ग्राहम संख्या की परिभाषा और परिमाण

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-15 17:24

"अनंत" शब्द पर प्रत्येक व्यक्ति का अपना संघ होता है। कई लोग अपनी कल्पना में क्षितिज के पार जाने वाले समुद्र को आकर्षित करते हैं, जबकि अन्य लोगों की आंखों के सामने एक अंतहीन तारों वाले आकाश का चित्र होता है। गणितज्ञ, संख्याओं के साथ काम करने के आदी, अनंत की पूरी तरह से अलग तरीके से कल्पना करते हैं। कई शताब्दियों से वे मापने के लिए आवश्यक भौतिक मात्राओं में से सबसे बड़ी मात्रा को खोजने की कोशिश कर रहे हैं। उनमें से एक ग्राहम नंबर है। इसमें कितने जीरो होते हैं और इसका उपयोग किस लिए किया जाता है, यह लेख बताएगा।

अनंत बड़ी संख्या

गणित में, यह ऐसे चर x का नाम है, यदि किसी दिए गए सकारात्मक संख्या M के लिए कोई प्राकृतिक संख्या N निर्दिष्ट कर सकता है जैसे कि सभी संख्याओं के लिए n से बड़ा असमानता |x_{| > M. हालांकि, नहीं, उदाहरण के लिए, पूर्णांक Z को अपरिमित रूप से बड़ा माना जा सकता है, क्योंकि यह हमेशा (Z + 1) से कम होगा।}

"दिग्गजों" के बारे में कुछ शब्द

भौतिक अर्थ वाली सबसे बड़ी संख्याएं मानी जाती हैं:

• 1080। यह संख्या, जिसे आमतौर पर क्विनक्वाविगिनटिलियन कहा जाता है, का उपयोग ब्रह्मांड में क्वार्क और लेप्टान (सबसे छोटे कण) की अनुमानित संख्या को दर्शाने के लिए किया जाता है।
• 1 गूगल। दशमलव प्रणाली में ऐसी संख्या को 100 शून्य वाली इकाई के रूप में लिखा जाता है। कुछ गणितीय मॉडलों के अनुसार, महाविस्फोट के समय से लेकर सबसे विशाल ब्लैक होल के विस्फोट तक, 1 से 1.5 गोगोल वर्ष बीत जाने चाहिए, जिसके बाद हमारा ब्रह्मांड अपने अस्तित्व के अंतिम चरण में चला जाएगा, अर्थात, हम कर सकते हैं मान लें कि इस संख्या का एक निश्चित भौतिक अर्थ है।
• 8, 5 x 10¹⁸⁵। प्लैंक का स्थिरांक 1.616199 x 10^-35 मी है, यानी दशमलव अंकन में यह 0.00000000000000000000000000000616199 मीटर जैसा दिखता है। एक इंच में लगभग 1 गूगोल प्लैंक लंबाई होती है। ऐसा अनुमान है कि लगभग 8.5 x 10^{185 प्लैंक की लंबाई हमारे पूरे ब्रह्मांड में फिट हो सकती है।}
• 2^{77 232 917} - 1. यह सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या है। यदि इसके बाइनरी नोटेशन का काफी कॉम्पैक्ट रूप है, तो इसे दशमलव रूप में चित्रित करने के लिए, इसमें 13 मिलियन से कम वर्ण नहीं होंगे। इसे 2017 में Mersenne नंबरों की खोज के लिए एक प्रोजेक्ट के हिस्से के रूप में खोजा गया था। यदि उत्साही लोग इस दिशा में काम करना जारी रखते हैं, तो कंप्यूटर प्रौद्योगिकी के विकास के वर्तमान स्तर पर, निकट भविष्य में वे एक Mersenne संख्या को 2^{77 232 917 से अधिक परिमाण का एक क्रम खोजने में सक्षम होने की संभावना नहीं रखते हैं।- 1, हालांकि ऐसाभाग्यशाली विजेता को US$150,000 प्राप्त होगा।}
• ह्यूगोप्लेक्स। यहां हम सिर्फ 1 लेते हैं और उसके बाद 1 गूगोल की मात्रा में शून्य जोड़ते हैं। आप इस संख्या को 10^10^100 लिख सकते हैं। इसे दशमलव रूप में निरूपित करना असंभव है, क्योंकि यदि ब्रह्मांड का पूरा स्थान कागज के टुकड़ों से भरा हुआ है, जिनमें से प्रत्येक पर 10 के "वर्ड" फ़ॉन्ट आकार के साथ 0 लिखा होगा, तो इस मामले में केवल आधा googolplex नंबर के लिए 1 के बाद सभी 0 प्राप्त होंगे।
• 10^10^10^10^10^1.1. यह एक संख्या है जो वर्षों की संख्या को दर्शाती है, जिसके बाद, पोंकारे प्रमेय के अनुसार, हमारा ब्रह्मांड, यादृच्छिक क्वांटम उतार-चढ़ाव के परिणामस्वरूप, आज के करीब एक राज्य में वापस आ जाएगा।

