ऑप्टिमाइज़ेशन आपको सबसे अच्छा परिणाम खोजने में मदद करता है जो लाभ लाता है, लागत कम करता है, या एक पैरामीटर सेट करता है जो व्यवसाय प्रक्रिया विफलता का कारण बनता है।
इस प्रक्रिया को गणितीय प्रोग्रामिंग भी कहा जाता है। यह अनुकूलन समस्या के प्रमुख द्वारा निर्धारित लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए आवश्यक सीमित संसाधनों के वितरण को निर्धारित करने की समस्या को हल करता है। सभी संभावित विकल्पों में से, एक को ढूंढना वांछनीय है जो नियंत्रण पैरामीटर को अधिकतम (या कम) करता है, उदाहरण के लिए, लाभ या लागत। ऑप्टिमाइज़ेशन मॉडल को प्रिस्क्रिप्टिव या नॉर्मेटिव भी कहा जाता है क्योंकि वे व्यवसाय के लिए एक व्यवहार्य रणनीति खोजने की कोशिश करते हैं।
विकास इतिहास
रैखिक प्रोग्रामिंग (एलपी) अनुकूलन समस्याओं के एक वर्ग के साथ काम करता है जहां सभी बाधाएं रैखिक होती हैं।
एल.पी. के विकास का एक संक्षिप्त इतिहास प्रस्तुत करना:
- 1762 में, लैग्रेंज ने समानता की कमी के साथ सरल अनुकूलन समस्याओं को हल किया।
- 1820 में गॉस ने फैसला कियाउन्मूलन का उपयोग कर समीकरणों की रैखिक प्रणाली।
- 1866 में, विल्हेम जॉर्डन ने फिट मानदंड के रूप में कम से कम वर्ग त्रुटियों को खोजने की विधि को सिद्ध किया। इसे अब गॉस-जॉर्डन पद्धति कहा जाता है।
- डिजिटल कंप्यूटर 1945 में दिखाई दिया।
- डांजिग ने 1947 में सरल तरीकों का आविष्कार किया।
- 1968 में, Fiacco और McCormick ने इनसाइड पॉइंट पद्धति की शुरुआत की।
- 1984 में, करमार्कर ने अपने अभिनव विश्लेषण को जोड़ते हुए, रैखिक कार्यक्रमों को हल करने के लिए आंतरिक पद्धति को लागू किया।
LP वास्तविक दुनिया की समस्याओं के मॉडलिंग और व्यापक रूप से लागू गणितीय सिद्धांत दोनों के लिए एक अत्यंत शक्तिशाली उपकरण साबित हुआ है। हालांकि, कई दिलचस्प अनुकूलन समस्याएं गैर-रैखिक हैं।
इस मामले में क्या करें? इस तरह की समस्याओं के अध्ययन में रैखिक बीजगणित, बहुभिन्नरूपी कलन, संख्यात्मक विश्लेषण और कम्प्यूटेशनल विधियों का एक विविध मिश्रण शामिल है। वैज्ञानिक कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम विकसित कर रहे हैं, जिसमें रैखिक प्रोग्रामिंग, ज्यामिति, उत्तल सेट और कार्यों का विश्लेषण, और विशेष रूप से संरचित समस्याओं जैसे द्विघात प्रोग्रामिंग के अध्ययन के लिए आंतरिक बिंदु विधियां शामिल हैं।
Nonlinear अनुकूलन गणितीय विश्लेषण की एक मौलिक समझ प्रदान करता है और व्यापक रूप से इंजीनियरिंग, प्रतिगमन विश्लेषण, संसाधन प्रबंधन, भूभौतिकीय अन्वेषण और अर्थशास्त्र जैसे विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है।
अनुकूलन समस्याओं का वर्गीकरण
एक महत्वपूर्ण कदमअनुकूलन प्रक्रिया मॉडल का वर्गीकरण है, क्योंकि उनके समाधान एल्गोरिदम एक विशेष प्रकार के अनुकूल होते हैं।
