरे पैर की लंबाई शंकु के आधार की त्रिज्या बनाती है। नीचे दिया गया आरेख प्रश्न में घूर्णन आकृति प्राप्त करने के लिए वर्णित योजना को दर्शाता है।
चित्रित त्रिभुज को दूसरे पैर के चारों ओर घुमाया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप एक बड़ा आधार त्रिज्या और पहले वाले की तुलना में कम ऊंचाई वाला एक शंकु बन जाएगा।
गोल सीधे शंकु के सभी मापदंडों को स्पष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए, इसकी किन्हीं दो रैखिक विशेषताओं को जानना चाहिए। उनमें से, त्रिज्या r, ऊँचाई h या जेनरेट्रिक्स g की लंबाई प्रतिष्ठित हैं। ये सभी मात्राएँ समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं, इसलिए पाइथागोरस प्रमेय उनके कनेक्शन के लिए मान्य है:
जी2=आर2+ एच2।
सतह क्षेत्र
किसी त्रि-आयामी आकृति की सतह का अध्ययन करते समय, इसके विकास को समतल पर उपयोग करना सुविधाजनक होता है। शंकु कोई अपवाद नहीं है। एक गोल शंकु के लिए, विकास नीचे दिखाया गया है।
हम देखते हैं कि आकृति के खुलने में दो भाग होते हैं:
- वह वृत्त जो शंकु का आधार बनाता है।
- वृत्त का त्रिज्यखंड, जो आकृति की शंक्वाकार सतह है।
एक वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करना आसान है, और संबंधित सूत्र प्रत्येक छात्र को ज्ञात होता है। परिपत्र क्षेत्र के बारे में बोलते हुए, हम ध्यान दें कि यहत्रिज्या g (शंकु के जनक की लंबाई) वाले एक वृत्त का भाग है। इस त्रिज्यखंड के चाप की लंबाई आधार की परिधि के बराबर है। ये पैरामीटर इसके क्षेत्र को स्पष्ट रूप से निर्धारित करना संभव बनाते हैं। संबंधित सूत्र है:
S=pir2+ pirg.
व्यंजक में पहले और दूसरे पद क्रमशः आधार के शंकु और क्षेत्रफल की पार्श्व सतह हैं।
यदि जनरेटर जी की लंबाई अज्ञात है, लेकिन आकृति की ऊंचाई एच दी गई है, तो सूत्र को फिर से लिखा जा सकता है:
S=pir2+ pir√(r2+ h2).
आकृति का आयतन
यदि हम एक सीधा पिरामिड लें और उसके आधार की भुजाओं की संख्या को अनंत पर बढ़ा दें, तो आधार का आकार एक वृत्त की ओर होगा, और पिरामिड की पार्श्व सतह शंक्वाकार सतह के पास जाएगी। ये विचार हमें शंकु के समान मान की गणना करते समय पिरामिड के आयतन के सूत्र का उपयोग करने की अनुमति देते हैं। एक शंकु का आयतन सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है:
वी=1/3एचएसओ।
यह सूत्र हमेशा सत्य होता है, भले ही शंकु का आधार कुछ भी हो, जिसका क्षेत्रफल So है। इसके अलावा, सूत्र परोक्ष शंकु पर भी लागू होता है।
चूंकि हम एक गोल आधार के साथ एक सीधी आकृति के गुणों का अध्ययन कर रहे हैं, हम इसका आयतन निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित व्यंजक का उपयोग कर सकते हैं:
वी=1/3एचपीआईआर2।
सूत्र स्पष्ट है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करने की समस्या
मान लीजिए एक शंकु दिया गया है, जिसकी त्रिज्या 10 सेमी है, और जेनरेटर की लंबाई 20 हैइस आकृति के लिए आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल निर्धारित करने की आवश्यकता देखें।
क्षेत्र S की गणना करने के लिए, आप तुरंत ऊपर लिखे सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। हमारे पास है:
S=pir2+ pirg=942 सेमी2।
मात्रा निर्धारित करने के लिए, आपको आकृति की ऊंचाई h जानने की आवश्यकता है। हम शंकु के रैखिक मापदंडों के बीच संबंध का उपयोग करके इसकी गणना करते हैं। हमें मिलता है:
एच=√(जी2- आर2)=(202- 102) 17, 32 सेमी.
अब आप V के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:
V=1/3hpir2=1/317, 323, 14102 ≈ 1812, 83सेमी3.
ध्यान दें कि एक गोल शंकु का आयतन उस बेलन का एक तिहाई होता है जिसमें वह खुदा होता है।
