घूर्णन गति के गणितीय विवरण में अक्ष के परितः निकाय के जड़त्व आघूर्ण को जानना आवश्यक है। सामान्य मामले में, इस मात्रा को खोजने की प्रक्रिया में एकीकरण प्रक्रिया का कार्यान्वयन शामिल है। तथाकथित स्टीनर प्रमेय गणना करना आसान बनाता है। आइए लेख में इस पर अधिक विस्तार से विचार करें।
जड़ता का क्षण क्या है?
स्टेनर के प्रमेय का सूत्रीकरण देने से पहले, जड़त्व के क्षण की अवधारणा से निपटना आवश्यक है। मान लीजिए कि एक निश्चित द्रव्यमान और मनमाना आकार का कोई पिंड है। यह शरीर या तो एक भौतिक बिंदु या कोई द्वि-आयामी या त्रि-आयामी वस्तु (छड़ी, सिलेंडर, गेंद, आदि) हो सकता है। यदि विचाराधीन वस्तु स्थिर कोणीय त्वरण α के साथ किसी अक्ष के चारों ओर एक वृत्ताकार गति करती है, तो निम्नलिखित समीकरण लिखा जा सकता है:
एम=मैंα
यहाँ, मान M बलों के कुल आघूर्ण का प्रतिनिधित्व करता है, जो पूरे सिस्टम को त्वरण α देता है। उनके बीच आनुपातिकता के गुणांक - I को कहा जाता हैनिष्क्रियता के पल। इस भौतिक मात्रा की गणना निम्नलिखित सामान्य सूत्र का उपयोग करके की जाती है:
मैं=∫म (आर2डीएम)
यहाँ r द्रव्यमान वाले तत्व और घूर्णन अक्ष के बीच की दूरी है। इस व्यंजक का अर्थ है कि वर्ग दूरी r2 और प्राथमिक द्रव्यमान dm के गुणनफल का योग ज्ञात करना आवश्यक है। यानी जड़त्व का क्षण शरीर की शुद्ध विशेषता नहीं है, जो इसे रैखिक जड़ता से अलग करता है। यह घूमने वाली वस्तु में द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है, साथ ही धुरी से दूरी और उसके सापेक्ष शरीर के उन्मुखीकरण पर भी निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, एक छड़ का एक अलग I होगा यदि इसे द्रव्यमान के केंद्र और अंत के बारे में घुमाया जाए।
जड़ता का क्षण और स्टेनर की प्रमेय
प्रसिद्ध स्विस गणितज्ञ, जैकब स्टेनर ने समानांतर अक्षों और जड़ता के क्षण पर प्रमेय को सिद्ध किया, जो अब उनके नाम पर है। यह प्रमेय बताता है कि रोटेशन के कुछ अक्ष के सापेक्ष मनमानी ज्यामिति के किसी भी कठोर शरीर के लिए जड़ता का क्षण धुरी के बारे में जड़ता के क्षण के योग के बराबर होता है जो शरीर के द्रव्यमान के केंद्र को काटता है और पहले के समानांतर होता है, और पिंड द्रव्यमान का गुणनफल इन अक्षों के बीच की दूरी के वर्ग का गुणा है। गणितीय रूप से यह सूत्र इस प्रकार लिखा जाता है:
मैंजेड=मैंओ + एमएल2
IZ और IO - जेड-अक्ष के बारे में जड़ता के क्षण और इसके समानांतर ओ-अक्ष, जो गुजरता है शरीर के द्रव्यमान के केंद्र के माध्यम से, l - रेखाओं Z और O के बीच की दूरी।
प्रमेय IO का मान जानने के बाद, गणना करने की अनुमति देता हैकिसी अन्य क्षण IZ एक अक्ष के बारे में जो O के समानांतर है।
प्रमेय का प्रमाण
स्टाइनर प्रमेय सूत्र आप आसानी से प्राप्त कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, xy तल पर एक मनमाना निकाय पर विचार करें। मान लीजिए कि निर्देशांकों की उत्पत्ति इस पिंड के द्रव्यमान केंद्र से होकर गुजरती है। आइए जड़ता के क्षण की गणना करें IO जो xy तल के लंबवत मूल बिंदु से होकर गुजरता है। चूँकि पिंड के किसी भी बिंदु की दूरी सूत्र r=(x2 + y2) द्वारा व्यक्त की जाती है, तो हमें अभिन्न प्राप्त होता है:
मैंओ=∫म (आर2डीएम)=∫ एम ((x2+y2) डीएम)
अब एक्स-अक्ष के समानांतर अक्ष को एल दूरी से आगे बढ़ाते हैं, उदाहरण के लिए, सकारात्मक दिशा में, तो जड़त्व के क्षण की नई धुरी की गणना इस तरह दिखेगी:
मैंजेड=∫म(((x+l)2+y 2)डीएम)
कोष्ठक में पूर्ण वर्ग का विस्तार करें और समाकलों को विभाजित करें, हमें प्राप्त होता है:
मैंजेड=∫म ((x2+l 2+2xl+y2)dm)=∫m ((x2 +y2)dm) + 2l∫m (xdm) + l 2∫मडीएम
इन शब्दों में से पहला मान IO है, तीसरा पद, एकीकरण के बाद, शब्द देता है l2m, और यहाँ दूसरा पद शून्य है। निर्दिष्ट समाकल का शून्यीकरण इस तथ्य के कारण है कि यह x और द्रव्यमान तत्वों dm के गुणनफल से लिया गया है, जिसमेंऔसत शून्य देता है, क्योंकि द्रव्यमान का केंद्र मूल बिंदु पर होता है। परिणामस्वरूप, स्टीनर प्रमेय का सूत्र प्राप्त होता है।
विमान पर माना गया मामला त्रि-आयामी शरीर के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।
रॉड के उदाहरण पर स्टीनर फॉर्मूला की जांच करना
उपरोक्त प्रमेय का उपयोग करने के तरीके को प्रदर्शित करने के लिए एक सरल उदाहरण देते हैं।
यह ज्ञात है कि लंबाई L और द्रव्यमान m की एक छड़ के लिए, जड़ता का क्षण IO(धुरी द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरती है) m के बराबर है L2 /12, और जिस क्षण IZ(धुरी रॉड के सिरे से होकर गुजरती है) बराबर होता है mL 2/3. आइए स्टीनर के प्रमेय का उपयोग करके इस डेटा की जाँच करें। चूँकि दो धुरों के बीच की दूरी L/2 है, तो हमें पल IZ: मिलता है
मैंजेड=मैंओ+ मीटर(एल/2)2=mL2/12 + mL2/4=4mL2 /12=एमएल2/3
अर्थात, हमने स्टेनर सूत्र की जाँच की और स्रोत में IZ के समान मान प्राप्त किया।
समान गणना अन्य निकायों (सिलेंडर, बॉल, डिस्क) के लिए की जा सकती है, जबकि जड़त्व के आवश्यक क्षण प्राप्त करते हुए, और एकीकरण किए बिना।
जड़ता और लंबवत कुल्हाड़ियों का क्षण
माना गया प्रमेय समानांतर अक्षों से संबंधित है। जानकारी की पूर्णता के लिए, लंबवत अक्षों के लिए एक प्रमेय देना भी उपयोगी होता है। इसे निम्नानुसार तैयार किया गया है: मनमानी आकार की एक सपाट वस्तु के लिए, एक अक्ष के लंबवत जड़ता का क्षण दो परस्पर लंबवत और झूठ बोलने वाले जड़त्व के दो क्षणों के योग के बराबर होगाकुल्हाड़ियों के तल में, सभी तीन अक्ष एक ही बिंदु से गुजरते हैं। गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जाता है:
मैंz=मैंx + मैंy
यहाँ z, x, y तीन परस्पर लंबवत घूर्णन अक्ष हैं।
इस प्रमेय और स्टीनर के प्रमेय के बीच आवश्यक अंतर यह है कि यह केवल समतल (द्वि-आयामी) ठोस वस्तुओं पर लागू होता है। फिर भी, व्यवहार में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, मानसिक रूप से शरीर को अलग-अलग परतों में काटता है, और फिर जड़ता के प्राप्त क्षणों को जोड़ता है।