1. असतत और निरंतर अनुकूलन के साथ समस्याएं। कुछ मॉडल तभी समझ में आते हैं जब चर पूर्णांकों के असतत उपसमुच्चय से मान लेते हैं। अन्य में डेटा होता है जो किसी भी वास्तविक मूल्य पर ले सकता है। उन्हें आमतौर पर हल करना आसान होता है। एल्गोरिदम में सुधार, कंप्यूटर प्रौद्योगिकी में प्रगति के साथ, एक रैखिक प्रोग्रामिंग अनुकूलन समस्या के आकार और जटिलता में नाटकीय रूप से वृद्धि हुई है।
2. असीमित और सीमित अनुकूलन। एक और महत्वपूर्ण अंतर उन कार्यों का है जहां चर पर कोई बाधा नहीं है। यह व्यापक रूप से सरल अनुमानकों से लेकर समानता और असमानताओं की प्रणालियों तक हो सकता है जो डेटा के बीच जटिल संबंधों को मॉडल करते हैं। इस तरह की अनुकूलन समस्याओं को कार्यों की प्रकृति के अनुसार वर्गीकृत किया जा सकता है (रैखिक और गैर-रैखिक, उत्तल और चिकनी, अलग-अलग और गैर-भिन्नता)।
3. व्यवहार्यता कार्य। उनका लक्ष्य वैरिएबल मानों को खोजना है जो बिना किसी विशिष्ट अनुकूलन लक्ष्य के मॉडल की बाधाओं को पूरा करते हैं।
4. पूरक कार्य। वे व्यापक रूप से प्रौद्योगिकी और अर्थशास्त्र में उपयोग किए जाते हैं। लक्ष्य एक ऐसा समाधान खोजना है जो पूरक शर्तों को पूरा करता हो। व्यवहार में, कई लक्ष्यों वाले कार्यों को अक्सर एकल उद्देश्य वाले कार्यों में बदल दिया जाता है।
5. नियतात्मक बनाम स्टोकेस्टिक अनुकूलन। नियतात्मक अनुकूलन मानता है कि के लिए डेटाअसाइनमेंट पूरी तरह से सटीक हैं। हालाँकि, कई सामयिक मुद्दों पर उन्हें कई कारणों से नहीं जाना जा सकता है।
पहली बार एक साधारण माप त्रुटि के साथ क्या करना है। दूसरा कारण अधिक मौलिक है। यह इस तथ्य में निहित है कि कुछ डेटा भविष्य के बारे में जानकारी का प्रतिनिधित्व करते हैं, उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद की मांग या भविष्य की अवधि के लिए कीमत। स्टोकेस्टिक अनुकूलन स्थितियों के तहत अनुकूलन करते समय, मॉडल में अनिश्चितता शामिल होती है।
मुख्य घटक
उद्देश्य फलन वह है जिसे न्यूनतम या अधिकतम किया जाना है। अधिकांश प्रकार की अनुकूलन समस्याओं का एक उद्देश्य कार्य होता है। यदि नहीं, तो उन्हें अक्सर काम करने के लिए सुधारा जा सकता है।
इस नियम के दो अपवाद:
1. लक्ष्य खोज कार्य। अधिकांश व्यावसायिक अनुप्रयोगों में, प्रबंधक मॉडल बाधाओं को संतुष्ट करते हुए एक विशिष्ट लक्ष्य प्राप्त करना चाहता है। उपयोगकर्ता विशेष रूप से कुछ अनुकूलित नहीं करना चाहता है, इसलिए किसी उद्देश्य फ़ंक्शन को परिभाषित करने का कोई मतलब नहीं है। इस प्रकार को आमतौर पर संतोषजनक समस्या के रूप में जाना जाता है।
2. बहुत सारी वस्तुनिष्ठ विशेषताएं। अक्सर, एक उपयोगकर्ता कई अलग-अलग लक्ष्यों को एक साथ अनुकूलित करना चाहता है। वे आमतौर पर असंगत होते हैं। एक लक्ष्य के लिए ऑप्टिमाइज़ करने वाले वेरिएबल दूसरों के लिए सर्वश्रेष्ठ नहीं हो सकते हैं।
घटक प्रकार:
