पॉलीहेड्रा ने प्राचीन काल में भी गणितज्ञों और वैज्ञानिकों का ध्यान आकर्षित किया था। मिस्रवासियों ने पिरामिडों का निर्माण किया। और यूनानियों ने "नियमित पॉलीहेड्रा" का अध्ययन किया। उन्हें कभी-कभी प्लेटोनिक ठोस कहा जाता है। "पारंपरिक पॉलीहेड्रा" में सपाट चेहरे, सीधे किनारे और कोने होते हैं। लेकिन मुख्य सवाल हमेशा यह रहा है कि इन अलग-अलग हिस्सों को किन नियमों को पूरा करना चाहिए, साथ ही किसी वस्तु को पॉलीहेड्रॉन के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए किन अतिरिक्त वैश्विक परिस्थितियों को पूरा करना चाहिए। इस प्रश्न का उत्तर लेख में प्रस्तुत किया जाएगा।
परिभाषा में समस्याएं
इस आंकड़े में क्या शामिल है? एक पॉलीहेड्रॉन एक बंद ठोस आकार है जिसमें सपाट चेहरे और सीधे किनारे होते हैं। इसलिए, इसकी परिभाषा की पहली समस्या को आकृति के पक्ष कहा जा सकता है। समतल में पड़े हुए सभी चेहरे हमेशा एक बहुफलक का संकेत नहीं होते हैं। आइए एक उदाहरण के रूप में "त्रिकोणीय सिलेंडर" लें। इसमें क्या शामिल होता है? इसकी सतह का भाग तीन जोड़े मेंऊर्ध्वाधर विमानों को प्रतिच्छेद करना बहुभुज नहीं माना जा सकता है। कारण यह है कि इसका कोई शिखर नहीं है। ऐसी आकृति की सतह एक बिंदु पर मिलने वाली तीन किरणों के आधार पर बनती है।
एक और समस्या - विमान। "त्रिकोणीय सिलेंडर" के मामले में यह उनके असीमित भागों में निहित है। एक आकृति उत्तल मानी जाती है यदि समुच्चय में किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड भी उसमें हो। आइए उनके एक महत्वपूर्ण गुण को प्रस्तुत करते हैं। उत्तल समुच्चयों के लिए, यह है कि समुच्चय में उभयनिष्ठ बिंदुओं का समुच्चय समान होता है। एक और तरह के आंकड़े हैं। ये गैर-उत्तल 2D पॉलीहेड्रा हैं जिनमें या तो खांचे या छेद होते हैं।
ऐसी आकृतियाँ जो बहुफलक नहीं हैं
अंकों का एक फ्लैट सेट भिन्न हो सकता है (उदाहरण के लिए, गैर-उत्तल) और पॉलीहेड्रॉन की सामान्य परिभाषा को पूरा नहीं करता है। इसके माध्यम से भी, यह रेखाओं के वर्गों द्वारा सीमित है। उत्तल पॉलीहेड्रॉन की रेखाओं में उत्तल आकृतियाँ होती हैं। हालाँकि, परिभाषा के लिए यह दृष्टिकोण अनंत तक जाने वाले आंकड़े को बाहर करता है। इसका एक उदाहरण तीन किरणें होंगी जो एक ही बिंदु पर नहीं मिलती हैं। लेकिन साथ ही, वे किसी अन्य आकृति के शीर्षों से जुड़े होते हैं। परंपरागत रूप से, पॉलीहेड्रॉन के लिए यह महत्वपूर्ण था कि इसमें सपाट सतहें हों। लेकिन समय के साथ, अवधारणा का विस्तार हुआ, जिससे पॉलीहेड्रा के मूल "संकीर्ण" वर्ग को समझने में महत्वपूर्ण सुधार हुआ, साथ ही एक नई, व्यापक परिभाषा का उदय हुआ।
सही
आइए एक और परिभाषा पेश करते हैं। एक नियमित बहुफलक वह होता है जिसमें प्रत्येक फलक एक सर्वांगसम नियमित होता हैउत्तल बहुभुज, और सभी कोने "समान" हैं। इसका मतलब है कि प्रत्येक शीर्ष पर समान बहुभुज होते हैं। इस परिभाषा का प्रयोग करें। तो आप पाँच नियमित पॉलीहेड्रा पा सकते हैं।
