पब्लिक चॉइस थ्योरी के विरोधाभास को पहली बार 1785 में मार्क्विस कोंडोरसेट द्वारा वर्णित किया गया था, जिसे अमेरिकी अर्थशास्त्री के. एरो द्वारा पिछली शताब्दी के 50 के दशक में सफलतापूर्वक सामान्यीकृत किया गया था। सामूहिक निर्णय सिद्धांत में एरो का प्रमेय एक बहुत ही सरल प्रश्न का उत्तर देता है। मान लें कि राजनीति, सार्वजनिक परियोजनाओं, या आय वितरण में कई विकल्प हैं, और ऐसे लोग हैं जिनकी प्राथमिकताएं उन विकल्पों को निर्धारित करती हैं।
सवाल यह है कि गुणात्मक रूप से चुनाव के निर्धारण के लिए कौन सी प्रक्रियाएं मौजूद हैं। और वरीयताओं के बारे में कैसे जानें, विकल्पों के सामूहिक या सामाजिक क्रम के बारे में, सर्वोत्तम से सबसे खराब तक। इस सवाल के ऐरो के जवाब ने कई लोगों को चौंका दिया।
एरो का प्रमेय कहता है कि ऐसी कोई प्रक्रिया नहीं है - किसी भी मामले में, वे लोगों की कुछ और काफी उचित प्राथमिकताओं के अनुरूप नहीं हैं।एरो का तकनीकी ढांचा, जिसमें उन्होंने सामाजिक अनुबंध की समस्या को स्पष्ट अर्थ दिया, और उनकी कठोर प्रतिक्रिया अब सामाजिक अर्थशास्त्र में समस्याओं का अध्ययन करने के लिए व्यापक रूप से उपयोग की जाती है। प्रमेय ने ही आधुनिक लोक चयन सिद्धांत का आधार बनाया।
पब्लिक चॉइस थ्योरी
एरो के प्रमेय से पता चलता है कि यदि मतदाताओं के पास कम से कम तीन विकल्प हैं, तो कोई चुनावी प्रणाली नहीं है जो व्यक्तियों की पसंद को जनमत में बदल सके।
चौंकाने वाला बयान अर्थशास्त्री और नोबेल पुरस्कार विजेता केनेथ जोसेफ एरो का आया, जिन्होंने अपनी पीएचडी थीसिस में इस विरोधाभास का प्रदर्शन किया और अपनी 1951 की पुस्तक सोशल चॉइस एंड इंडिविजुअल वैल्यूज में इसे लोकप्रिय बनाया। मूल लेख का शीर्षक "सामाजिक सुरक्षा अवधारणा में कठिनाइयाँ" है।
एरो के प्रमेय में कहा गया है कि एक चुनावी प्रणाली को ऐसे क्रम से डिजाइन करना असंभव है जो हमेशा उचित मानदंडों को पूरा करे:
- जब कोई मतदाता Y के ऊपर वैकल्पिक X को चुनता है, तो मतदाताओं का समुदाय Y की तुलना में X को पसंद करेगा। यदि प्रत्येक मतदाता X और Y की पसंद अपरिवर्तित रहती है, तो समाज X और Y का चुनाव होगा वही अगर मतदाता X और Z, Y और Z, या Z और W के अन्य जोड़े चुनते हैं।
- कोई "पसंद का तानाशाह" नहीं है क्योंकि एक मतदाता किसी समूह की पसंद को प्रभावित नहीं कर सकता।
- मौजूदा चुनावी प्रणाली आवश्यक आवश्यकताओं को कवर नहीं करती है क्योंकि वे सामान्य रैंक की तुलना में अधिक जानकारी प्रदान करती हैं।
राज्य सामाजिक प्रबंधन प्रणाली
