शायद, व्युत्पत्ति की अवधारणा हम में से प्रत्येक को स्कूल से परिचित है। आमतौर पर छात्रों को इसे समझने में कठिनाई होती है, निस्संदेह, बहुत महत्वपूर्ण बात। यह लोगों के जीवन के विभिन्न क्षेत्रों में सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है, और कई इंजीनियरिंग विकास व्युत्पन्न का उपयोग करके प्राप्त गणितीय गणनाओं पर आधारित थे। लेकिन संख्याओं के व्युत्पन्न क्या हैं, उनकी गणना कैसे करें और वे हमारे लिए कहां उपयोगी हैं, इसके विश्लेषण के लिए आगे बढ़ने से पहले, आइए इतिहास में उतरें।
इतिहास
व्युत्पत्ति की अवधारणा, जो गणितीय विश्लेषण का आधार है, आइजैक न्यूटन द्वारा खोजा गया था (इसे "आविष्कार" कहना बेहतर होगा, क्योंकि यह प्रकृति में मौजूद नहीं था), जिसे हम सभी जानते हैं सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम की खोज से। यह वह था जिसने पहली बार भौतिकी में इस अवधारणा को गति की प्रकृति और निकायों के त्वरण को जोड़ने के लिए लागू किया था। और कई वैज्ञानिक अभी भी इस शानदार आविष्कार के लिए न्यूटन की प्रशंसा करते हैं, क्योंकि वास्तव में उन्होंने डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस के आधार का आविष्कार किया था, वास्तव में, "कैलकुलस" नामक गणित के एक पूरे क्षेत्र का आधार। यदि उस समय न्यूटन को नोबेल पुरस्कार कई बार उच्च संभावना के साथ मिलता।
अन्य महान दिमागों के बिना नहीं। न्यूटन को छोड़करलियोनहार्ड यूलर, लुई लैग्रेंज और गॉटफ्रीड लाइबनिज़ जैसे प्रख्यात गणितीय प्रतिभाओं ने व्युत्पन्न और अभिन्न के विकास पर काम किया। यह उनके लिए धन्यवाद है कि हमने अंतर कलन का सिद्धांत उस रूप में प्राप्त किया है जिस रूप में यह आज तक मौजूद है। वैसे, यह लाइबनिज़ ही थे जिन्होंने व्युत्पन्न के ज्यामितीय अर्थ की खोज की थी, जो फलन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा से अधिक कुछ नहीं निकला।
संख्याओं के व्युत्पन्न क्या हैं? स्कूल में हमने जो अनुभव किया, उसे थोड़ा दोहराते हैं।
डेरिवेटिव क्या है?
इस अवधारणा को कई अलग-अलग तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है। सबसे सरल व्याख्या यह है कि व्युत्पन्न कार्य के परिवर्तन की दर है। x के किसी फलन y के आलेख की कल्पना कीजिए। यदि यह सीधा नहीं है, तो इसके ग्राफ में कुछ वक्र हैं, वृद्धि और कमी की अवधि। यदि हम इस ग्राफ का कुछ अपरिमित रूप से छोटा अंतराल लें, तो यह एक सरल रेखा खंड होगा। तो, y निर्देशांक के साथ इस असीम रूप से छोटे खंड के आकार का x निर्देशांक के साथ आकार का अनुपात किसी दिए गए बिंदु पर इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होगा। यदि हम फलन को संपूर्ण मानते हैं, न कि किसी विशिष्ट बिंदु पर, तो हमें एक व्युत्पन्न फलन मिलेगा, जो कि x पर y की एक निश्चित निर्भरता है।
इसके अलावा, किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर के रूप में व्युत्पन्न के भौतिक अर्थ के अलावा, एक ज्यामितीय अर्थ भी है। अब हम उसके बारे में बात करेंगे।
ज्यामितीय अर्थ
संख्याओं का व्युत्पन्न स्वयं एक निश्चित संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, जो उचित समझ के बिना नहीं होता हैकोई फायदा नहीं। यह पता चला है कि व्युत्पन्न न केवल फ़ंक्शन की वृद्धि या कमी की दर को दर्शाता है, बल्कि किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा के ढलान की स्पर्शरेखा भी दिखाता है। बहुत स्पष्ट परिभाषा नहीं है। आइए इसका अधिक विस्तार से विश्लेषण करें। मान लीजिए कि हमारे पास एक फ़ंक्शन का ग्राफ है (रुचि के लिए, आइए एक वक्र लें)। इसमें अनंत अंक हैं, लेकिन ऐसे क्षेत्र हैं जहां केवल एक ही बिंदु में अधिकतम या न्यूनतम होता है। ऐसे किसी भी बिंदु के माध्यम से एक ऐसी रेखा खींचना संभव है जो उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लंबवत हो। ऐसी रेखा को स्पर्शरेखा कहा जाएगा। मान लीजिए कि हमने इसे OX अक्ष के साथ चौराहे पर बिताया। तो, स्पर्शरेखा और OX अक्ष के बीच प्राप्त कोण व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित किया जाएगा। अधिक सटीक रूप से, इस कोण की स्पर्शरेखा इसके बराबर होगी।
आइए कुछ विशेष मामलों के बारे में बात करते हैं और संख्याओं के डेरिवेटिव का विश्लेषण करते हैं।
विशेष मामले
जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, संख्याओं का अवकलज एक विशेष बिंदु पर अवकलज के मान होते हैं। उदाहरण के लिए, आइए फ़ंक्शन y=x2 लें। व्युत्पन्न x एक संख्या है, और सामान्य स्थिति में, 2x के बराबर एक फलन। यदि हमें बिंदु x0=1 पर व्युत्पन्न की गणना करने की आवश्यकता है, तो हमें y'(1)=21=2 मिलता है। सब कुछ बहुत सरल है। एक दिलचस्प मामला एक जटिल संख्या का व्युत्पन्न है। हम सम्मिश्र संख्या क्या है, इसकी विस्तृत व्याख्या नहीं करेंगे। मान लीजिए कि यह एक ऐसी संख्या है जिसमें तथाकथित काल्पनिक इकाई है - एक संख्या जिसका वर्ग -1 है। ऐसे व्युत्पन्न की गणना केवल तभी संभव है जब निम्नलिखितशर्तें:
1) वाई और एक्स के संबंध में वास्तविक और काल्पनिक भागों के पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न होने चाहिए।
2) पहले पैराग्राफ में वर्णित आंशिक डेरिवेटिव की समानता से जुड़ी कॉची-रीमैन की शर्तें पूरी होती हैं।
एक और दिलचस्प मामला, हालांकि पिछले वाले जितना जटिल नहीं है, एक ऋणात्मक संख्या का व्युत्पन्न है। वास्तव में, किसी भी ऋणात्मक संख्या को -1 से गुणा करके धनात्मक संख्या के रूप में दर्शाया जा सकता है। ठीक है, स्थिरांक और फलन का अवकलज, फलन के अवकलज से गुणित स्थिरांक के बराबर होता है।
रोजमर्रा की जिंदगी में व्युत्पन्न की भूमिका के बारे में जानना दिलचस्प होगा, और यही हम अब चर्चा करेंगे।
आवेदन
शायद, हम में से प्रत्येक अपने जीवन में कम से कम एक बार खुद को यह सोचकर पकड़ लेता है कि गणित उसके लिए उपयोगी होने की संभावना नहीं है। और व्युत्पन्न के रूप में इस तरह की एक जटिल चीज, शायद, कोई आवेदन नहीं है। वास्तव में, गणित एक मौलिक विज्ञान है, और इसके सभी फल मुख्य रूप से भौतिकी, रसायन विज्ञान, खगोल विज्ञान और यहां तक कि अर्थशास्त्र द्वारा विकसित किए गए हैं। व्युत्पत्ति गणितीय विश्लेषण की शुरुआत थी, जिसने हमें कार्यों के रेखांकन से निष्कर्ष निकालने की क्षमता दी, और हमने प्रकृति के नियमों की व्याख्या करना और उन्हें अपने लाभ के लिए धन्यवाद देना सीखा।
निष्कर्ष
बेशक, वास्तविक जीवन में हर किसी को व्युत्पन्न की आवश्यकता नहीं हो सकती है। लेकिन गणित तर्क विकसित करता है, जिसकी निश्चित रूप से आवश्यकता होगी। यह अकारण नहीं है कि गणित को विज्ञान की रानी कहा जाता है: यह ज्ञान के अन्य क्षेत्रों को समझने का आधार बनाता है।