पॉलीहेड्रा के लिए यूलर के प्रमेय के लिए पहला कदम
यूनानियों को बहुभुज के बारे में पता था, जिसे आज पेंटाग्राम कहा जाता है। इस बहुभुज को नियमित कहा जा सकता है क्योंकि इसकी सभी भुजाएँ समान लंबाई की हैं। एक और महत्वपूर्ण नोट भी है। दो क्रमागत भुजाओं के बीच का कोण हमेशा समान होता है। हालांकि, जब एक विमान में खींचा जाता है, तो यह उत्तल सेट को परिभाषित नहीं करता है, और पॉलीहेड्रॉन के किनारे एक दूसरे को काटते हैं। बहरहाल, ऐसा हमेशा नहीं होता। गणितज्ञों ने लंबे समय से "गैर-उत्तल" नियमित पॉलीहेड्रा के विचार पर विचार किया है। पेंटाग्राम उनमें से एक था। "स्टार पॉलीगॉन" को भी अनुमति दी गई थी। "नियमित पॉलीहेड्रा" के कई नए उदाहरण खोजे गए हैं। अब उन्हें केप्लर-पोइंसॉट पॉलीहेड्रा कहा जाता है। बाद में, G. S. M. Coxeter और Branko Grunbaum ने नियमों का विस्तार किया और अन्य "नियमित पॉलीहेड्रा" की खोज की।
बहुफलकीय सूत्र
इन आंकड़ों का व्यवस्थित अध्ययन गणित के इतिहास में अपेक्षाकृत जल्दी शुरू हुआ। लियोनहार्ड यूलर ने सबसे पहले नोटिस किया था कि उत्तल 3D पॉलीहेड्रा के लिए उनके कोने, चेहरे और किनारों की संख्या से संबंधित एक सूत्र है।
वह इस तरह दिखती है:
वी + एफ - ई=2, जहाँ V बहुफलकीय शीर्षों की संख्या है, F बहुफलक के किनारों की संख्या है, और E फलकों की संख्या है।
लियोनहार्ड यूलर स्विस हैगणितज्ञ जो अब तक के सबसे महान और सबसे अधिक उत्पादक वैज्ञानिकों में से एक माने जाते हैं। वह अपने अधिकांश जीवन के लिए अंधे रहे हैं, लेकिन उनकी दृष्टि की हानि ने उन्हें और भी अधिक उत्पादक बनने का कारण दिया। उनके नाम पर कई सूत्र हैं, और जिन्हें हमने अभी देखा उसे कभी-कभी यूलर पॉलीहेड्रा सूत्र कहा जाता है।
एक स्पष्टीकरण है। हालाँकि, यूलर का सूत्र केवल कुछ नियमों का पालन करने वाले पॉलीहेड्रा के लिए काम करता है। वे इस तथ्य में झूठ बोलते हैं कि फॉर्म में कोई छेद नहीं होना चाहिए। और इसके लिए खुद को पार करना अस्वीकार्य है। एक बहुफलक भी एक साथ जुड़े हुए दो भागों से नहीं बन सकता है, जैसे कि एक ही शीर्ष वाले दो घन। यूलर ने 1750 में क्रिश्चियन गोल्डबैक को लिखे एक पत्र में अपने शोध के परिणाम का उल्लेख किया। बाद में, उन्होंने दो पत्र प्रकाशित किए जिसमें उन्होंने बताया कि कैसे उन्होंने अपनी नई खोज का प्रमाण खोजने का प्रयास किया। वास्तव में, ऐसे रूप हैं जो V + F - E का एक अलग उत्तर देते हैं। योग F + V - E=X के उत्तर को यूलर विशेषता कहा जाता है। उसका एक और पहलू है। कुछ आकृतियों में एक यूलर विशेषता भी हो सकती है जो नकारात्मक है
ग्राफ थ्योरी
कभी-कभी यह दावा किया जाता है कि डेसकार्टेस ने यूलर के प्रमेय को पहले व्युत्पन्न किया था। यद्यपि इस वैज्ञानिक ने त्रि-आयामी पॉलीहेड्रा के बारे में तथ्यों की खोज की जो उसे वांछित सूत्र प्राप्त करने की अनुमति देगा, उसने यह अतिरिक्त कदम नहीं उठाया। आज, यूलर को ग्राफ सिद्धांत के "पिता" का श्रेय दिया जाता है। उन्होंने अपने विचारों का उपयोग करके कोनिग्सबर्ग पुल की समस्या का समाधान किया। लेकिन वैज्ञानिक ने पॉलीहेड्रॉन को संदर्भ में नहीं देखाग्राफ सिद्धांत। यूलर ने एक बहुफलक के सरल भागों में अपघटन के आधार पर एक सूत्र का प्रमाण देने का प्रयास किया। यह प्रयास प्रमाण के लिए आधुनिक मानकों से कम है। यद्यपि यूलर ने अपने सूत्र के लिए पहला सही औचित्य नहीं दिया, कोई भी अनुमानों को सिद्ध नहीं कर सकता है जो नहीं किए गए हैं। हालांकि, परिणाम, जो बाद में प्रमाणित हुए, वर्तमान समय में भी यूलर के प्रमेय का उपयोग करना संभव बनाते हैं। पहला प्रमाण गणितज्ञ एड्रियन मैरी लेजेन्ड्रे ने प्राप्त किया था।
यूलर के सूत्र का प्रमाण
यूलर ने सबसे पहले पॉलीहेड्रा पर एक प्रमेय के रूप में पॉलीहेड्रल फॉर्मूला तैयार किया। आज इसे अक्सर जुड़े हुए ग्राफ़ के अधिक सामान्य संदर्भ में माना जाता है। उदाहरण के लिए, संरचनाओं के रूप में बिंदुओं और उन्हें जोड़ने वाले रेखा खंड होते हैं, जो एक ही भाग में होते हैं। ऑगस्टिन लुई कॉची इस महत्वपूर्ण संबंध को खोजने वाले पहले व्यक्ति थे। यह यूलर के प्रमेय के प्रमाण के रूप में कार्य करता है। उन्होंने, संक्षेप में, देखा कि एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन (या जिसे आज ऐसा कहा जाता है) का ग्राफ एक गोले के लिए टोपोलॉजिकल रूप से होमियोमॉर्फिक है, इसमें एक प्लानर कनेक्टेड ग्राफ है। यह क्या है? एक समतलीय ग्राफ वह होता है जिसे समतल में इस प्रकार खींचा जाता है कि इसके किनारे केवल एक शीर्ष पर मिलते हैं या प्रतिच्छेद करते हैं। यहीं पर यूलर के प्रमेय और रेखांकन के बीच संबंध पाया गया।
परिणाम के महत्व का एक संकेत यह है कि डेविड एपस्टीन सबूत के सत्रह अलग-अलग टुकड़े एकत्र करने में सक्षम थे। यूलर के बहुफलकीय सूत्र को सही ठहराने के कई तरीके हैं। एक अर्थ में, सबसे स्पष्ट प्रमाण वे तरीके हैं जो गणितीय प्रेरण का उपयोग करते हैं। परिणाम सिद्ध किया जा सकता हैइसे ग्राफ़ के किनारों, फलकों या शीर्षों की संख्या के अनुदिश आरेखित करना।
राडेमाकर और टोप्लिट्ज का सबूत
वॉन स्टॉड के दृष्टिकोण के आधार पर रैडेमाकर और टोएप्लिट्ज का निम्नलिखित प्रमाण विशेष रूप से आकर्षक है। यूलर के प्रमेय को सही ठहराने के लिए, मान लीजिए कि G एक समतल में जुड़ा एक जुड़ा हुआ ग्राफ है। यदि इसमें स्कीमा हैं, तो उनमें से प्रत्येक से एक किनारे को इस तरह से बाहर करना संभव है कि संपत्ति को संरक्षित करने के लिए यह जुड़ा रहता है। बिना क्लोजर के कनेक्टेड ग्राफ पर जाने के लिए हटाए गए हिस्सों के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है और जो अनंत किनारे नहीं होते हैं। इस शोध ने तथाकथित यूलर विशेषता के संदर्भ में "उन्मुख सतहों" के वर्गीकरण का नेतृत्व किया।