यद्यपि अमेरिकी अर्थशास्त्री केनेथ एरो को अर्थशास्त्र में नोबेल पुरस्कार मिला, लेकिन सामाजिक विज्ञान के विकास के लिए काम अधिक उपयोगी था, क्योंकि एरो के "इम्पॉसिबिलिटी थ्योरम" ने अर्थशास्त्र में एक पूरी तरह से नई दिशा की शुरुआत की - सामाजिक पसंद. यह उद्योग विशेष रूप से सार्वजनिक सामाजिक प्रबंधन प्रणालियों के क्षेत्र में संयुक्त निर्णयों को अपनाने का गणितीय विश्लेषण करने का प्रयास कर रहा है।
विकल्प कार्रवाई में लोकतंत्र है। लोग चुनाव में जाते हैं और अपनी पसंद व्यक्त करते हैं, और अंत में, संयुक्त निर्णय लेने के लिए कई लोगों की प्राथमिकताओं को एक साथ आना चाहिए। यही कारण है कि मतदान पद्धति का चुनाव बहुत महत्वपूर्ण है। लेकिन क्या वाकई एक सही वोट है? 1950 में प्राप्त एरो के सिद्धांत के परिणामों के अनुसार, उत्तर नहीं है। यदि "आदर्श" का अर्थ एक तरजीही मतदान पद्धति है जो उचित मतदान विधियों द्वारा परिभाषित मानदंडों को पूरा करती है।
पसंदीदा मतदान पद्धति रैंकिंग है, जहां मतदाता सभी उम्मीदवारों को उनकी पसंद के अनुसार रेट करते हैं, और इन रेटिंग के आधार पर, परिणाम है: लोगों की आम इच्छा से सभी उम्मीदवारों की एक और सूची प्रस्तुत की जाती है। एरो की असंभवता प्रमेय के अनुसार, एक उचित मतदान विधि निर्दिष्ट की जा सकती है:
- कोई तानाशाह (एनडी) - परिणाम हमेशा एक व्यक्ति विशेष के आकलन से मेल नहीं खाता है।
- पारेतो दक्षता (पीई) - यदि प्रत्येक मतदाता उम्मीदवार बी को उम्मीदवार ए पसंद करता है, तो परिणाम इंगित करना चाहिएउम्मीदवार A से अधिक उम्मीदवार B.
- असंगत विकल्पों की स्वतंत्रता (IIA) उम्मीदवारों A, B का सापेक्षिक स्कोर है और यदि मतदाता अन्य उम्मीदवारों के स्कोर को बदलते हैं, लेकिन A और B के अपने सापेक्ष स्कोर को नहीं बदलते हैं, तो इसे नहीं बदलना चाहिए।
एरो के प्रमेय के अनुसार, यह पता चला है कि तीन या अधिक मानदंडों के साथ चुनाव के मामले में, कोई सामाजिक पसंद कार्य नहीं हैं जो एक साथ एनडी, पीई और आईआईए के लिए उपयुक्त होंगे।
तर्कसंगत चयन प्रणाली
वरीयता एकत्रीकरण की आवश्यकता मानव जीवन के कई क्षेत्रों में प्रकट होती है:
- कल्याण अर्थशास्त्र समग्र आर्थिक स्तर पर कल्याण को मापने के लिए सूक्ष्म आर्थिक विधियों का उपयोग करता है। एक विशिष्ट पद्धति एक कल्याण कार्य को प्राप्त करने या उसका उल्लेख करने से शुरू होती है, जिसका उपयोग कल्याण के संदर्भ में संसाधनों के आर्थिक रूप से ध्वनि आवंटन को रैंक करने के लिए किया जा सकता है। इस मामले में, राज्य आर्थिक रूप से व्यवहार्य और टिकाऊ परिणाम खोजने की कोशिश कर रहे हैं।
- निर्णय सिद्धांत में, जब किसी व्यक्ति को कई मानदंडों के आधार पर तर्कसंगत चुनाव करना चाहिए।
