एक त्रिभुज एक बहुभुज है जिसकी तीन भुजाएँ (तीन कोने) हैं। अक्सर, पक्षों को छोटे अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, जो कि बड़े अक्षरों के अनुरूप होते हैं जो विपरीत शिखर को दर्शाते हैं। इस लेख में, हम इन ज्यामितीय आकृतियों के प्रकारों से परिचित होंगे, वह प्रमेय जो यह निर्धारित करती है कि त्रिभुज के कोणों का योग कितना होता है।
कोण से देखे जाने की संख्या
तीन शीर्षों वाले निम्न प्रकार के बहुभुज प्रतिष्ठित हैं:
- तीव्र कोण, जिसके सभी कोने नुकीले हों;
- आयताकार, जिसमें एक समकोण हो, जबकि भुजाएँ जो इसे बनाती हैं, टाँगें कहलाती हैं, और वह भुजा जो समकोण के विपरीत रखी जाती है, कर्ण कहलाती है;
- मोटे तब जब एक कोना अधिक मोटा हो;
- समद्विबाहु, जिसमें दो भुजाएँ बराबर होती हैं, और उन्हें पार्श्व कहा जाता है, और तीसरा त्रिभुज का आधार होता है;
- समभुज, जिसकी तीनों भुजाएँ समान हों।
गुण
वे मुख्य गुणों को उजागर करते हैं जो प्रत्येक प्रकार के त्रिभुज की विशेषता हैं:
- बड़े पक्ष के विपरीत हमेशा एक बड़ा कोण होता है, और इसके विपरीत;
- समान आकार की विपरीत भुजाएं समान कोण हैं, और इसके विपरीत;
- किसी भी त्रिभुज में दो न्यून कोण होते हैं;
- बाहर का कोना किसी भी भीतरी कोने से बड़ा होता है जो उससे सटा नहीं होता;
- किन्हीं दो कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री से कम होता है;
- बाहरी कोना अन्य दो कोनों के योग के बराबर होता है जो इसे नहीं काटते हैं।
कोण प्रमेय का त्रिभुज योग
प्रमेय में कहा गया है कि यदि आप दी गई ज्यामितीय आकृति के सभी कोणों को जोड़ दें, जो यूक्लिडियन तल पर स्थित है, तो उनका योग 180 डिग्री होगा। आइए इस प्रमेय को सिद्ध करने का प्रयास करें।
केएमएन के शीर्षों वाला एक मनमाना त्रिभुज बनाते हैं।
शीर्ष M से होकर सीधी रेखा KN के समानांतर एक सीधी रेखा खींचिए (इस रेखा को यूक्लिडियन सीधी रेखा भी कहा जाता है)। हम इस पर बिंदु A को इस तरह से चिह्नित करते हैं कि बिंदु K और A सीधी रेखा MN के विभिन्न किनारों पर स्थित हैं। हमें समान कोण एएमएन और केएनएम मिलते हैं, जो आंतरिक की तरह, क्रॉसवर्ड स्थित होते हैं और छेदक एमएन द्वारा सीधी रेखाओं केएन और एमए के साथ मिलकर बनते हैं, जो समानांतर हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि शीर्ष M और H पर स्थित त्रिभुज के कोणों का योग कोण KMA के आकार के बराबर होता है। तीनों कोणों का योग बनता है, जो KMA और MKN कोणों के योग के बराबर होता है। चूँकि ये कोण के सन्दर्भ में एक तरफा आंतरिक हैंसमानांतर सीधी रेखाएँ KN और MA एक सेकंड KM के साथ, उनका योग 180 डिग्री है। प्रमेय सिद्ध।
परिणाम
उपरोक्त सिद्ध प्रमेय से निम्नलिखित परिणाम निकलता है: किसी भी त्रिभुज में दो न्यून कोण होते हैं। इसे सिद्ध करने के लिए, मान लें कि दी गई ज्यामितीय आकृति में केवल एक न्यून कोण होता है। यह भी माना जा सकता है कि कोई भी कोण न्यूनकोण नहीं है। इस मामले में, कम से कम दो कोण होने चाहिए जो 90 डिग्री के बराबर या उससे अधिक हों। लेकिन तब कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक होगा। लेकिन ऐसा नहीं हो सकता, क्योंकि प्रमेय के अनुसार त्रिभुज के कोणों का योग 180° होता है - न अधिक और न कम। यही साबित करना था।
बाहरी कोने की संपत्ति
बाह्य त्रिभुज के कोणों का योग क्या होता है? इस प्रश्न का उत्तर दो में से एक तरीके से दिया जा सकता है। पहला यह है कि कोणों का योग ज्ञात करना आवश्यक है, जो प्रत्येक शीर्ष पर एक लिया जाता है, अर्थात तीन कोण। दूसरे का तात्पर्य है कि आपको शीर्षों पर सभी छह कोणों का योग ज्ञात करने की आवश्यकता है। सबसे पहले, आइए पहले विकल्प से निपटें। तो, त्रिभुज में छह बाहरी कोने होते हैं - प्रत्येक शीर्ष पर दो।
प्रत्येक जोड़ी के कोण समान होते हैं क्योंकि वे लंबवत होते हैं:
∟1=4, ∟2=5, 3=∟6.