जॉर्डन वक्र। प्रमेय
मुख्य थीसिस, जो प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप से ग्राफ के लिए यूलर प्रमेय के पॉलीहेड्रा सूत्र के प्रमाण में उपयोग की जाती है, जॉर्डन वक्र पर निर्भर करती है। यह विचार सामान्यीकरण से संबंधित है। यह कहता है कि कोई भी साधारण बंद वक्र विमान को तीन सेटों में विभाजित करता है: उस पर बिंदु, उसके अंदर और बाहर। जैसा कि उन्नीसवीं शताब्दी में यूलर के बहुफलकीय सूत्र में रुचि विकसित हुई, इसे सामान्य बनाने के कई प्रयास किए गए। इस शोध ने बीजीय टोपोलॉजी के विकास की नींव रखी और इसे बीजगणित और संख्या सिद्धांत से जोड़ा।
मोबियस ग्रुप
जल्द ही यह पता चला कि कुछ सतहें केवल स्थानीय स्तर पर सुसंगत तरीके से "उन्मुख" हो सकती हैं, विश्व स्तर पर नहीं। प्रसिद्ध मोबियस समूह इस तरह के उदाहरण के रूप में कार्य करता हैसतहें। इसकी खोज कुछ समय पहले जोहान लिस्टिंग द्वारा की गई थी। इस अवधारणा में ग्राफ के जीनस की धारणा शामिल है: वर्णनकर्ताओं की कम से कम संख्या जी। इसे गोले की सतह में जोड़ा जाना चाहिए, और इसे विस्तारित सतह पर इस तरह से एम्बेड किया जा सकता है कि किनारे केवल कोने पर मिलते हैं। यह पता चला है कि यूक्लिडियन अंतरिक्ष में किसी भी उन्मुख सतह को एक निश्चित संख्या में हैंडल के साथ एक क्षेत्र माना जा सकता है।
यूलर आरेख
वैज्ञानिक ने एक और खोज की, जिसका इस्तेमाल आज भी किया जाता है। यह तथाकथित यूलर आरेख मंडलियों का एक ग्राफिक प्रतिनिधित्व है, जो आमतौर पर सेट या समूहों के बीच संबंधों को चित्रित करने के लिए उपयोग किया जाता है। चार्ट में आमतौर पर ऐसे रंग शामिल होते हैं जो उन क्षेत्रों में मिश्रित होते हैं जहां मंडलियां ओवरलैप होती हैं। सेटों को हलकों या अंडाकारों द्वारा सटीक रूप से दर्शाया जाता है, हालांकि उनके लिए अन्य आंकड़े भी इस्तेमाल किए जा सकते हैं। एक समावेशन को दीर्घवृत्तों के अतिव्यापन द्वारा दर्शाया जाता है जिसे यूलर वृत्त कहते हैं।
वे समुच्चय और उपसमुच्चय का प्रतिनिधित्व करते हैं। अपवाद गैर-अतिव्यापी मंडलियां हैं। यूलर आरेख अन्य ग्राफिक प्रतिनिधित्व से निकटता से संबंधित हैं। वे अक्सर भ्रमित रहते हैं। इस ग्राफिक प्रतिनिधित्व को वेन आरेख कहा जाता है। विचाराधीन सेट के आधार पर, दोनों संस्करण समान दिख सकते हैं। हालांकि, वेन आरेखों में, अतिव्यापी वृत्त आवश्यक रूप से सेटों के बीच समानता का संकेत नहीं देते हैं, लेकिन केवल एक संभावित तार्किक संबंध यदि उनके लेबल अंदर नहीं हैंप्रतिच्छेदन चक्र। 1960 के दशक के नए गणितीय आंदोलन के हिस्से के रूप में सेट सिद्धांत को पढ़ाने के लिए दोनों विकल्पों को अपनाया गया था।
फर्मेट और यूलर के प्रमेय