ग्रैहम के नंबर कैसे आए

1977 में, विज्ञान के प्रसिद्ध लोकप्रिय मार्टिन गार्डनर ने रामसे के सिद्धांत की समस्याओं में से एक के ग्राहम के प्रमाण के विषय में साइंटिफिक अमेरिकन में एक लेख प्रकाशित किया। इसमें उन्होंने वैज्ञानिक द्वारा निर्धारित सीमा को गंभीर गणितीय तर्क में अब तक की सबसे बड़ी संख्या बताया है।

कौन हैं रोनाल्ड लुईस ग्राहम

वैज्ञानिक, अब 80 के दशक में, कैलिफोर्निया में पैदा हुआ था। 1962 में, उन्होंने बर्कले विश्वविद्यालय से गणित में पीएच.डी की उपाधि प्राप्त की। उन्होंने 37 साल तक बेल लैब्स में काम किया और बाद में एटी एंड टी लैब्स में चले गए। वैज्ञानिक ने 20वीं सदी के महानतम गणितज्ञों में से एक, पाल एर्डोस के साथ सक्रिय रूप से सहयोग किया और कई प्रतिष्ठित पुरस्कारों के विजेता हैं। ग्राहम की वैज्ञानिक ग्रंथ सूची में 320 से अधिक वैज्ञानिक पत्र हैं।

70 के दशक के मध्य में, वैज्ञानिक की रुचि सिद्धांत से जुड़ी समस्या में थीरैमसे। इसके प्रमाण में, समाधान की ऊपरी सीमा निर्धारित की गई थी, जो एक बहुत बड़ी संख्या है, जिसे बाद में रोनाल्ड ग्राहम के नाम पर रखा गया।

हाइपरक्यूब समस्या

ग्राहम संख्या के सार को समझने के लिए, आपको पहले यह समझना होगा कि इसे कैसे प्राप्त किया गया।

वैज्ञानिक और उनके सहयोगी ब्रूस रोथ्सचाइल्ड निम्नलिखित समस्या का समाधान कर रहे थे:

एक n-आयामी हाइपरक्यूब है। इसके शीर्षों के सभी युग्म इस प्रकार जुड़े हुए हैं कि 2शीर्षों वाला एक पूर्ण आलेख प्राप्त होता है। इसके प्रत्येक किनारे का रंग या तो नीला या लाल है। एक हाइपरक्यूब में कम से कम शीर्षों की संख्या ज्ञात करना आवश्यक था ताकि इस तरह के प्रत्येक रंग में एक ही तल में 4 शीर्षों के साथ एक पूर्ण मोनोक्रोमैटिक सबग्राफ हो।

निर्णय

ग्राहम और रोथ्सचाइल्ड ने साबित किया कि समस्या का एक समाधान है N' शर्त 6 N' N को संतुष्ट करता है जहाँ N एक अच्छी तरह से परिभाषित, बहुत बड़ी संख्या है।

एन के लिए निचली सीमा को बाद में अन्य वैज्ञानिकों द्वारा परिष्कृत किया गया, जिन्होंने साबित किया कि एन को 13 से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए। इस प्रकार, हाइपरक्यूब की सबसे छोटी संख्या के लिए अभिव्यक्ति जो ऊपर प्रस्तुत शर्तों को संतुष्ट करती है, बन गई 13 एन'⩽ एन ।

नुथ्स एरो नोटेशन

ग्राहम संख्या को परिभाषित करने से पहले, आपको इसके प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व की विधि से परिचित होना चाहिए, क्योंकि इसके लिए न तो दशमलव और न ही बाइनरी नोटेशन बिल्कुल उपयुक्त है।

वर्तमान में, इस मात्रा को दर्शाने के लिए नुथ के तीर संकेतन का उपयोग किया जाता है। उनके अनुसार:

ab=a "ऊपर तीर" b.

एकाधिक घातांक के संचालन के लिए, प्रविष्टि पेश की गई थी:

a "अप एरो" "अप एरो" b=ab="एक टावर जिसमें b पीस की मात्रा होती है।"

और पेंटेशन के लिए, यानी पिछले ऑपरेटर के बार-बार घातांक के प्रतीकात्मक पदनाम, नुथ ने पहले से ही 3 तीरों का उपयोग किया है।

ग्राहम नंबर के लिए इस नोटेशन का उपयोग करते हुए, हमारे पास 64 पीसी की मात्रा में "एरो" सीक्वेंस एक दूसरे में नेस्टेड हैं।

पैमाना

उनकी प्रसिद्ध संख्या, जो कल्पना को उत्तेजित करती है और मानव चेतना की सीमाओं का विस्तार करती है, इसे ब्रह्मांड की सीमाओं से परे ले जाती है, ग्राहम और उनके सहयोगियों ने इसे हाइपरक्यूब के प्रमाण में संख्या एन के लिए ऊपरी सीमा के रूप में प्राप्त किया। ऊपर प्रस्तुत समस्या। एक सामान्य व्यक्ति के लिए यह कल्पना करना अत्यंत कठिन है कि उसका पैमाना कितना बड़ा है।

चरित्रों की संख्या का प्रश्न, या जैसा कि कभी-कभी गलती से कहा जाता है, ग्राहम की संख्या में शून्य, लगभग सभी के लिए रुचिकर है जो पहली बार इस मान के बारे में सुनते हैं।

इतना ही कहना काफ़ी है कि हम तेजी से बढ़ते क्रम के साथ काम कर रहे हैं जिसमें 64 सदस्य हैं। यहां तक कि इसके पहले कार्यकाल की कल्पना करना असंभव है, क्योंकि इसमें n "टावर" होते हैं, जिसमें 3-टू शामिल होते हैं। पहले से ही इसकी 3 त्रिगुणों की "निचली मंजिल" 7,625,597,484,987 के बराबर है, यानी यह 7 बिलियन से अधिक है, यानी 64वीं मंजिल (सदस्य नहीं!) इस प्रकार, वर्तमान में यह कहना असंभव है कि ग्राहम संख्या क्या है, क्योंकि यह गणना करने के लिए पर्याप्त नहीं है।आज पृथ्वी पर मौजूद सभी कंप्यूटरों की संयुक्त शक्ति।

रिकॉर्ड टूट गया?

क्रुस्कल के प्रमेय को सिद्ध करने की प्रक्रिया में, ग्राहम की संख्या "अपने आसन से फेंक दी गई"। वैज्ञानिक ने निम्नलिखित समस्या का प्रस्ताव रखा:

परिमित वृक्षों का अनंत क्रम है। क्रुस्कल ने साबित किया कि हमेशा कुछ ग्राफ का एक खंड मौजूद होता है, जो एक बड़े ग्राफ का हिस्सा होता है और इसकी सटीक प्रतिलिपि। यह कथन कोई संदेह नहीं पैदा करता है, क्योंकि यह स्पष्ट है कि अनंत पर हमेशा एक सटीक दोहराव वाला संयोजन होगा।

बाद में, हार्वे फ्रीडमैन ने केवल ऐसे एसाइक्लिक ग्राफ (पेड़) पर विचार करके इस समस्या को कुछ हद तक कम कर दिया कि गुणांक वाले किसी विशेष के लिए i अधिकतम (i + k) शिखर हैं। उन्होंने यह पता लगाने का फैसला किया कि एसाइक्लिक ग्राफ़ की संख्या कितनी होनी चाहिए, ताकि उनके कार्य की इस पद्धति से हमेशा एक उपट्री खोजना संभव हो जो दूसरे पेड़ में अंतर्निहित हो।