- एक नियंत्रित इनपुट निर्णय चर का एक सेट है जो एक उद्देश्य फ़ंक्शन के मूल्य को प्रभावित करता है। एक उत्पादन कार्य में, चर में विभिन्न उपलब्ध संसाधनों का वितरण या इसके लिए आवश्यक श्रम शामिल हो सकते हैंप्रत्येक क्रिया।
- प्रतिबंध निर्णय चर और मापदंडों के बीच संबंध हैं। उत्पादन समस्या के लिए, किसी भी गतिविधि पर बहुत समय बिताने का कोई मतलब नहीं है, इसलिए सभी "अस्थायी" चर सीमित करें।
- संभव और इष्टतम समाधान। चर के लिए निर्णय का मूल्य, जिसके तहत सभी बाधाएं संतुष्ट होती हैं, संतोषजनक कहलाती हैं। अधिकांश एल्गोरिदम पहले इसे ढूंढते हैं, फिर इसे सुधारने का प्रयास करते हैं। अंत में, वे एक व्यवहार्य समाधान से दूसरे में जाने के लिए चर बदलते हैं। यह प्रक्रिया तब तक दोहराई जाती है जब तक कि उद्देश्य कार्य अपने अधिकतम या न्यूनतम तक नहीं पहुंच जाता। इस परिणाम को इष्टतम समाधान कहा जाता है।
निम्नलिखित गणितीय कार्यक्रमों के लिए विकसित अनुकूलन समस्याओं के एल्गोरिदम का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है:
- उत्तल।
- वियोज्य।
- द्विघात।
- ज्यामितीय।
गूगल लीनियर सॉल्वर
रैखिक अनुकूलन या प्रोग्रामिंग किसी समस्या को बेहतर ढंग से हल करने की कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया को दिया गया नाम है। इसे कई वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग विषयों में उत्पन्न होने वाले रैखिक संबंधों के एक सेट के रूप में तैयार किया गया है।
Google रैखिक अनुकूलन समस्याओं को हल करने के तीन तरीके प्रदान करता है:
- ओपन सोर्स लाइब्रेरी को ग्लोप करें।
- Google पत्रक के लिए रैखिक अनुकूलन ऐड-ऑन।
- Google Apps स्क्रिप्ट में रैखिक अनुकूलन सेवा।
ग्लॉप को Google में बनाया गया हैरैखिक सॉल्वर। यह ओपन सोर्स में उपलब्ध है। आप ओआर-टूल्स लीनियर सॉल्वर रैपर के माध्यम से ग्लोप तक पहुंच सकते हैं, जो ग्लोप के लिए एक रैपर है।
Google पत्रक के लिए रैखिक अनुकूलन मॉड्यूल आपको स्प्रेडशीट में डेटा दर्ज करके अनुकूलन समस्या का एक रैखिक विवरण निष्पादित करने की अनुमति देता है।
द्विघात प्रोग्रामिंग
प्रीमियम सॉल्वर प्लेटफॉर्म सिम्प्लेक्स पद्धति के विस्तारित एलपी/द्विघात संस्करण का उपयोग करता है जिसमें एलपी और क्यूपी समस्या प्रसंस्करण सीमा 2000 तक निर्णय चर की सीमा होती है।
SQP सॉल्वर बड़े पैमाने की समस्याओं के लिए द्विघात प्रोग्रामिंग (QP) समस्याओं को हल करने के लिए विरलता के साथ सक्रिय सेट पद्धति के आधुनिक कार्यान्वयन का उपयोग करता है। XPRESS सॉल्वर इंजन QP समस्याओं को हल करने के लिए "इंटीरियर पॉइंट" या न्यूटन बैरियर विधि के प्राकृतिक विस्तार का उपयोग करता है।
MOSEK सॉल्वर एम्बेडेड "इनसाइड पॉइंट" और ऑटो-डुअल तरीके लागू करता है। यह शिथिल युग्मित QP समस्याओं के लिए विशेष रूप से प्रभावी है। यह स्केल द्विघात बाधा (QCP) और द्वितीय क्रम शंकु प्रोग्रामिंग (SOCP) समस्याओं को भी हल कर सकता है।