इसके अलावा, यह ज्ञात है कि त्रिभुज का बाहरी कोण दो आंतरिक कोणों के योग के बराबर होता है जो इसे नहीं काटते हैं। इसलिए, ∟1=∟A + ∟C, ∟2=A + B, ∟3=∟B + ∟C.
इससे पता चलता है कि बाह्य का योगकोने, जिन्हें प्रत्येक शीर्ष पर एक लिया जाता है, के बराबर होगा:
∟1 + 2 + ∟3=∟A + ∟C + ∟A + ∟B + ∟B + C=2 x (∟A + ∟B + ∟C)।
यह देखते हुए कि कोणों का योग 180 डिग्री है, यह तर्क दिया जा सकता है कि ∟A + ∟B + ∟C=180°। और इसका मतलब है कि ∟1 + 2 + ∟3=2 x 180°=360°। यदि दूसरे विकल्प का उपयोग किया जाता है, तो छह कोणों का योग क्रमशः दोगुना बड़ा होगा। अर्थात् त्रिभुज के बाह्य कोणों का योग होगा:
∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6=2 x (∟1 + ∟2 + ∟2)=720°।
समकोण त्रिभुज
एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों का योग कितना होता है? इस प्रश्न का उत्तर, फिर से, प्रमेय से मिलता है, जिसमें कहा गया है कि त्रिभुज में कोणों का योग 180 डिग्री तक होता है। और हमारा कथन (संपत्ति) इस तरह लगता है: एक समकोण त्रिभुज में न्यून कोण 90 डिग्री तक जोड़ते हैं। आइए इसकी सत्यता साबित करें।
आइए हमें एक त्रिभुज KMN दिया गया है, जिसमें ∟Н=90° है। यह सिद्ध करना आवश्यक है कि ∟K + ∟M=90°।
तो, कोण योग प्रमेय के अनुसार + + ∟Н=180°। हमारी स्थिति कहती है कि=90°। तो यह निकला, ∟K + ∟M + 90°=180°। अर्थात् K + M=180° - 90°=90°। यही हमें साबित करना था।
एक समकोण त्रिभुज के उपरोक्त गुणों के अतिरिक्त, आप निम्नलिखित जोड़ सकते हैं:
- पैरों के सामने वाले कोण नुकीले होते हैं;
- कर्ण किसी भी टांग से अधिक त्रिभुजाकार है;
- पैरों का योग कर्ण से अधिक है;
- पैरएक त्रिभुज जो 30 डिग्री के कोण के विपरीत स्थित होता है, कर्ण का आधा होता है, अर्थात उसके आधे के बराबर होता है।
इस ज्यामितीय आकृति की एक अन्य संपत्ति के रूप में, पाइथागोरस प्रमेय को प्रतिष्ठित किया जा सकता है। वह बताती हैं कि 90 डिग्री (आयताकार) के कोण वाले त्रिभुज में, पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है।
एक समद्विबाहु त्रिभुज के कोणों का योग
पहले हमने कहा था कि समद्विबाहु एक बहुभुज है जिसमें तीन शीर्ष होते हैं, जिसमें दो बराबर भुजाएँ होती हैं। किसी दिए गए ज्यामितीय आकृति का यह गुण ज्ञात होता है: इसके आधार पर कोण बराबर होते हैं। आइए इसे साबित करें।
त्रिभुज KMN लें, जो समद्विबाहु है, KN इसका आधार है।