- चुनावी प्रणालियों में, जो कई मतदाताओं की प्राथमिकताओं से एक ही समाधान खोजने के लिए तंत्र हैं।
एरो के प्रमेय की शर्तों के तहत, दिए गए पैरामीटर (परिणाम) के सेट के लिए वरीयताओं के क्रम को प्रतिष्ठित किया जाता है। समाज में प्रत्येक इकाई, या प्रत्येक निर्णय मानदंड, परिणामों के एक सेट के संबंध में वरीयता का एक निश्चित क्रम प्रदान करता है। समाज एक प्रणाली की तलाश में हैरैंकिंग-आधारित मतदान, जिसे कल्याण समारोह कहा जाता है।
यह वरीयता एकत्रीकरण नियम एक वरीयता प्रोफ़ाइल को एक वैश्विक सार्वजनिक व्यवस्था में बदल देता है। एरो के बयान में कहा गया है कि यदि एक शासी निकाय में कम से कम दो मतदाता और तीन चयन मानदंड हैं, तो एक कल्याण समारोह बनाना असंभव है जो इन सभी शर्तों को एक साथ पूरा करेगा।
व्यक्तिगत मतदाता वरीयताओं के प्रत्येक सेट के लिए, कल्याण कार्य को एक अद्वितीय और व्यापक सार्वजनिक चयन रेटिंग का प्रदर्शन करना चाहिए:
- यह इस तरह से किया जाना चाहिए कि परिणाम दर्शकों की पसंद का पूरा आकलन हो।
- निर्धारक रूप से वही अंक देना चाहिए जब मतदाताओं की प्राथमिकताएं समान हों।
अप्रासंगिक विकल्पों से स्वतंत्रता (IIA)
एक्स और वाई के बीच का चुनाव पूरी तरह से एक्स और वाई के बीच व्यक्ति की प्राथमिकताओं से जुड़ा हुआ है - एरो के "इंपॉसिबिलिटी ऑफ डेमोक्रेसी" प्रमेय के अनुसार, यह जोड़े में स्वतंत्रता (जोड़ीवार स्वतंत्रता) है। साथ ही, ऐसे समूहों के बाहर स्थित अप्रासंगिक विकल्पों के किसी व्यक्ति के आकलन में परिवर्तन इस उपसमुच्चय के सामाजिक मूल्यांकन को प्रभावित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, दो-उम्मीदवार के चुनाव में तीसरे उम्मीदवार को प्रस्तुत करने से चुनाव के परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता जब तक कि तीसरा उम्मीदवार जीत नहीं जाता।
समाज एकरसता और सामाजिक और व्यक्तिगत मूल्यों के सकारात्मक संयोजन की विशेषता है। यदि कोई व्यक्ति किसी निश्चित विकल्प को बढ़ावा देकर अपने वरीयता क्रम में परिवर्तन करता है, तो आदेशसमाज की प्राथमिकताएं बिना बदलाव के उसी विकल्प के अनुरूप होनी चाहिए। एक व्यक्ति को किसी विकल्प को अधिक कीमत देकर चोट नहीं पहुंचाना चाहिए।
असंभवता प्रमेय में नागरिक की संप्रभुता के माध्यम से समाज में दक्षता और न्याय सुनिश्चित किया जाता है। वरीयता का हर संभव सामाजिक क्रम व्यक्तिगत वरीयता आदेशों के कुछ सेट के साथ प्राप्त करने योग्य होना चाहिए। इसका मतलब है कि कल्याण कार्य विशेषण है - इसमें असीमित लक्ष्य स्थान है। एरो के प्रमेय के बाद के (1963) संस्करण ने एकरसता और गैर-अतिव्यापी मानदंड को बदल दिया।
पेरेटो। दक्षता या एकमत?