बहु-संचालन गणना
माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस सुविधाओं के उपयोग के साथ इनका काफी सफलतापूर्वक उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, एक्सेल में अनुकूलन समस्याओं को हल करना।
उपरोक्त तालिका में, प्रतीक हैं:
- K1 - K6 - वे ग्राहक जिन्हें सामान उपलब्ध कराने की आवश्यकता है।
- S1 - S6 संभावित उत्पादन स्थल हैं जिन्हें इसके लिए बनाया जा सकता है। बनाया जा सकता है1, 2, 3, 4, 5 या सभी 6 स्थान।
कॉलम I (फिक्स) में सूचीबद्ध प्रत्येक सुविधा के लिए निश्चित लागतें हैं।
यदि स्थान कुछ भी नहीं बदलता है, तो इसकी गणना नहीं की जाएगी। तब कोई निश्चित लागत नहीं होगी।
न्यूनतम लागत प्राप्त करने के लिए संभावित स्थानों की पहचान करें।
इन स्थितियों में स्थान या तो स्थापित है या नहीं। ये दो अवस्थाएँ हैं: "TRUE - FALSE" या "1 - 0"। छह स्थानों के लिए छह राज्य हैं, उदाहरण के लिए, 000001 केवल छठे पर सेट है, 111111 सभी पर सेट है।
बाइनरी नंबर सिस्टम में, 000001 (1) से 111111 (63) तक 63 अलग-अलग विकल्प हैं।
L2-L64 को अब {=MULTIPLE OPERATION (K1)} पढ़ना चाहिए, ये सभी वैकल्पिक समाधानों के परिणाम हैं। तब न्यूनतम मान=न्यूनतम (L) है और संगत विकल्प INDEX (K) है।
CPLEX इंटीजर प्रोग्रामिंग
कभी-कभी एक व्यावसायिक समस्या की तह तक जाने के लिए एक रैखिक संबंध पर्याप्त नहीं होता है। यह विशेष रूप से सच है जब निर्णयों में असतत विकल्प शामिल होते हैं, जैसे कि किसी निश्चित स्थान पर गोदाम खोलना है या नहीं। इन स्थितियों में, पूर्णांक प्रोग्रामिंग का उपयोग किया जाना चाहिए।
यदि समस्या में असतत और निरंतर विकल्प दोनों शामिल हैं, तो यह एक मिश्रित पूर्णांक कार्यक्रम है। इसमें रैखिक, उत्तल द्विघात समस्याएँ और समान द्वितीय कोटि बाधाएँ हो सकती हैं।
इंटीजर प्रोग्राम लीनियर प्रोग्राम की तुलना में बहुत अधिक जटिल होते हैं, लेकिन उनके पास महत्वपूर्ण व्यावसायिक अनुप्रयोग होते हैं। सॉफ्टवेयरCPLEX सॉफ्टवेयर पूर्णांक समस्याओं को हल करने के लिए जटिल गणितीय विधियों का उपयोग करता है। उनके तरीकों में इष्टतम समाधान के मूल्य पर सीमाओं की गणना करने के लिए रैखिक या द्विघात सॉफ़्टवेयर छूट का उपयोग करके असतत चर के संभावित संयोजनों को व्यवस्थित रूप से खोजना शामिल है।
वे बाधाओं की गणना करने के लिए एलपी और अन्य अनुकूलन समस्या समाधान विधियों का भी उपयोग करते हैं।
मानक माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल सॉल्वर
यह तकनीक एलपी समस्याओं को हल करने के लिए मुख्य सिम्प्लेक्स पद्धति के बुनियादी कार्यान्वयन का उपयोग करती है। यह 200 चर तक सीमित है। "प्रीमियम सॉल्वर" चर के लिए दो तरफा सीमाओं के साथ एक बेहतर प्राथमिक सरल विधि का उपयोग करता है। प्रीमियम सॉल्वर प्लेटफ़ॉर्म अधिकतम 2000 निर्णय चर के साथ अनुकूलन समस्या को हल करने के लिए एलपी/क्वाड्रैटिक सिम्प्लेक्स सॉल्वर के विस्तारित संस्करण का उपयोग करता है।