इस मुद्दे पर शोध के परिणामस्वरूप, यह पाया गया कि k के आधार पर N, जबरदस्त गति से बढ़ता है। विशेष रूप से, यदि k=1, तो N=3. हालाँकि, k=2 पर, N पहले से ही 11 तक पहुँच जाता है। सबसे दिलचस्प बात तब शुरू होती है जब k=3। इस मामले में, N तेजी से "उतार लेता है" और एक मान तक पहुँच जाता है कि ग्राहम संख्या से कई गुना अधिक है। यह कल्पना करने के लिए कि यह कितना बड़ा है, यह रोनाल्ड ग्राहम द्वारा गणना की गई संख्या को G64 (3) के रूप में लिखने के लिए पर्याप्त है। फिर फ्रीडमैन-क्रुस्कल मूल्य (रेव। फिनक्रस्कल (3)), जी (जी(187196)) के क्रम का होगा। दूसरे शब्दों में, एक मेगा-वैल्यू प्राप्त होता है, जो असीम रूप से बड़ा होता हैएक अकल्पनीय रूप से बड़ी ग्राहम संख्या। साथ ही, यह भी अनंत से कई गुना कम होगा। इस अवधारणा के बारे में अधिक विस्तार से बात करना समझ में आता है।

इन्फिनिटी

अब जब हमने बता दिया है कि उंगलियों पर ग्राहम नंबर क्या है, तो हमें उस अर्थ को समझना चाहिए जो इस दार्शनिक अवधारणा में निवेश किया गया है और किया जा रहा है। आखिरकार, "अनंत" और "एक असीम रूप से बड़ी संख्या" को एक निश्चित संदर्भ में समान माना जा सकता है।

इस मुद्दे के अध्ययन में सबसे बड़ा योगदान अरस्तु का था। पुरातनता के महान विचारक ने अनंत को संभावित और वास्तविक में विभाजित किया। उत्तरार्द्ध से उनका मतलब अनंत चीजों के अस्तित्व की वास्तविकता से था।

अरस्तू के अनुसार, इस मौलिक अवधारणा के बारे में विचारों के स्रोत हैं:

• समय;
• मूल्यों का पृथक्करण;
• सीमा की अवधारणा और उससे परे किसी चीज़ का अस्तित्व;
• रचनात्मक प्रकृति की अटूटता;
• सोचना जिसकी कोई सीमा नहीं होती।

अनंत की आधुनिक व्याख्या में, आप एक मात्रात्मक माप निर्दिष्ट नहीं कर सकते हैं, इसलिए सबसे बड़ी संख्या की खोज हमेशा के लिए चल सकती है।

निष्कर्ष

क्या रूपक "अनंत में टकटकी लगाए" और ग्राहम की संख्या को किसी अर्थ में पर्यायवाची माना जा सकता है? बल्कि हां और नहीं। सबसे मजबूत कल्पना के साथ भी दोनों की कल्पना करना असंभव है। हालांकि, जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, इसे "सबसे अधिक, सबसे अधिक" नहीं माना जा सकता है। एक और बात यह है कि फिलहाल, ग्राहम संख्या से अधिक मूल्यों का कोई स्थापित नहीं हैशारीरिक भावना।

साथ ही, इसमें अनंत संख्या के गुण नहीं होते, जैसे:

• ∞ + 1=;
• विषम और सम संख्याओं दोनों की अनंत संख्या है;
• ∞ - 1=;
• विषम संख्याओं की संख्या सभी संख्याओं से ठीक आधी होती है;
• ∞ +=;
• ∞/2=.

संक्षेप में: गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स के अनुसार, गणितीय प्रमाण के अभ्यास में ग्राहम की संख्या सबसे बड़ी संख्या है। हालाँकि, ऐसी संख्याएँ हैं जो इस मान से कई गुना अधिक हैं।

सबसे अधिक संभावना है, भविष्य में और भी बड़े "दिग्गजों" की आवश्यकता होगी, खासकर यदि कोई व्यक्ति हमारे सौर मंडल से परे चला जाता है या हमारी चेतना के वर्तमान स्तर पर कुछ अकल्पनीय का आविष्कार करता है।