अंतरिक्ष में विमान। अंतरिक्ष में विमानों का स्थान

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-02 17:47

एक समतल एक ज्यामितीय वस्तु है जिसके गुणों का उपयोग बिंदुओं और रेखाओं के अनुमानों के निर्माण के साथ-साथ त्रि-आयामी आंकड़ों के तत्वों के बीच की दूरी और डायहेड्रल कोणों की गणना करते समय किया जाता है। आइए इस लेख में विचार करें कि अंतरिक्ष में विमानों के स्थान का अध्ययन करने के लिए किन समीकरणों का उपयोग किया जा सकता है।

विमान की परिभाषा

हर कोई सहज रूप से कल्पना करता है कि किस वस्तु पर चर्चा की जाएगी। एक ज्यामितीय दृष्टिकोण से, एक विमान बिंदुओं का एक संग्रह है, जिसके बीच कोई भी वेक्टर किसी एक वेक्टर के लंबवत होना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि अंतरिक्ष में m अलग-अलग बिंदु हैं, तो m(m-1) / 2 अलग-अलग वैक्टर उन बिंदुओं को जोड़े में जोड़कर बनाए जा सकते हैं। यदि सभी सदिश किसी एक दिशा के लंबवत हैं, तो यह पर्याप्त शर्त है कि सभी बिंदु m एक ही तल के हों।

सामान्य समीकरण

स्थानिक ज्यामिति में, समीकरणों का उपयोग करके एक समतल का वर्णन किया जाता है जिसमें आम तौर पर x, y और z अक्षों के अनुरूप तीन अज्ञात निर्देशांक होते हैं। सेवाअंतरिक्ष में समतल निर्देशांक में सामान्य समीकरण प्राप्त करें, मान लीजिए कि एक सदिश n¯(A; B; C) और एक बिंदु M(x₀; y_{0 है); जेड}0_{)। इन दो वस्तुओं का उपयोग करके, विमान को विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता है।}

वास्तव में, मान लीजिए कोई दूसरा बिंदु P(x; y; z) है जिसके निर्देशांक अज्ञात हैं। ऊपर दी गई परिभाषा के अनुसार, वेक्टर MP¯ n¯ के लंबवत होना चाहिए, अर्थात उनके लिए अदिश उत्पाद शून्य के बराबर है। तब हम निम्नलिखित व्यंजक लिख सकते हैं:

(n¯MP¯)=0 या

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

कोष्ठक को खोलने और एक नया गुणांक D पेश करने पर, हमें व्यंजक मिलता है:

Ax + By + Cz + D=0 जहां D=-1(Ax₀+ By ₀ + सीजेड₀₎

इस व्यंजक को तल का सामान्य समीकरण कहते हैं। यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि x, y और z के सामने गुणांक विमान के लंबवत सदिश n¯(A; B; C) के निर्देशांक बनाते हैं। यह सामान्य के साथ मेल खाता है और विमान के लिए एक गाइड है। सामान्य समीकरण को निर्धारित करने के लिए, यह कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह वेक्टर कहाँ निर्देशित है। अर्थात्, सदिश n¯ और -n¯ पर बने तल समान होंगे।

उपरोक्त चित्र में एक समतल, उस पर अभिलंब एक सदिश और तल के लंबवत एक रेखा दिखाई गई है।

तल द्वारा अक्षों पर काटे गए खंड और संबंधित समीकरण

सामान्य समीकरण निर्धारित करने के लिए सरल गणितीय संक्रियाओं का उपयोग करने की अनुमति देता है, inसमतल निर्देशांक अक्षों को किस बिंदु पर काटेगा। विमान के अंतरिक्ष में स्थिति के बारे में एक विचार रखने के साथ-साथ इसे चित्रों में चित्रित करते समय इस जानकारी को जानना महत्वपूर्ण है।

नामित प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करने के लिए, खंडों में एक समीकरण का उपयोग किया जाता है। इसे इसलिए कहा जाता है क्योंकि इसमें बिंदु (0; 0; 0) से गिनती करते समय, निर्देशांक अक्षों पर विमान द्वारा काटे गए खंडों की लंबाई के मान स्पष्ट रूप से शामिल होते हैं। आइए यह समीकरण प्राप्त करें।