प्रीमियम सॉल्वर प्लेटफॉर्म के लिए बड़े पैमाने पर एलपी सरल और डबल सिम्प्लेक्स पद्धति का एक अत्याधुनिक कार्यान्वयन लागू करता है, जो समय और स्मृति को बचाने के लिए एलपी मॉडल में विरलता का उपयोग करता है, अद्यतन करने के लिए उन्नत रणनीतियों और मैट्रिसेस को रिफैक्टरिंग, बहु और आंशिक मूल्य निर्धारण और रोटेशन, और अध: पतन पर काबू पाने के लिए। यह इंजन तीन संस्करणों में उपलब्ध है (8,000, 32,000, या असीमित चर और सीमाओं को संभालने में सक्षम)।
MOSEK सॉल्वर में प्राइमरी और डुअल सिम्प्लेक्स शामिल हैं, एक ऐसी विधि जो विरलता का भी फायदा उठाती है और मैट्रिक्स अपडेटिंग और "रिफैक्टराइजेशन" के लिए उन्नत रणनीतियों का उपयोग करती है। यह असीमित आकार की समस्याओं को हल करता है, थालाखों निर्णय चर के साथ रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं पर परीक्षण किया गया।
एक्सेल में चरण दर चरण उदाहरण
एक्सेल में ऑप्टिमाइज़ेशन समस्या मॉडल को परिभाषित करने के लिए, निम्न चरणों का पालन करें:
- समस्या के लिए डेटा को स्प्रेडशीट में तार्किक रूप में व्यवस्थित करें।
- प्रत्येक वेरिएबल को स्टोर करने के लिए एक सेल का चयन करें।
- अनुकूलन समस्या के लक्ष्य गणितीय मॉडल की गणना के लिए सेल में एक सूत्र बनाएं।
- प्रत्येक बाधा के बाईं ओर की गणना करने के लिए सूत्र बनाएं।
- सॉल्वर को निर्णय चर, लक्ष्य, बाधाओं और उन मापदंडों पर वांछित सीमा के बारे में बताने के लिए एक्सेल में संवाद का उपयोग करें।
- इष्टतम समाधान खोजने के लिए "सॉल्वर" चलाएँ।
- एक्सेल शीट बनाएं।
- एक्सेल में समस्या के लिए डेटा व्यवस्थित करें जहां उद्देश्य फ़ंक्शन और बाधा के लिए सूत्र की गणना की जाती है।
उपरोक्त तालिका में, सेल B4, C4, D4, और E4 को निर्णय चर X 1, X 2, X 3, और X 4 का प्रतिनिधित्व करने के लिए आरक्षित किया गया है। निर्णय उदाहरण:
- उत्पाद मिश्रण मॉडल ($450, $1150, $800, और $400 लाभ प्रति उत्पाद) क्रमशः कोशिकाओं B5, C5, D5 और E5 में दर्ज किया गया था। इससे लक्ष्य की गणना F5=B5B4 + C5C4 + D5D4 + E5E4 या F5:=SUMPRODUCT (B5: E5, B4: E4) में की जा सकती है।
- B8 में प्रत्येक प्रकार के उत्पाद के निर्माण के लिए आवश्यक संसाधनों की मात्रा दर्ज करें।
- F8 के लिए फॉर्मूला:=SUMPRODUCT(B8:E8, $B$4:$E$4)।
- इसे कॉपी करेंF9 में सूत्र। $B$4:$E$4 में डॉलर के संकेत इंगित करते हैं कि यह सेल श्रेणी स्थिर रहती है।
- G8 में दाईं ओर प्रतिबंधों के मूल्यों के अनुरूप प्रत्येक प्रकार के संसाधनों की उपलब्ध मात्रा दर्ज करें। यह आपको उन्हें इस तरह व्यक्त करने की अनुमति देता है: F11<=G8: G11.
- यह चार सीमाओं के बराबर है F8<=G8, F9 <=G9, F10 <=G10 और F11=0
विधि के व्यावहारिक अनुप्रयोग के क्षेत्र
रैखिक अनुकूलन में अनुकूलन समस्या के उदाहरण के रूप में कई व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं:
एक कंपनी एक ज्ञात योगदान मार्जिन के साथ कई उत्पाद बना सकती है। प्रत्येक वस्तु की एक इकाई के उत्पादन के लिए सीमित संसाधनों की एक ज्ञात मात्रा की आवश्यकता होती है। कार्य यह निर्धारित करने के लिए एक उत्पादन कार्यक्रम बनाना है कि प्रत्येक उत्पाद का कितना उत्पादन किया जाना चाहिए ताकि कंपनी के लाभ को संसाधनों की कमी का उल्लंघन किए बिना अधिकतम किया जा सके।
मिश्रण समस्याएँ अंतिम उत्पाद में अवयवों के संयोजन से संबंधित अनुकूलन समस्याओं का समाधान हैं। इसका एक उदाहरण 1947 में जॉर्ज डेंजिग द्वारा अध्ययन की गई आहार की समस्या है। कई कच्चे माल दिए जाते हैं, जैसे जई, सूअर का मांस और सूरजमुखी का तेल, साथ ही उनकी पोषण सामग्री, जैसे प्रोटीन, वसा, विटामिन ए, और उनकी कीमत प्रति किलोग्राम। चुनौती यह है कि कच्चे माल से एक या अधिक अंतिम उत्पादों को उनके पोषण मूल्य के लिए न्यूनतम और अधिकतम सीमाओं का सम्मान करते हुए न्यूनतम संभव लागत पर मिश्रित किया जाए।
एक रेखीय अनुकूलन समस्या का एक उत्कृष्ट अनुप्रयोग जरूरतों के लिए रूटिंग निर्धारित करना हैदूरसंचार या परिवहन नेटवर्क में यातायात। उसी समय, प्रवाह को नेटवर्क के माध्यम से इस तरह से रूट किया जाना चाहिए कि बैंडविड्थ शर्तों का उल्लंघन किए बिना सभी ट्रैफ़िक आवश्यकताओं को पूरा किया जा सके।
गणितीय सिद्धांत में, दो लोगों के लिए शून्य-योग गेम में इष्टतम रणनीतियों की गणना करने के लिए रैखिक अनुकूलन का उपयोग किया जा सकता है। इस मामले में, प्रत्येक प्रतिभागी के लिए संभाव्यता वितरण की गणना की जाती है, जो कि उसकी रणनीतियों के यादृच्छिक मिश्रण का गुणांक है।
बिना अनुकूलन के विश्व में कोई भी सफल व्यावसायिक प्रक्रिया संभव नहीं है। कई अनुकूलन एल्गोरिदम उपलब्ध हैं। कुछ विधियाँ केवल कुछ प्रकार की समस्याओं के लिए उपयुक्त होती हैं। उनकी विशेषताओं को पहचानने और उपयुक्त समाधान पद्धति का चयन करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है।
