वेक्टर एक महत्वपूर्ण ज्यामितीय वस्तु है, इसके गुणों की मदद से यह विमान और अंतरिक्ष में कई समस्याओं को हल करने में सुविधाजनक है। इस लेख में, हम इसे परिभाषित करेंगे, इसकी मुख्य विशेषताओं पर विचार करेंगे, और यह भी दिखाएंगे कि अंतरिक्ष में एक वेक्टर का उपयोग विमानों को परिभाषित करने के लिए कैसे किया जा सकता है।
एक वेक्टर क्या है: द्वि-आयामी मामला
सबसे पहले यह स्पष्ट रूप से समझना आवश्यक है कि हम किस वस्तु की बात कर रहे हैं। ज्यामिति में, एक निर्देशित खंड को एक वेक्टर कहा जाता है। किसी भी खंड की तरह, यह दो मुख्य तत्वों की विशेषता है: प्रारंभ और अंत बिंदु। इन बिंदुओं के निर्देशांक विशिष्ट रूप से वेक्टर की सभी विशेषताओं को निर्धारित करते हैं।
आइए एक विमान पर एक वेक्टर के उदाहरण पर विचार करें। ऐसा करने के लिए, हम दो परस्पर लंबवत अक्ष x और y खींचते हैं। आइए हम एक मनमाना बिंदु P(x, y) चिह्नित करें। यदि हम इस बिंदु को मूल (बिंदु O) से जोड़ते हैं, और फिर P को दिशा निर्दिष्ट करते हैं, तो हमें वेक्टर OP¯ मिलता है (बाद में लेख में, प्रतीक पर बार इंगित करता है कि हम एक वेक्टर पर विचार कर रहे हैं)। विमान पर वेक्टर आरेखण नीचे दिखाया गया है।
यहां, एक और वेक्टर AB¯ भी दिखाया गया है, और आप देख सकते हैं कि इसकी विशेषताएं बिल्कुल OP¯ के समान हैं, लेकिन यह समन्वय प्रणाली के एक अलग हिस्से में है। समानांतर अनुवाद OP¯ द्वारा, आप समान गुणों वाले अनंत सदिश प्राप्त कर सकते हैं।
अंतरिक्ष में सदिश
सभी वास्तविक वस्तुएं जो हमारे चारों ओर हैं, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में हैं। त्रि-आयामी आंकड़ों के ज्यामितीय गुणों का अध्ययन स्टीरियोमेट्री से संबंधित है, जो त्रि-आयामी वैक्टर की अवधारणा से संचालित होता है। वे द्वि-आयामी लोगों से केवल इस मायने में भिन्न होते हैं कि उनके विवरण के लिए एक अतिरिक्त समन्वय की आवश्यकता होती है, जिसे तीसरे लंबवत x और y अक्ष z के साथ मापा जाता है।
नीचे दिया गया चित्र अंतरिक्ष में एक सदिश को दर्शाता है। प्रत्येक अक्ष के साथ इसके अंत के निर्देशांक रंगीन खंडों द्वारा दर्शाए गए हैं। वेक्टर की शुरुआत तीनों निर्देशांक अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर स्थित होती है, अर्थात इसमें निर्देशांक (0; 0; 0) होते हैं।
चूंकि एक विमान पर एक वेक्टर एक स्थानिक रूप से निर्देशित खंड का एक विशेष मामला है, हम लेख में केवल एक त्रि-आयामी वेक्टर पर विचार करेंगे।
वेक्टर इसकी शुरुआत और अंत के ज्ञात निर्देशांक के आधार पर निर्देशांक
मान लीजिए कि दो बिंदु हैं P(x1; y1; z1) और क्यू(x2; y2; z2)। वेक्टर PQ¯ के निर्देशांक कैसे निर्धारित करें। सबसे पहले, यह सहमत होना आवश्यक है कि कौन सा बिंदु शुरुआत होगा और कौन सा अंत वेक्टर का होगा। गणित में, प्रश्न में वस्तु को उसकी दिशा के साथ लिखने की प्रथा है, अर्थात P शुरुआत है, Q- समाप्त। दूसरे, वेक्टर PQ¯ के निर्देशांक की गणना अंत और शुरुआत के संगत निर्देशांक के बीच के अंतर के रूप में की जाती है, जो है:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
ध्यान दें कि सदिश की दिशा बदलने से इसके निर्देशांक चिह्न इस प्रकार बदलेंगे:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
इसका मतलब है PQ¯=-QP¯।
एक बात और समझना जरूरी है। ऊपर कहा गया था कि विमान में दिए गए एक के बराबर सदिशों की एक अनंत संख्या होती है। यह तथ्य स्थानिक मामले के लिए भी मान्य है। वास्तव में, जब हमने उपरोक्त उदाहरण में PQ¯ के निर्देशांक की गणना की, तो हमने इस वेक्टर के समानांतर अनुवाद का संचालन इस तरह से किया कि इसका मूल मूल के साथ मेल खाता हो। वेक्टर PQ¯ को मूल से बिंदु M तक एक निर्देशित खंड के रूप में खींचा जा सकता है ((x2 - x1; y2- y1; z2 - z1)।
वेक्टर गुण
किसी भी ज्यामिति वस्तु की तरह, एक वेक्टर में कुछ अंतर्निहित विशेषताएं होती हैं जिनका उपयोग समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। आइए उन्हें संक्षेप में सूचीबद्ध करें।
वेक्टर मापांक निर्देशित खंड की लंबाई है। निर्देशांक जानने के बाद, इसकी गणना करना आसान है। उपरोक्त उदाहरण में सदिश PQ¯ के लिए, मापांक है:
|पीक्यू¯|=[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
वेक्टर मॉड्यूल चालूविमान की गणना एक समान सूत्र द्वारा की जाती है, केवल तीसरे समन्वय की भागीदारी के बिना।
सदिशों का योग और अंतर त्रिभुज के नियम के अनुसार निकाला जाता है। नीचे दिया गया चित्र दिखाता है कि इन वस्तुओं को कैसे जोड़ना और घटाना है।
योग वेक्टर प्राप्त करने के लिए, दूसरे की शुरुआत को पहले वेक्टर के अंत में जोड़ें। वांछित वेक्टर पहले की शुरुआत में शुरू होगा और दूसरे वेक्टर के अंत में समाप्त होगा।
अंतर इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए किया जाता है कि घटाए गए वेक्टर को विपरीत एक से बदल दिया जाता है, और फिर ऊपर वर्णित जोड़ ऑपरेशन किया जाता है।
जोड़ और घटाव के अलावा, किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। यदि संख्या k के बराबर है, तो एक सदिश प्राप्त होता है जिसका मापांक मूल एक से k गुना भिन्न होता है, और दिशा या तो समान होती है (k>0) या मूल एक के विपरीत (k<0)।
आपस में सदिशों के गुणन की संक्रिया को भी परिभाषित किया गया है। हम लेख में इसके लिए एक अलग पैराग्राफ को अलग करेंगे।
अदिश और सदिश गुणन
मान लीजिए कि दो वैक्टर हैं u¯(x1; y1; z1) और v¯(x2; y2; z2)। वेक्टर द्वारा वेक्टर को दो अलग-अलग तरीकों से गुणा किया जा सकता है:
- स्केलर। इस मामले में, परिणाम एक संख्या है।
- वेक्टर। परिणाम कुछ नया वेक्टर है।
सदिश u¯ और v¯ के अदिश गुणनफल की गणना इस प्रकार की जाती है:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
जहां α दिए गए सदिशों के बीच का कोण है।
यह दिखाया जा सकता है कि निर्देशांक u¯ और v¯ को जानकर, उनके डॉट उत्पाद की गणना निम्न सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
एक वेक्टर को दो लंबवत निर्देशित खंडों में विघटित करते समय स्केलर उत्पाद का उपयोग करना सुविधाजनक होता है। इसका उपयोग सदिशों की समांतरता या ऑर्थोगोनलिटी की गणना करने और उनके बीच के कोण की गणना करने के लिए भी किया जाता है।
u¯ और v¯ का क्रॉस उत्पाद एक नया वेक्टर देता है जो मूल वेक्टर के लंबवत होता है और इसमें मापांक होता है:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
नए वेक्टर के नीचे या ऊपर की दिशा दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्धारित की जाती है (दाहिने हाथ की चार उंगलियां पहले वेक्टर के अंत से दूसरे के अंत तक निर्देशित होती हैं, और अंगूठा चिपक जाता है नए वेक्टर की दिशा को इंगित करता है)। नीचे दिया गया आंकड़ा मनमाने ढंग से a¯ और b¯ के लिए क्रॉस उत्पाद का परिणाम दिखाता है।
क्रॉस उत्पाद का उपयोग आंकड़ों के क्षेत्रों की गणना करने के साथ-साथ किसी दिए गए विमान के लंबवत वेक्टर के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
समतल के समीकरण को परिभाषित करते समय सदिशों और उनके गुणों का उपयोग करना सुविधाजनक होता है।
विमान का सामान्य और सामान्य समीकरण
विमान को परिभाषित करने के कई तरीके हैं। उनमें से एक विमान के सामान्य समीकरण की व्युत्पत्ति है, जो सीधे सदिश के ज्ञान और विमान से संबंधित कुछ ज्ञात बिंदु के ज्ञान से अनुसरण करता है।
मान लें कि एक सदिश n¯ (A; B; C) और एक बिंदु P (x0; y0; जेड 0)। कौन-सी स्थिति तल के सभी बिंदुओं Q(x; y; z) को संतुष्ट करेगी? इस स्थिति में किसी भी वेक्टर PQ¯ की सामान्य n¯ के लंबवतता होती है। दो लंबवत वैक्टर के लिए, डॉट उत्पाद शून्य हो जाता है (cos(90o)=0), इसे लिखें:
(n¯PQ¯)=0 या
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
कोष्ठक को खोलने पर हमें प्राप्त होता है:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 या
Ax + By + Cz +D=0 जहां D=-Ax0-By0 -सीजेड0.
इस समीकरण को तल के लिए सामान्य कहा जाता है। हम देखते हैं कि x, y, और z के सामने के गुणांक लंब सदिश n¯ के निर्देशांक हैं। इसे प्लेन गाइड कहते हैं।
विमान का सदिश पैरामीट्रिक समीकरण
एक समतल को परिभाषित करने का दूसरा तरीका यह है कि उसमें पड़े दो सदिशों का उपयोग किया जाए।
मान लें कि वेक्टर हैं u¯(x1; y1; z1) और v¯(x2; y2; z2)। जैसा कि कहा गया था, अंतरिक्ष में उनमें से प्रत्येक को समान निर्देशित खंडों की एक अनंत संख्या द्वारा दर्शाया जा सकता है, इसलिए, विमान को विशिष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए एक और बिंदु की आवश्यकता होती है। मान लीजिए यह बिंदु P(x0;वाई0; जेड0)। कोई भी बिंदु Q(x; y; z) वांछित विमान में होगा यदि वेक्टर PQ¯ को u¯ और v¯ के संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है। यानी हमारे पास है:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
जहां α और β कुछ वास्तविक संख्याएं हैं। इस समानता से अभिव्यक्ति इस प्रकार है:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
इसे 2 वैक्टर u¯ और v¯ के संबंध में समतल का पैरामीट्रिक सदिश समीकरण कहा जाता है। मनमाना मापदंडों α और β को प्रतिस्थापित करते हुए, कोई भी इस विमान से संबंधित सभी बिंदु (x; y; z) पा सकता है।
इस समीकरण से तल के लिए सामान्य व्यंजक प्राप्त करना आसान है। ऐसा करने के लिए, यह दिशा वेक्टर n¯ को खोजने के लिए पर्याप्त है, जो दोनों वैक्टर u¯ और v¯ के लंबवत होगा, अर्थात उनके वेक्टर उत्पाद को लागू किया जाना चाहिए।
विमान के सामान्य समीकरण को निर्धारित करने की समस्या
आइए दिखाते हैं कि ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग कैसे करें। मान लीजिए कि समतल का दिशा सदिश n¯(5; -3; 1) है। आपको यह जानते हुए समतल का समीकरण ज्ञात करना चाहिए कि बिंदु P(2; 0; 0) उसी का है।
सामान्य समीकरण इस प्रकार लिखा जाता है:
Ax + By + Cz +D=0.
चूंकि विमान के लंबवत सदिश ज्ञात है, समीकरण का रूप लेगा:
5x - 3y + z +D=0.
यह मुक्त पद डी खोजने के लिए बनी हुई है। हम इसे निर्देशांक पी के ज्ञान से गणना करते हैं:
डी=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
इस प्रकार, विमान के वांछित समीकरण का रूप है:
5x - 3y + z -10=0.
नीचे दिया गया आंकड़ा दिखाता है कि परिणामी विमान कैसा दिखता है।
बिंदुओं के संकेतित निर्देशांक x, y और z अक्षों के साथ समतल के प्रतिच्छेदन के अनुरूप हैं।
दो सदिशों और एक बिंदु के माध्यम से समतल का निर्धारण करने की समस्या
अब मान लीजिए कि पिछले विमान को अलग तरह से परिभाषित किया गया है। दो वैक्टर u¯(-2; 0; 10) और v¯(-2; -10/3; 0) ज्ञात हैं, साथ ही बिंदु P(2; 0; 0) भी हैं। समतल समीकरण को सदिश पैरामीट्रिक रूप में कैसे लिखें? माना संगत सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0)।
ध्यान दें कि समतल के इस समीकरण की परिभाषाएँ, सदिश u¯ और v¯ बिल्कुल कोई भी लिया जा सकता है, लेकिन एक शर्त के साथ: वे समानांतर नहीं होने चाहिए। अन्यथा, विमान को विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है, हालांकि, कोई बीम या विमानों के एक सेट के लिए समीकरण ढूंढ सकता है।
