जीवन में अक्सर हमें किसी घटना के घटित होने की संभावना का आकलन करने की आवश्यकता का सामना करना पड़ता है। लॉटरी टिकट खरीदने लायक है या नहीं, परिवार में तीसरे बच्चे का लिंग क्या होगा, कल मौसम साफ होगा या फिर बारिश होगी - ऐसे अनगिनत उदाहरण हैं। सबसे सरल मामले में, आपको अनुकूल परिणामों की संख्या को घटनाओं की कुल संख्या से विभाजित करना चाहिए। यदि लॉटरी में 10 विजेता टिकट हैं, और कुल 50 हैं, तो पुरस्कार मिलने की संभावना 10/50=0.2 है, यानी 100 के मुकाबले 20। लेकिन क्या होगा यदि कई घटनाएं हैं, और वे निकट हैं संबंधित? इस मामले में, हम अब सरल में नहीं, बल्कि सशर्त संभावना में रुचि लेंगे। यह मान क्या है और इसकी गणना कैसे की जा सकती है - इस पर हमारे लेख में चर्चा की जाएगी।
अवधारणा
सशर्त प्रायिकता किसी विशेष घटना के घटित होने की संभावना है, यह देखते हुए कि एक अन्य संबंधित घटना पहले ही हो चुकी है। के साथ एक सरल उदाहरण पर विचार करेंएक सिक्का उछालना। अगर अभी तक ड्रॉ नहीं हुआ है, तो हेड या टेल मिलने की संभावना उतनी ही होगी। लेकिन अगर सिक्का लगातार पांच बार हथियारों के कोट के साथ लेट गया, तो 6 वें, 7 वें और इससे भी अधिक की उम्मीद करने के लिए सहमत हों, इसलिए इस तरह के परिणाम की 10 वीं पुनरावृत्ति अतार्किक होगी। प्रत्येक बार-बार शीर्षक के साथ, पूंछ के दिखने की संभावना बढ़ती जाती है और देर-सबेर यह समाप्त हो जाएगी।
सशर्त संभाव्यता सूत्र
आइए अब यह पता लगाते हैं कि इस मान की गणना कैसे की जाती है। आइए हम पहली घटना को बी के रूप में और दूसरी को ए के रूप में निरूपित करें। यदि बी की घटना की संभावना शून्य से भिन्न होती है, तो निम्नलिखित समानता मान्य होगी:
पी (ए|बी)=पी (एबी) / पी (बी), कहा पे:
- P (A|B) - परिणाम A की सशर्त संभावना;
- पी (एबी) - घटनाओं ए और बी की संयुक्त घटना की संभावना;
- P (B) – घटना B की प्रायिकता।
इस अनुपात को थोड़ा बदलने पर हमें P (AB)=P (A|B)P (B) प्राप्त होता है। और अगर हम प्रेरण की विधि लागू करते हैं, तो हम उत्पाद सूत्र प्राप्त कर सकते हैं और घटनाओं की एक मनमानी संख्या के लिए इसका इस्तेमाल कर सकते हैं:
पी (ए1, ए2, ए3, …ए p )=P (A1|A2…Ap )P(A 2|A3…Ap)P (A 3|A 4…Ap)… R (Ap-1 |Ap)आर (एपी).
अभ्यास
यह समझना आसान बनाने के लिए कि किसी घटना की सशर्त संभावना की गणना कैसे की जाती है, आइए कुछ उदाहरणों को देखें। मान लीजिए एक फूलदान है जिसमें 8 चॉकलेट और 7 टकसाल हैं। वे एक ही आकार और यादृच्छिक हैं।उनमें से दो को क्रमिक रूप से बाहर निकाला जाता है। क्या संभावना है कि दोनों के चॉकलेट होंगे? आइए नोटेशन का परिचय दें। परिणाम ए का मतलब है कि पहली कैंडी चॉकलेट है, परिणाम बी दूसरी चॉकलेट कैंडी है। फिर आपको निम्नलिखित मिलते हैं:
पी (ए)=पी (बी)=8/15, पी (ए|बी)=पी (बी|ए)=7/14=1/2, पी (एबी)=8/15 x 1/2=4/15 ≈ 0, 27
आइए एक और मामले पर विचार करें। मान लीजिए कि दो बच्चों का परिवार है और हम जानते हैं कि कम से कम एक बच्चा एक लड़की है।
सशर्त प्रायिकता क्या है कि इन माता-पिता के अभी तक लड़के नहीं हैं? पिछले मामले की तरह, हम अंकन से शुरू करते हैं। मान लें कि P(B) परिवार में कम से कम एक लड़की होने की प्रायिकता है, P(A|B) की प्रायिकता है कि दूसरा बच्चा भी एक लड़की है, P(AB) में दो लड़कियों के होने की प्रायिकता है परिवार। अब चलो गणना करते हैं। कुल मिलाकर, बच्चों के लिंग के 4 अलग-अलग संयोजन हो सकते हैं, और इस मामले में, केवल एक मामले में (जब परिवार में दो लड़के हों), बच्चों में कोई लड़की नहीं होगी। इसलिए, संभावना पी (बी)=3/4, और पी (एबी)=1/4। फिर, हमारे सूत्र का अनुसरण करते हुए, हमें प्राप्त होता है:
पी (ए|बी)=1/4: 3/4=1/3.
परिणाम की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है: यदि हम बच्चों में से किसी एक का लिंग नहीं जानते हैं, तो दो लड़कियों की संभावना 100 के मुकाबले 25 होगी। लेकिन चूंकि हम जानते हैं कि एक बच्चा एक लड़की है, इसलिए संभावना है कि लड़कों का परिवार एक तिहाई तक बढ़ जाता है।
