भौतिकी और गणित "वेक्टर मात्रा" की अवधारणा के बिना नहीं कर सकते। इसे जाना और पहचाना जाना चाहिए, साथ ही इसके साथ काम करने में सक्षम होना चाहिए। आपको यह जरूर सीखना चाहिए ताकि भ्रमित न हों और मूर्खतापूर्ण गलतियाँ न करें।
एक सदिश राशि से अदिश मान कैसे ज्ञात करें?
पहले वाले में हमेशा एक ही विशेषता होती है। यह इसका संख्यात्मक मान है। अधिकांश स्केलर सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान ले सकते हैं। उदाहरण विद्युत आवेश, कार्य या तापमान हैं। लेकिन ऐसे अदिश हैं जो ऋणात्मक नहीं हो सकते, जैसे लंबाई और द्रव्यमान।
एक सदिश राशि, एक संख्यात्मक मात्रा के अलावा, जिसे हमेशा मोडुलो लिया जाता है, एक दिशा की विशेषता भी होती है। इसलिए, इसे रेखांकन के रूप में चित्रित किया जा सकता है, अर्थात एक तीर के रूप में, जिसकी लंबाई एक निश्चित दिशा में निर्देशित मान के मापांक के बराबर होती है।
लिखते समय प्रत्येक सदिश राशि को अक्षर पर एक तीर चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है। यदि हम एक संख्यात्मक मान की बात कर रहे हैं, तो तीर नहीं लिखा है या इसे मोडुलो लिया जाता है।
वेक्टर के साथ सबसे अधिक की जाने वाली क्रियाएँ क्या हैं?
पहले, एक तुलना। वे बराबर हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं। पहले मामले में, उनके मॉड्यूल समान हैं। लेकिन यह एकमात्र शर्त नहीं है। उनके पास समान या विपरीत दिशाएं भी होनी चाहिए। पहले मामले में, उन्हें समान वैक्टर कहा जाना चाहिए। दूसरे में, वे विपरीत हैं। यदि निर्दिष्ट शर्तों में से कम से कम एक पूरी नहीं होती है, तो सदिश बराबर नहीं होते हैं।
फिर जुड़ता है। यह दो नियमों के अनुसार किया जा सकता है: एक त्रिभुज या एक समांतर चतुर्भुज। पहला पहले एक वेक्टर को स्थगित करने का सुझाव देता है, फिर इसके अंत से दूसरा। जोड़ का परिणाम वह होगा जिसे पहले की शुरुआत से दूसरे के अंत तक खींचा जाना है।
समानांतर चतुर्भुज नियम का उपयोग तब किया जा सकता है जब आपको भौतिकी में सदिश राशियों को जोड़ने की आवश्यकता हो। पहले नियम के विपरीत, यहां उन्हें एक बिंदु से स्थगित कर दिया जाना चाहिए। फिर उन्हें एक समांतर चतुर्भुज में बनाएँ। क्रिया के परिणाम को उसी बिंदु से खींचे गए समांतर चतुर्भुज का विकर्ण माना जाना चाहिए।
यदि एक सदिश राशि को दूसरे से घटाया जाता है, तो उन्हें फिर से एक बिंदु से प्लॉट किया जाता है। केवल परिणाम एक वेक्टर होगा जो दूसरे के अंत से पहले के अंत तक एक से मेल खाता है।
भौतिकी में किन सदिशों का अध्ययन किया जाता है?