यूलर ने गणितीय विज्ञान में एक उल्लेखनीय छाप छोड़ी। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत को उनके नाम पर एक प्रमेय द्वारा समृद्ध किया गया था। यह एक और महत्वपूर्ण खोज का परिणाम भी है। यह तथाकथित सामान्य बीजीय लैग्रेंज प्रमेय है। यूलर का नाम फर्मेट के छोटे प्रमेय से भी जुड़ा है। यह कहता है कि यदि p एक अभाज्य संख्या है और a एक पूर्णांक है जो p से विभाज्य नहीं है, तो:
ap-1 - 1 p से विभाज्य है।
कभी-कभी एक ही खोज का एक अलग नाम होता है, जो अक्सर विदेशी साहित्य में पाया जाता है। यह फ़र्मेट के क्रिसमस प्रमेय की तरह लगता है। बात यह है कि यह खोज 25 दिसंबर, 1640 की पूर्व संध्या पर भेजे गए एक वैज्ञानिक के पत्र के कारण ज्ञात हुई। लेकिन यह बयान पहले भी सामने आ चुका है. इसका इस्तेमाल अल्बर्ट गिरार्ड नाम के एक अन्य वैज्ञानिक ने किया था। फ़र्मेट ने केवल अपने सिद्धांत को साबित करने की कोशिश की। लेखक एक अन्य पत्र में संकेत देता है कि वह अनंत वंश पद्धति से प्रेरित था। लेकिन उन्होंने कोई सबूत नहीं दिया। बाद में ईडर ने भी यही तरीका अपनाया। और उसके बाद - लैग्रेंज, गॉस और मिंकोस्की सहित कई अन्य प्रसिद्ध वैज्ञानिक।
पहचान की विशेषताएं
फर्मेट की छोटी प्रमेय को यूलर के कारण संख्या सिद्धांत से प्रमेय का विशेष मामला भी कहा जाता है। इस सिद्धांत में, यूलर पहचान फ़ंक्शन किसी दिए गए पूर्णांक n तक सकारात्मक पूर्णांकों की गणना करता है। वे के संबंध में coprime हैंएन। संख्या सिद्धांत में यूलर का प्रमेय ग्रीक अक्षर φ का उपयोग करके लिखा गया है और यह φ(n) जैसा दिखता है। इसे औपचारिक रूप से 1 ≦ k n श्रेणी में पूर्णांक k की संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसके लिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक gcd(n, k) 1 है। संकेतन φ(n) को यूलर का phi फ़ंक्शन भी कहा जा सकता है। इस रूप के पूर्णांक k को कभी-कभी योगात्मक कहा जाता है। संख्या सिद्धांत के केंद्र में, यूलर पहचान कार्य गुणक है, जिसका अर्थ है कि यदि दो संख्याएं m और n सहअभाज्य हैं, तो (mn)=(m)φ(n)। यह RSA एन्क्रिप्शन सिस्टम को परिभाषित करने में भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
यूलर फ़ंक्शन 1763 में पेश किया गया था। हालांकि, उस समय गणितज्ञ ने इसके लिए कोई विशिष्ट प्रतीक नहीं चुना था। 1784 के एक प्रकाशन में, यूलर ने इस कार्य का अधिक विस्तार से अध्ययन किया और इसका प्रतिनिधित्व करने के लिए ग्रीक अक्षर π को चुना। जेम्स सिल्वेस्टर ने इस सुविधा के लिए "कुल" शब्द गढ़ा। इसलिए, इसे यूलर का योग भी कहा जाता है। 1 से अधिक धनात्मक पूर्णांक n का कुल (n) n से कम धनात्मक पूर्णांकों की संख्या है जो n तक अपेक्षाकृत अभाज्य हैं। (1) को 1 के रूप में परिभाषित किया गया है। यूलर फ़ंक्शन या phi(φ) फ़ंक्शन है एक बहुत ही महत्वपूर्ण संख्या-सैद्धांतिक एक फ़ंक्शन जो अभाज्य संख्याओं और पूर्णांकों के तथाकथित क्रम से गहराई से संबंधित है।