विमान के लिए सामान्य व्यंजक इस प्रकार लिखें:

एएक्स + बीवाई + सीजेड=-डी

बाएं और दाएं हिस्सों को समानता का उल्लंघन किए बिना -D से विभाजित किया जा सकता है। हमारे पास है:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 या

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

प्रत्येक पद के हर को एक नए प्रतीक के साथ डिजाइन करें, हमें मिलता है:

पी=-डी/ए; क्यू=-डी / बी; आर=-डी/सी तो

x/p + y/q + z/r=1

यह ऊपर वर्णित खंडों में समीकरण है। इससे यह पता चलता है कि प्रत्येक पद के हर का मान समतल के संगत अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के समन्वय को इंगित करता है। उदाहरण के लिए, यह y-अक्ष को बिंदु (0; q; 0) पर प्रतिच्छेद करता है। यह समझना आसान है यदि आप शून्य x और z निर्देशांक को समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।

ध्यान दें कि यदि खंडों में समीकरण में कोई चर नहीं है, तो इसका मतलब है कि विमान संबंधित अक्ष को नहीं काटता है। उदाहरण के लिए, व्यंजक दिया गया:

x/p + y/q=1

इसका मतलब है कि विमान क्रमशः x और y अक्षों पर खंड p और q को काट देगा, लेकिन यह z अक्ष के समानांतर होगा।

विमान के व्यवहार के बारे में निष्कर्ष जबउसके समीकरण में कुछ चर की अनुपस्थिति एक सामान्य प्रकार के व्यंजक के लिए भी सही है, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

वेक्टर पैरामीट्रिक समीकरण

एक तीसरे प्रकार का समीकरण है जो अंतरिक्ष में एक विमान का वर्णन करने की अनुमति देता है। इसे एक पैरामीट्रिक वेक्टर कहा जाता है क्योंकि यह विमान में पड़े दो वैक्टर और दो मापदंडों द्वारा दिया जाता है जो मनमाना स्वतंत्र मान ले सकते हैं। आइए दिखाते हैं कि यह समीकरण कैसे प्राप्त किया जा सकता है।

मान लीजिए कि कुछ ज्ञात वैक्टर हैं आप ¯(a₁; b₁; c₁) और v¯(a₂; b₂; c₂)। यदि वे समानांतर नहीं हैं, तो उनका उपयोग एक ज्ञात बिंदु M(x₀; y_{0) पर इन वैक्टरों में से एक की शुरुआत तय करके एक विशिष्ट विमान सेट करने के लिए किया जा सकता है।}; जेड_{0)। यदि एक मनमाना वेक्टर MP¯ को रैखिक वैक्टर u¯ और v¯ के संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो इसका मतलब है कि बिंदु P(x; y; z) उसी तल से संबंधित है, जिसमें u¯, v¯ है। इस प्रकार, हम समानता लिख सकते हैं:}

MP¯=αu¯ + βv¯

या इस समानता को निर्देशांक के रूप में लिखने पर, हमें प्राप्त होता है:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; बी₂; सी₂₎

प्रस्तुत समानता समतल के लिए एक पैरामीट्रिक सदिश समीकरण है। परu¯ और v¯ समतल पर सदिश समष्टि जनित्र कहलाती है।

अगला, समस्या को हल करते समय, यह दिखाया जाएगा कि कैसे इस समीकरण को एक समतल के सामान्य रूप में कम किया जा सकता है।

अंतरिक्ष में विमानों के बीच का कोण

सहजता से, 3डी अंतरिक्ष में विमान या तो प्रतिच्छेद कर सकते हैं या नहीं। पहले मामले में, उनके बीच का कोण ज्ञात करना रुचिकर है। इस कोण की गणना रेखाओं के बीच के कोण की तुलना में अधिक कठिन है, क्योंकि हम एक डायहेड्रल ज्यामितीय वस्तु के बारे में बात कर रहे हैं। हालांकि, विमान के लिए पहले से ही उल्लेख किया गया गाइड वेक्टर बचाव के लिए आता है।