दिश जितने होते हैं उतने होते हैं। आप केवल यह याद रख सकते हैं कि भौतिकी में कौन सी सदिश राशियाँ मौजूद हैं। या उन संकेतों को जानें जिनसे उनकी गणना की जा सकती है। जो लोग पहला विकल्प पसंद करते हैं, उनके लिए ऐसी तालिका काम आएगी। इसमें मुख्य सदिश भौतिक मात्राएँ होती हैं।
| सूत्र में पदनाम | नाम |
| वी | गति |
| आर | चलना |
| ए | त्वरण |
| एफ | ताकत |
| आर | आवेग |
| ई | विद्युत क्षेत्र की ताकत |
| बी | चुंबकीय प्रेरण |
| एम | बल का क्षण |
अब इनमें से कुछ राशियों के बारे में थोड़ा और।
पहला मान गति है
इससे सदिश राशियों के उदाहरण देना शुरू करने लायक है। यह इस तथ्य के कारण है कि इसका अध्ययन सबसे पहले किया जाता है।
गति को अंतरिक्ष में किसी पिंड की गति की विशेषता के रूप में परिभाषित किया गया है। यह एक संख्यात्मक मान और एक दिशा निर्दिष्ट करता है। इसलिए, गति एक सदिश राशि है। इसके अलावा, इसे प्रकारों में विभाजित करने की प्रथा है। पहली रैखिक गति है। रेक्टिलिनियर एकसमान गति पर विचार करते समय इसे पेश किया जाता है। साथ ही, यह शरीर द्वारा तय किए गए पथ और गति के समय के अनुपात के बराबर हो जाता है।
असमान गति के लिए इसी सूत्र का प्रयोग किया जा सकता है। तभी यह औसत होगा। इसके अलावा, चुना जाने वाला समय अंतराल आवश्यक रूप से यथासंभव छोटा होना चाहिए। जब समय अंतराल शून्य हो जाता है, तो गति मान पहले से ही तात्कालिक होता है।
यदि एक मनमाना संचलन माना जाता है, तो यहाँ गति हमेशा एक सदिश राशि होती है। आखिरकार, इसे समन्वय रेखाओं को निर्देशित करने वाले प्रत्येक वेक्टर के साथ निर्देशित घटकों में विघटित होना पड़ता है। इसके अलावा, इसे समय के संबंध में लिए गए त्रिज्या वेक्टर के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है।
दूसरा मूल्य ताकत है
यह अन्य निकायों या क्षेत्रों द्वारा शरीर पर पड़ने वाले प्रभाव की तीव्रता का माप निर्धारित करता है। चूँकि बल एक सदिश राशि है, इसलिए आवश्यक रूप से इसका अपना मॉड्यूल मान और दिशा होती है। चूंकि यह शरीर पर कार्य करता है, इसलिए जिस बिंदु पर बल लगाया जाता है वह भी महत्वपूर्ण है। बल वैक्टर का एक दृश्य विचार प्राप्त करने के लिए, आप निम्न तालिका का संदर्भ ले सकते हैं।
| शक्ति | आवेदन बिंदु | दिशा |
| गुरुत्वाकर्षण | बॉडी सेंटर | पृथ्वी के केंद्र तक |
| गुरुत्वाकर्षण | बॉडी सेंटर | दूसरे शरीर के केंद्र में |
| लोच | अंतःक्रियात्मक निकायों के बीच संपर्क का बिंदु | बाहरी प्रभाव के खिलाफ |
| घर्षण | स्पर्श करने वाली सतहों के बीच | आंदोलन की विपरीत दिशा में |
साथ ही, परिणामी बल भी एक सदिश राशि है। इसे शरीर पर कार्य करने वाले सभी यांत्रिक बलों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे निर्धारित करने के लिए त्रिभुज नियम के सिद्धांत के अनुसार योग करना आवश्यक है। केवल आपको पिछले एक के अंत से बदले में वैक्टर को स्थगित करने की आवश्यकता है। परिणाम वही होगा जो पहले की शुरुआत को आखिरी के अंत से जोड़ता है।
तीसरा मान - विस्थापन
गति के दौरान शरीर एक निश्चित रेखा का वर्णन करता है। इसे एक प्रक्षेपवक्र कहा जाता है। यह रेखा पूरी तरह से अलग हो सकती है। अधिक महत्वपूर्ण इसकी उपस्थिति नहीं है, बल्कि आंदोलन की शुरुआत और अंत के बिंदु हैं। वे जुड़ते हैंखंड, जिसे विस्थापन कहते हैं। यह भी एक सदिश राशि है। इसके अलावा, यह हमेशा आंदोलन की शुरुआत से उस बिंदु तक निर्देशित होता है जहां आंदोलन को रोक दिया गया था। इसे लैटिन अक्षर r के साथ नामित करने की प्रथा है।
यहाँ प्रश्न प्रकट हो सकता है: "क्या पथ एक सदिश राशि है?"। सामान्य तौर पर, यह कथन सत्य नहीं है। पथ प्रक्षेपवक्र की लंबाई के बराबर है और इसकी कोई निश्चित दिशा नहीं है। एक अपवाद वह स्थिति है जब एक दिशा में सीधा आंदोलन माना जाता है। तब विस्थापन सदिश का मापांक पथ के मान से मेल खाता है, और उनकी दिशा समान हो जाती है। इसलिए, जब गति की दिशा को बदले बिना एक सीधी रेखा के साथ गति पर विचार किया जाता है, तो पथ को सदिश राशियों के उदाहरणों में शामिल किया जा सकता है।
चौथा मान त्वरण है
यह गति परिवर्तन की दर की विशेषता है। इसके अलावा, त्वरण में सकारात्मक और नकारात्मक दोनों मान हो सकते हैं। सरल रेखीय गति में, इसे उच्च गति की दिशा में निर्देशित किया जाता है। यदि आंदोलन एक वक्रीय प्रक्षेपवक्र के साथ होता है, तो इसका त्वरण वेक्टर दो घटकों में विघटित हो जाता है, जिनमें से एक को त्रिज्या के साथ वक्रता के केंद्र की ओर निर्देशित किया जाता है।
त्वरण का औसत और तात्कालिक मान अलग करें। पहले की गणना इस समय की एक निश्चित अवधि में गति में परिवर्तन के अनुपात के रूप में की जानी चाहिए। जब माना गया समय अंतराल शून्य हो जाता है, तो कोई तात्कालिक त्वरण की बात करता है।
पांचवां परिमाण संवेग है
यह अलग हैगति भी कहा जाता है। संवेग एक सदिश राशि है क्योंकि यह सीधे शरीर पर लागू गति और बल से संबंधित है। दोनों के पास एक दिशा है और इसे गति दें।
परिभाषा के अनुसार, उत्तरार्द्ध शरीर द्रव्यमान और गति के गुणनफल के बराबर है। किसी पिंड के संवेग की अवधारणा का उपयोग करते हुए, प्रसिद्ध न्यूटन के नियम को अलग तरीके से लिखा जा सकता है। यह पता चला है कि संवेग में परिवर्तन बल और समय के गुणनफल के बराबर होता है।
भौतिकी में, संवेग के संरक्षण का नियम एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, जिसमें कहा गया है कि पिंडों की एक बंद प्रणाली में इसका कुल संवेग स्थिर होता है।
हमने बहुत संक्षेप में सूचीबद्ध किया है कि भौतिकी के पाठ्यक्रम में किन राशियों (सदिश) का अध्ययन किया जाता है।
अकुशल प्रभाव की समस्या
हालत। रेल पर एक निश्चित मंच है। एक कार 4 मी/से की चाल से उसके पास आ रही है। प्लेटफार्म और वैगन का द्रव्यमान क्रमशः 10 और 40 टन है। कार प्लेटफॉर्म से टकराती है, एक स्वचालित कपलर होता है। प्रभाव के बाद वैगन-प्लेटफॉर्म सिस्टम की गति की गणना करना आवश्यक है।
निर्णय। सबसे पहले, आपको अंकन दर्ज करने की आवश्यकता है: प्रभाव से पहले कार की गति - v1, युग्मन के बाद प्लेटफॉर्म वाली कार - v, कार का वजन m 1, प्लेटफार्म - एम 2। समस्या की स्थिति के अनुसार गति का मान ज्ञात करना आवश्यक है v.
ऐसे कार्यों को हल करने के नियमों के लिए बातचीत से पहले और बाद में सिस्टम के योजनाबद्ध प्रतिनिधित्व की आवश्यकता होती है। कार की गति की दिशा में रेल के साथ OX अक्ष को निर्देशित करना उचित है।
इन शर्तों के तहत वैगनों की व्यवस्था बंद मानी जा सकती है। यह इस तथ्य से निर्धारित होता है कि बाहरीबलों की उपेक्षा की जा सकती है। गुरुत्वाकर्षण बल और समर्थन की प्रतिक्रिया संतुलित होती है, और रेल पर घर्षण को ध्यान में नहीं रखा जाता है।
संवेग के संरक्षण के नियम के अनुसार, कार और प्लेटफॉर्म की परस्पर क्रिया से पहले उनका वेक्टर योग प्रभाव के बाद युग्मक के लिए कुल के बराबर होता है। पहले तो प्लेटफॉर्म नहीं हिला, इसलिए इसका संवेग शून्य था। केवल कार चलती है, इसका संवेग m1 और v1 का गुणनफल है।
चूंकि प्रभाव बेलोचदार था, यानी वैगन प्लेटफॉर्म से टकरा गया, और फिर उसी दिशा में एक साथ लुढ़कने लगा, सिस्टम की गति ने दिशा नहीं बदली। लेकिन इसका अर्थ बदल गया है। अर्थात्, प्लेटफार्म के साथ वैगन के द्रव्यमान और आवश्यक गति के योग का गुणनफल।
आप इस समानता को लिख सकते हैं: m1v1=(m1 + एम2)वी. यह चयनित अक्ष पर संवेग सदिशों के प्रक्षेपण के लिए सही होगा। इससे आवश्यक गति की गणना के लिए आवश्यक समानता प्राप्त करना आसान है: v=m1v1 / (m 1+ एम2).
नियमों के अनुसार, आपको द्रव्यमान के मान को टन से किलोग्राम में बदलना चाहिए। इसलिए, उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करते समय, आपको पहले ज्ञात मानों को एक हजार से गुणा करना चाहिए। साधारण परिकलन संख्या 0.75 m/s देते हैं।
जवाब। प्लेटफार्म के साथ वैगन की गति 0.75 मीटर/सेकेंड है।
शरीर को भागों में विभाजित करने में समस्या
हालत। एक उड़ने वाले ग्रेनेड की गति 20 मीटर/सेकेंड होती है। यह दो टुकड़ों में टूट जाता है। पहले का द्रव्यमान 1.8 किग्रा है। यह उस दिशा में आगे बढ़ना जारी रखता है जिसमें ग्रेनेड 50 मीटर/सेकेंड की गति से उड़ रहा था। दूसरे टुकड़े का द्रव्यमान 1.2 किग्रा है।इसकी गति क्या है?
निर्णय। मान लें कि टुकड़े के द्रव्यमान को m1 और m2 अक्षरों से निरूपित किया जाता है। उनकी गति क्रमशः v1 और v2 होगी। ग्रेनेड की प्रारंभिक गति v है। समस्या में, आपको मान v2 की गणना करने की आवश्यकता है।
बड़े टुकड़े को पूरे ग्रेनेड की तरह उसी दिशा में आगे बढ़ते रहने के लिए, दूसरे को विपरीत दिशा में उड़ना चाहिए। यदि हम प्रारंभिक आवेग की दिशा के रूप में अक्ष की दिशा चुनते हैं, तो ब्रेक के बाद, एक बड़ा टुकड़ा अक्ष के साथ उड़ता है, और एक छोटा टुकड़ा धुरी के खिलाफ उड़ता है।
इस समस्या में संवेग के संरक्षण के नियम का उपयोग करने की अनुमति इस तथ्य के कारण दी जाती है कि ग्रेनेड का विस्फोट तुरंत होता है। इसलिए, इस तथ्य के बावजूद कि गुरुत्वाकर्षण ग्रेनेड और उसके हिस्सों पर कार्य करता है, उसके पास अपने मॉड्यूलो मान के साथ गति वेक्टर की दिशा को बदलने और बदलने का समय नहीं है।
ग्रेनेड फटने के बाद संवेग के सदिश मानों का योग उसके पहले वाले के बराबर होता है। यदि हम OX अक्ष पर प्रक्षेपण में पिंड के संवेग के संरक्षण का नियम लिखते हैं, तो यह इस तरह दिखेगा: (m1 + m2)वी=एम 1वी1 - एम2वी 2। इससे वांछित गति को व्यक्त करना आसान है। यह सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है: v2=((m1 + m2)v - एम 1वी1) / एम2। संख्यात्मक मानों और गणनाओं के प्रतिस्थापन के बाद, 25 m/s प्राप्त होता है।
जवाब। एक छोटे से टुकड़े की गति 25 मीटर/सेकंड है।
कोण पर शूटिंग करने में समस्या
हालत। द्रव्यमान M के एक प्लेटफॉर्म पर एक उपकरण लगाया गया है। द्रव्यमान m का एक प्रक्षेप्य इससे निकाल दिया जाता है। यह α to. कोण पर उड़ता हैएक गति v के साथ क्षितिज (जमीन के सापेक्ष दिया गया)। शॉट के बाद प्लेटफॉर्म की गति का मूल्य ज्ञात करना आवश्यक है।
निर्णय। इस समस्या में, आप OX अक्ष पर प्रक्षेपण में संवेग संरक्षण नियम का उपयोग कर सकते हैं। लेकिन केवल उस स्थिति में जब बाहरी परिणामी बलों का प्रक्षेपण शून्य के बराबर हो।
ओएक्स अक्ष की दिशा के लिए, आपको उस तरफ का चयन करना होगा जहां प्रक्षेप्य उड़ जाएगा, और क्षैतिज रेखा के समानांतर। इस मामले में, गुरुत्वाकर्षण बलों के प्रक्षेपण और OX पर समर्थन की प्रतिक्रिया शून्य के बराबर होगी।
समस्या को सामान्य तरीके से हल किया जाएगा, क्योंकि ज्ञात मात्राओं के लिए कोई विशिष्ट डेटा नहीं है। उत्तर सूत्र है।
शॉट से पहले सिस्टम की गति शून्य के बराबर थी, क्योंकि प्लेटफॉर्म और प्रक्षेप्य स्थिर थे। बता दें कि प्लेटफॉर्म की वांछित गति लैटिन अक्षर यू द्वारा दर्शायी जाती है। फिर शॉट के बाद इसकी गति को द्रव्यमान के उत्पाद और वेग के प्रक्षेपण के रूप में निर्धारित किया जाता है। चूँकि प्लेटफ़ॉर्म वापस लुढ़कता है (OX अक्ष की दिशा के विपरीत), संवेग मान माइनस होगा।
एक प्रक्षेप्य का संवेग उसके द्रव्यमान और OX अक्ष पर उसके वेग के प्रक्षेपण का गुणनफल होता है। इस तथ्य के कारण कि गति एक कोण पर क्षितिज पर निर्देशित है, इसका प्रक्षेपण कोण के कोसाइन द्वारा गुणा की गई गति के बराबर है। शाब्दिक समानता में, यह इस तरह दिखेगा: 0=- म्यू + एमवीcos α। इससे सरल परिवर्तन करके उत्तर सूत्र प्राप्त होता है: u=(mvcos α) / M.
जवाब। प्लेटफार्म की गति सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है u=(mvcos α) / M.
रिवर क्रॉसिंग समस्या
हालत। इसकी पूरी लंबाई के साथ नदी की चौड़ाई समान और बराबर है l, इसके किनारेसमानांतर हैं। हम नदी में जल प्रवाह की गति v1 और नाव की गति v2 जानते हैं। एक)। पार करते समय, नाव के धनुष को विपरीत किनारे पर सख्ती से निर्देशित किया जाता है। इसे अनुप्रवाह में कितनी दूर तक ले जाया जाएगा? 2))। किस कोण पर α नाव के धनुष को निर्देशित किया जाना चाहिए ताकि वह विपरीत किनारे तक पहुंच जाए जो प्रस्थान के बिंदु पर सख्ती से लंबवत हो? ऐसा क्रॉसिंग बनाने में कितना समय लगेगा?
निर्णय। एक)। नाव की पूर्ण गति दो राशियों का सदिश योग है। इनमें से पहला नदी का मार्ग है, जो कि किनारों के साथ निर्देशित है। दूसरी नाव की अपनी गति है, जो तटों के लंबवत है। चित्र दो समान त्रिभुजों को दर्शाता है। पहला नदी की चौड़ाई और नाव द्वारा वहन की जाने वाली दूरी से बनता है। दूसरा - वेग सदिशों के साथ।
निम्नलिखित प्रविष्टि उनका अनुसरण करती है: s / l=v1 / v2। परिवर्तन के बाद, वांछित मूल्य के लिए सूत्र प्राप्त होता है: s=l(v1 / v2)।
2)। समस्या के इस संस्करण में, कुल वेग वेक्टर बैंकों के लंबवत है। यह v1 और v2 के सदिश योग के बराबर है। कोण की ज्या जिसके द्वारा स्वयं के वेग सदिश को विचलन करना चाहिए, मॉड्यूल v1 और v2 के अनुपात के बराबर है। यात्रा के समय की गणना करने के लिए, आपको नदी की चौड़ाई को गणना की गई कुल गति से विभाजित करना होगा। बाद के मूल्य की गणना पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके की जाती है।
वी=√(वी22 - वी1 2), फिर t=l / (√(v22 - v1 2)).
जवाब। एक)। एस=एल(वी1 / वी2), 2)। पाप α=वी1 /v2, t=l / (√(v22 - v 12)).