यदि प्रत्येक व्यक्ति किसी विशेष विकल्प को दूसरे से अधिक पसंद करता है, तो सामाजिक वरीयता के क्रम को भी ऐसा करना चाहिए। यह आवश्यक है कि कल्याण कार्य वरीयता प्रोफाइल के प्रति न्यूनतम रूप से संवेदनशील हो। यह बाद का संस्करण अधिक सामान्य है और इसमें कुछ कमजोर स्थितियां हैं। आईआईए के साथ एकरूपता, कोई ओवरलैप नहीं, के स्वयंसिद्ध, पारेतो दक्षता को दर्शाते हैं। साथ ही, इसका मतलब IIA ओवरलैप नहीं है और एकरसता नहीं है।
आईआईए के तीन उद्देश्य हैं:
- मानक। अप्रासंगिक विकल्प मायने नहीं रखने चाहिए।
- व्यावहारिक। न्यूनतम जानकारी का प्रयोग करें।
- रणनीतिक। व्यक्तिगत प्राथमिकताओं को सही मायने में पहचानने के लिए सही प्रोत्साहन प्रदान करना। हालांकि सामरिक उद्देश्य आईआईए से वैचारिक रूप से भिन्न है, वे निकट से संबंधित हैं।
पेरेटो दक्षता, जिसका नाम इतालवी अर्थशास्त्री और राजनीतिक वैज्ञानिक विलफ्रेडो पारेतो (1848-1923) के नाम पर रखा गया है, का उपयोग वास्तविक बाजारों की दक्षता के मूल्यांकन के लिए एक बेंचमार्क के रूप में आदर्श प्रतिस्पर्धा की सैद्धांतिक अवधारणा के साथ-साथ नवशास्त्रीय अर्थशास्त्र में किया जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि आर्थिक सिद्धांत के बाहर कोई भी परिणाम प्राप्त नहीं होता है। काल्पनिक रूप से, यदि पूर्ण प्रतिस्पर्धा मौजूद होती और संसाधनों का यथासंभव कुशलता से उपयोग किया जाता, तो सभी का जीवन स्तर उच्चतम होता, या पारेतो दक्षता।
व्यवहार में, कम से कम एक व्यक्ति की स्थिति को खराब किए बिना, आर्थिक नीति में बदलाव जैसी कोई भी सामाजिक कार्रवाई करना असंभव है, इसलिए पारेतो सुधार की अवधारणा को अर्थशास्त्र में व्यापक आवेदन मिला है। एक पारेतो सुधार तब होता है जब वितरण में परिवर्तन किसी को नुकसान नहीं पहुंचाता है और कम से कम एक व्यक्ति की मदद करता है, लोगों के समूह को माल का प्रारंभिक वितरण दिया जाता है। सिद्धांत बताता है कि पारेतो सुधार तब तक अर्थव्यवस्था में मूल्य जोड़ना जारी रखेगा जब तक कि पारेतो संतुलन नहीं हो जाता है, जब कोई और सुधार नहीं किया जा सकता है।
प्रमेय का औपचारिक कथन
चलो ए परिणाम सेट हो, एन मतदाताओं की संख्या या निर्णय मानदंड। ए से एल (ए) तक सभी पूर्ण रैखिक आदेशों के सेट को निरूपित करें। सख्त सामाजिक सुरक्षा कार्य (वरीयता एकत्रीकरण नियम) एक ऐसा कार्य है जो मतदाताओं की वरीयताओं को वरीयता के एकमुश्त क्रम में एकत्रित करता हैए.
N - एक टपल (R 1, …, R N) L (A) N मतदाताओं की वरीयता को वरीयता प्रोफ़ाइल कहा जाता है। अपने सबसे मजबूत और सरल रूप में, एरो की असंभवता प्रमेय में कहा गया है कि जब भी संभावित विकल्पों के सेट ए में 2 से अधिक तत्व होते हैं, तो निम्नलिखित तीन स्थितियां असंगत हो जाती हैं:
- एकमत, या कमजोर पारेतो दक्षता। यदि विकल्प A सभी आदेशों R 1, …, R N के लिए B से कड़ाई से ऊपर है, तो A, F (R 1, R 2, …, R N) पर B से सख्ती से ऊपर है। साथ ही, सर्वसम्मति का अर्थ है अधिरोपण का अभाव।
- गैर तानाशाही। कोई भी व्यक्ति "मैं" नहीं है जिसकी सख्त प्राथमिकताएं हमेशा प्रबल होती हैं। अर्थात्, ऐसा कोई I {1, …, N } नहीं है, जो सभी (R 1, …, R N) L (A) N के लिए, R से B से कड़ाई से ऊपर रैंक करता है। सभी ए और बी के लिए एफ (आर 1, आर 2, …, आर एन) से अधिक।
- अप्रासंगिक विकल्पों से आजादी। दो वरीयता प्रोफाइल (आर 1, …, आर एन) और (एस 1, …, एस एन) के लिए जैसे कि सभी व्यक्तियों के लिए I, विकल्प ए और बी के पास आर में एक ही क्रम है जैसा कि एस i में है, विकल्प ए और बी के पास है एफ (आर 1, आर 2, …, आर एन) में एफ (एस 1, एस 2, …, एस एन) के समान क्रम।
प्रमेय की व्याख्या
यद्यपि असंभव प्रमेय गणितीय रूप से सिद्ध है, इसे अक्सर गैर-गणितीय तरीके से इस कथन के साथ व्यक्त किया जाता है कि कोई भी मतदान पद्धति उचित नहीं है, प्रत्येक रैंक वाली मतदान पद्धति में खामियां हैं, या एकमात्र मतदान पद्धति जो गलत नहीं है वह है एक तानाशाही। ये कथन एक सरलीकरण हैंतीर का परिणाम, जिसे हमेशा सही नहीं माना जाता है। एरो के प्रमेय में कहा गया है कि एक नियतात्मक तरजीही मतदान तंत्र, यानी एक जिसमें वरीयता का क्रम मतदान में एकमात्र जानकारी है, और वोटों का कोई भी संभावित सेट एक अनूठा परिणाम उत्पन्न करता है, एक ही समय में उपरोक्त सभी शर्तों को पूरा नहीं कर सकता है।
विभिन्न सिद्धांतकारों ने विरोधाभास से बाहर निकलने के तरीके के रूप में IIA मानदंड को शिथिल करने का सुझाव दिया है। रेटिंग विधियों के समर्थकों का तर्क है कि आईआईए एक अनावश्यक रूप से मजबूत मानदंड है जिसका सबसे उपयोगी चुनावी प्रणालियों में उल्लंघन किया जाता है। इस स्थिति के समर्थकों का कहना है कि मानक आईआईए मानदंड को पूरा करने में विफलता चक्रीय प्राथमिकताओं की संभावना से तुच्छ रूप से निहित है। अगर मतदाता इस तरह वोट करते हैं:
- 1 वोट ए> बी> सी के लिए;
- B> C> A के लिए 1 वोट;
- 1 वोट C> A> B. के लिए
फिर बहुसंख्यक समूह वरीयता यह है कि A, B को हराता है, B, C को हराता है और C, A को हराता है, और इसके परिणामस्वरूप किसी भी जोड़ी की तुलना के लिए कैंची-रॉक-कैंची वरीयता होती है।
इस मामले में, कोई भी एकत्रीकरण नियम जो बुनियादी बहुमत की आवश्यकता को पूरा करता है कि सबसे अधिक वोट वाले उम्मीदवार को चुनाव जीतना होगा, आईआईए मानदंड विफल हो जाएगा यदि सामाजिक प्राथमिकताएं संक्रमणीय या चक्रीय होनी चाहिए। इसे देखने के लिए, यह माना जाता है कि ऐसा नियम IIA को संतुष्ट करता है। बहुमत की पसंद के बाद सेदेखा जाता है, समाज ए - बी (ए > बी के लिए दो वोट और बी > ए के लिए एक), बी - सी और सी - ए का समर्थन करता है। इस प्रकार, एक चक्र बनाया जाता है जो इस धारणा के विपरीत है कि सामाजिक प्राथमिकताएं संक्रमणीय हैं।
तो, एरो का प्रमेय वास्तव में यह दर्शाता है कि सबसे अधिक जीत वाली कोई भी चुनावी प्रणाली एक गैर-तुच्छ खेल है, और उस गेम थ्योरी का उपयोग अधिकांश मतदान तंत्र के परिणाम की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाना चाहिए। इसे एक निराशाजनक परिणाम के रूप में देखा जा सकता है क्योंकि खेल में कुशल संतुलन नहीं होना चाहिए, उदाहरण के लिए, मतदान से एक ऐसा विकल्प मिल सकता है जिसे कोई वास्तव में नहीं चाहता था लेकिन सभी ने मतदान किया।
वरीयता के बजाय सामाजिक पसंद
एरो के प्रमेय के अनुसार मतदान तंत्र का तर्कसंगत सामूहिक चुनाव सामाजिक निर्णय लेने का लक्ष्य नहीं है। अक्सर यह कुछ विकल्प खोजने के लिए पर्याप्त होता है। वैकल्पिक विकल्प-केंद्रित दृष्टिकोण या तो सामाजिक पसंद कार्यों की खोज करता है जो प्रत्येक वरीयता प्रोफ़ाइल को मैप करते हैं, या सामाजिक पसंद नियम, ऐसे कार्य जो प्रत्येक वरीयता प्रोफ़ाइल को विकल्पों के सबसेट में मैप करते हैं।
सामाजिक चयन कार्यों के लिए, गिबार्ड-सैटरथवेट प्रमेय सर्वविदित है, जिसमें कहा गया है कि यदि एक सामाजिक पसंद कार्य, जिसमें कम से कम तीन विकल्प शामिल हैं, रणनीतिक रूप से स्थिर है, तो यह तानाशाही है। सामाजिक पसंद के नियमों को ध्यान में रखते हुए, वे मानते हैं कि सामाजिक प्राथमिकताएं उनके पीछे खड़ी हैं।
अर्थात वे नियम को एक विकल्प मानते हैंअधिकतम तत्व - किसी भी सामाजिक वरीयता के लिए सर्वोत्तम विकल्प। अधिकतम सामाजिक वरीयता तत्वों के समूह को कोर कहा जाता है। कोर में एक विकल्प के अस्तित्व की स्थितियों का अध्ययन दो दृष्टिकोणों में किया गया था। पहला दृष्टिकोण मानता है कि प्राथमिकताएं कम से कम चक्रीय होती हैं, जो कि किसी भी परिमित उपसमुच्चय में अधिकतम तत्व रखने के लिए आवश्यक और पर्याप्त है।
इस कारण से, यह आरामदायक पारगमन से निकटता से संबंधित है। दूसरा दृष्टिकोण चक्रीय प्राथमिकताओं की धारणा को छोड़ देता है। कुमाबे और मिहारा ने इस दृष्टिकोण को अपनाया। उन्होंने अधिक सुसंगत धारणा बनाई कि व्यक्तिगत प्राथमिकताएं सबसे ज्यादा मायने रखती हैं।
सापेक्ष जोखिम से बचना
एरो प्रैट के प्रमेय में उपयोगिता फ़ंक्शन द्वारा व्यक्त जोखिम से बचने के कई संकेतक हैं। पूर्ण जोखिम से बचना - जितना अधिक वक्रता u(c), उतना ही अधिक जोखिम से बचना। हालांकि, चूंकि अपेक्षित उपयोगिता कार्यों को विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है, इन परिवर्तनों के संबंध में आवश्यक उपाय स्थिर रहता है। अर्थशास्त्रियों केनेथ एरो और जॉन डब्ल्यू प्रैट ने निरपेक्ष जोखिम से बचने के अनुपात कोके रूप में परिभाषित करने के बाद ऐसा ही एक उपाय एरो-प्रैट माप है जो पूर्ण जोखिम से बचने (एआरए) है।
ए (सी)=- {यू '' (सी)}/ {यू '(सी)}, कहां: u '(c) और u' (c) "u (c)" के "c" के संबंध में पहले और दूसरे डेरिवेटिव को दर्शाता है।
प्रयोगात्मक और अनुभवजन्य डेटा आम तौर पर पूर्ण जोखिम से बचने में कमी के अनुरूप होते हैं। सापेक्ष उपायएरो प्रैट रिस्क एविज़न (एसीआर) या रिलेटिव रिस्क एविज़न रेशियो द्वारा परिभाषित किया गया है:
आर (सी)=सीए (सी)={-क्यू '' (सी)} /{यू '(सी) आर (सी)।
जैसा कि पूर्ण जोखिम से बचने के साथ, उपयोग किए जाने वाले संबंधित शब्द निरंतर सापेक्ष जोखिम से बचने (सीआरआरए) और घटते/बढ़ते सापेक्ष जोखिम से बचने (डीआरआरए/आईआरआरए) हैं। इस मात्रा का लाभ यह है कि यह अभी भी जोखिम से बचने का एक वैध उपाय है, भले ही उपयोगिता कार्य जोखिम प्रवृत्ति से बदल जाए, अर्थात उपयोगिता सभी "सी" में सख्ती से उत्तल/अवतल नहीं है। एक स्थिर आरआरए का मतलब एरो प्रैट के सिद्धांत के एआरए में कमी है, लेकिन इसका उल्टा हमेशा सच नहीं होता है। निरंतर सापेक्ष जोखिम से बचने के एक विशिष्ट उदाहरण के रूप में, उपयोगिता फ़ंक्शन: यू (सी)=लॉग (सी), आरआरए=1.
बायां ग्राफ: जोखिम से बचने वाली उपयोगिता फ़ंक्शन नीचे से अवतल है, और जोखिम-प्रतिकूल उपयोगिता फ़ंक्शन उत्तल है। मध्य ग्राफ - अपेक्षित मानक विचलन मूल्यों के स्थान में, जोखिम उदासीनता वक्र ऊपर की ओर ढलान करता है। दायां प्लॉट - दो वैकल्पिक राज्यों 1 और 2 की निश्चित संभावनाओं के साथ, राज्य-निर्भर परिणाम जोड़े पर जोखिम-प्रतिकूल उदासीनता वक्र उत्तल हैं।
नाममात्र चुनावी प्रणाली
शुरू में, एरो ने सामाजिक कल्याण को व्यक्त करने के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण के रूप में कार्डिनल उपयोगिता को खारिज कर दिया, इसलिए उन्होंने रैंकिंग वरीयताओं पर अपने दावों को केंद्रित किया, लेकिन बाद मेंने निष्कर्ष निकाला कि तीन या चार वर्गों वाली कार्डिनल रेटिंग प्रणाली शायद सबसे अच्छी है। असंभवता प्रमेय के अनुसार, सार्वजनिक पसंद यह मानती है कि व्यक्तिगत और सामाजिक प्राथमिकताओं का आदेश दिया जाता है, अर्थात विभिन्न विकल्पों में पूर्णता और परिवर्तनशीलता के साथ संतुष्टि। इसका अर्थ यह है कि यदि वरीयताओं को उपयोगिता फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है, तो इसका मूल्य इस अर्थ में उपयोगी है कि यह समझ में आता है, क्योंकि उच्च मूल्य का मतलब बेहतर विकल्प है।
प्रमेय के व्यावहारिक अनुप्रयोगों का उपयोग मतदान प्रणालियों की व्यापक श्रेणियों का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है। एरो के मुख्य तर्क का तर्क है कि ऑर्डर वोटिंग सिस्टम को हमेशा उनके द्वारा उल्लिखित निष्पक्षता मानदंडों में से कम से कम एक का उल्लंघन करना चाहिए। इसका व्यावहारिक निहितार्थ यह है कि मतदान प्रणाली जो क्रम में नहीं हैं, उनका अध्ययन करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, रैंकिंग वोटिंग सिस्टम जहां मतदाता प्रत्येक उम्मीदवार को अंक देते हैं, तीर के सभी मानदंडों को पूरा कर सकते हैं।
वास्तव में, मतदान तंत्र, एरो की प्रमेय तर्कसंगत सामूहिक पसंद और बाद की बातचीत, मतदान के क्षेत्र में अविश्वसनीय रूप से भ्रामक थी। यह अक्सर छात्रों और गैर-विशेषज्ञों द्वारा माना जाता है कि कोई भी मतदान प्रणाली एरो के निष्पक्षता मानदंडों को पूरा नहीं कर सकती है, जब वास्तव में, रेटिंग सिस्टम एरो के सभी मानदंडों को पूरा कर सकते हैं और करते हैं।