हमें यह सिद्ध करना है कि=. तो, मान लीजिए कि MA हमारे त्रिभुज KMN का समद्विभाजक है। एमसीए त्रिकोण, समानता के पहले संकेत को ध्यान में रखते हुए, एमसीए त्रिकोण के बराबर है। अर्थात्, शर्त के अनुसार यह दिया गया है कि KM=NM, MA एक उभयनिष्ठ भुजा है, 1=2, क्योंकि MA एक समद्विभाजक है। इस तथ्य का प्रयोग करते हुए कि ये दोनों त्रिभुज बराबर हैं, हम कह सकते हैं कि K=. तो प्रमेय सिद्ध होता है।
लेकिन हम इस बात में रुचि रखते हैं कि त्रिभुज (समद्विबाहु) के कोणों का योग क्या होता है। चूंकि इस संबंध में इसकी अपनी विशिष्टताएं नहीं हैं, इसलिए हम पहले विचार किए गए प्रमेय से शुरू करेंगे। अर्थात्, हम कह सकते हैं कि K + M + ∟H=180°, या 2 x K + M=180° (चूंकि ∟K=H)। हम इस गुण को सिद्ध नहीं करेंगे, क्योंकि त्रिभुज योग प्रमेय पहले ही सिद्ध हो चुका था।
चर्चा के अलावात्रिभुज के कोणों के गुणधर्म, ऐसे महत्वपूर्ण कथन भी हैं:
- एक समद्विबाहु त्रिभुज में, ऊंचाई जो आधार तक कम की गई थी, दोनों माध्यिका है, कोण का द्विभाजक जो समान भुजाओं के बीच है, साथ ही इसके आधार की समरूपता की धुरी;
- माध्यिकाएँ (द्विभाजक, ऊँचाई) जो इस प्रकार की ज्यामितीय आकृति की भुजाओं की ओर खींची जाती हैं, बराबर होती हैं।
समबाहु त्रिभुज
इसे दायां भी कहते हैं, यह एक त्रिभुज है जिसकी सभी भुजाएं बराबर हैं। अतः कोण भी बराबर होते हैं। प्रत्येक 60 डिग्री है। आइए इस गुण को सिद्ध करें।
मान लें कि हमारे पास एक त्रिभुज KMN है। हम जानते हैं कि केएम=एनएम=केएन। और इसका मतलब है कि एक समद्विबाहु त्रिभुज में आधार पर स्थित कोणों के गुण के अनुसार==. चूंकि, प्रमेय के अनुसार, त्रिभुज के कोणों का योग ∟К + + ∟Н=180° है, तो 3 x=180° या ∟К=60°, ∟М=60°,=60°। इस प्रकार, कथन सिद्ध होता है।
जैसा कि आप प्रमेय के आधार पर उपरोक्त प्रमाण से देख सकते हैं, एक समबाहु त्रिभुज के कोणों का योग, किसी अन्य त्रिभुज के कोणों के योग की तरह, 180 डिग्री होता है। इस प्रमेय को फिर से सिद्ध करने की आवश्यकता नहीं है।
एक समबाहु त्रिभुज के ऐसे भी गुण होते हैं:
इस तरह की ज्यामितीय आकृति में
के रूप में की जाती है।
विषमकोण त्रिभुज
एक अधिक त्रिभुज की परिभाषा के अनुसार, इसका एक कोण 90 और 180 डिग्री के बीच होता है। लेकिन यह देखते हुए कि इस ज्यामितीय आकृति के अन्य दो कोण न्यून हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वे 90 डिग्री से अधिक नहीं हैं। इसलिए, एक अधिक त्रिभुज में कोणों के योग की गणना करते समय कोणों के प्रमेय का त्रिभुज योग काम करता है। यह पता चला है कि उपरोक्त प्रमेय के आधार पर हम सुरक्षित रूप से कह सकते हैं कि एक अधिक त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री है। फिर से, इस प्रमेय को फिर से सिद्ध करने की आवश्यकता नहीं है।