यह ज्यामितीय रूप से स्थापित है कि दो प्रतिच्छेद करने वाले विमानों के बीच का डायहेड्रल कोण उनके गाइड वैक्टर के बीच के कोण के बिल्कुल बराबर है। आइए इन वैक्टरों को निरूपित करें n₁¯(a₁; b₁; c_{1) और n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2 _{). उनके बीच के कोण की कोज्या अदिश गुणनफल से निर्धारित होती है। अर्थात्, विमानों के बीच के स्थान में कोण की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है:}

φ=आर्ककोस(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

यहाँ हर में मापांक का उपयोग अधिक कोण के मान को हटाने के लिए किया जाता है (अंतर्विभाजक विमानों के बीच यह हमेशा 90o से कम या बराबर होता है)।

समन्वय रूप में, इस व्यंजक को निम्न प्रकार से फिर से लिखा जा सकता है:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +सी₁सी₂|/(√(एक₁² + बी₁² + सी₁²)√(ए₂² + बी₂² + सी ₂²⁾⁾

विमान लंबवत और समानांतर

यदि तल प्रतिच्छेद करते हैं और उनके द्वारा बनाया गया विकर्ण कोण 90o है, तो वे लंबवत होंगे। ऐसे समतलों का एक उदाहरण एक आयताकार प्रिज्म या एक घन है। ये आंकड़े छह विमानों द्वारा बनते हैं। नामित आकृतियों के प्रत्येक शीर्ष पर एक दूसरे के लंबवत तीन तल हैं।

यह पता लगाने के लिए कि क्या माने गए विमान लंबवत हैं, यह उनके सामान्य वैक्टर के अदिश उत्पाद की गणना करने के लिए पर्याप्त है। विमानों के स्थान में लंबवतता के लिए एक पर्याप्त शर्त इस उत्पाद का शून्य मान है।

समानांतर को अप्रतिच्छेदी तल कहते हैं। कभी-कभी यह भी कहा जाता है कि समानांतर विमान अनंत पर प्रतिच्छेद करते हैं। समतलों के स्थान में समांतरता की स्थिति उस स्थिति से मेल खाती है जो दिशा वैक्टर n₁¯ और n_{2¯ के लिए है। आप इसे दो तरह से चेक कर सकते हैं:}

अदिश गुणनफल का उपयोग करके द्वितल कोण (cos(φ)) की कोज्या की गणना करें। यदि तल समानांतर हैं, तो मान होगा 1.

किसी संख्या से गुणा करके एक सदिश को दूसरे के माध्यम से निरूपित करने का प्रयास करें, अर्थात n₁¯=kn_{2¯। यदि यह किया जा सकता है, तो संबंधित विमान हैंसमानांतर।}

आकृति दो समानांतर विमानों को दिखाती है।

अब आइए प्राप्त गणितीय ज्ञान का उपयोग करके दो दिलचस्प समस्याओं को हल करने के उदाहरण देते हैं।

वेक्टर समीकरण से सामान्य रूप कैसे प्राप्त करें?

यह समतल के लिए पैरामीट्रिक सदिश व्यंजक है। संचालन के प्रवाह और उपयोग की जाने वाली गणितीय तरकीबों को समझना आसान बनाने के लिए, एक विशिष्ट उदाहरण पर विचार करें:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

इस अभिव्यक्ति का विस्तार करें और अज्ञात मापदंडों को व्यक्त करें:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

फिर:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

अंतिम व्यंजक में कोष्ठक खोलने पर, हमें प्राप्त होता है:

z=2x-2 + 3y - 6 या

2x + 3y - z - 8=0

हमने सदिश रूप में समस्या विवरण में निर्दिष्ट विमान के लिए समीकरण का सामान्य रूप प्राप्त किया है

तीन बिंदुओं के माध्यम से एक विमान कैसे बनाया जाए?

तीन बिंदुओं के माध्यम से एक विमान खींचना संभव है यदि ये बिंदु किसी एक सीधी रेखा से संबंधित नहीं हैं। इस समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म में क्रियाओं के निम्नलिखित क्रम शामिल हैं: