अंकगणित वर्गमूल और उसके गुण

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

हम सभी ने स्कूल में बीजगणित कक्षा में अंकगणित वर्गमूल का अध्ययन किया। ऐसा होता है कि अगर ज्ञान को ताज़ा नहीं किया जाता है, तो इसे जल्दी से भुला दिया जाता है, वही जड़ों के साथ। यह लेख आठवीं कक्षा के छात्रों के लिए उपयोगी होगा जो इस क्षेत्र में अपने ज्ञान को ताज़ा करना चाहते हैं, और अन्य स्कूली बच्चों के लिए, क्योंकि हम ग्रेड 9, 10 और 11 में जड़ों के साथ काम करते हैं।

जड़ और डिग्री का इतिहास

प्राचीन काल में भी, और विशेष रूप से प्राचीन मिस्र में, लोगों को संख्याओं पर संचालन करने के लिए डिग्री की आवश्यकता होती थी। जब ऐसी कोई अवधारणा नहीं थी, मिस्रवासियों ने एक ही संख्या के गुणनफल को बीस बार लिखा। लेकिन जल्द ही समस्या का एक समाधान खोज लिया गया - जितनी बार संख्या को अपने आप से गुणा करना होगा, उसके ऊपर ऊपरी दाएं कोने में लिखा जाना शुरू हो गया, और रिकॉर्डिंग का यह रूप आज तक जीवित है।

और वर्गमूल का इतिहास लगभग 500 साल पहले शुरू हुआ था। इसे अलग-अलग तरीकों से नामित किया गया था, और केवल सत्रहवीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस ने ऐसा संकेत पेश किया, जिसका उपयोग हम आज तक करते हैं।

वर्गमूल क्या होता है

आइए समझाते हैं कि वर्गमूल क्या होता है। किसी संख्या c का वर्गमूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, जिसका वर्ग करने पर, c के बराबर होगा। इस स्थिति में, c, शून्य से बड़ा या उसके बराबर है।

किसी संख्या को मूल के नीचे लाने के लिए, हम उसका वर्ग करते हैं और उसके ऊपर मूल चिह्न लगाते हैं:

32=9, 3=9

साथ ही, हम ऋणात्मक संख्या के वर्गमूल का मान प्राप्त नहीं कर सकते, क्योंकि वर्ग में कोई भी संख्या धनात्मक होती है, अर्थात:

c² ≧ 0, यदि √c एक ऋणात्मक संख्या है, तो c^{2 < 0 - नियम के विपरीत।}

वर्गमूलों की शीघ्र गणना करने के लिए, आपको संख्याओं के वर्गों की तालिका जाननी होगी।

गुण

आइए वर्गमूल के बीजीय गुणों पर विचार करें।

1) उत्पाद का वर्गमूल निकालने के लिए, आपको प्रत्येक कारक का मूल लेना होगा। अर्थात इसे गुणनखंडों के मूलों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है:

√ac=a × c, उदाहरण के लिए:

√36=√4 × √9

2) किसी भिन्न से मूल निकालते समय अंश और हर से अलग-अलग मूल निकालना आवश्यक होता है, अर्थात इसे उनके मूल के भागफल के रूप में लिखें।

3) किसी संख्या का वर्गमूल लेकर प्राप्त मान हमेशा इस संख्या के मापांक के बराबर होता है, क्योंकि मापांक केवल धनात्मक हो सकता है:

√с2=с∣, ∣с∣ > 0.

4) किसी भी शक्ति की जड़ को ऊपर उठाने के लिए हम उसे ऊपर उठाते हैंकट्टरपंथी अभिव्यक्ति:

(√с)⁴=√с^{4, उदाहरण के लिए:}

(√2)⁶ =2⁶⁼⁶⁴⁼⁸

5) c के अंकगणितीय मूल का वर्ग इस संख्या के बराबर है:

(√s)2=s.

अपरिमेय संख्याओं के मूल

मान लीजिए सोलह का मूल आसान है, लेकिन 7, 10, 11 जैसी संख्याओं का मूल कैसे लें?

जिस संख्या का मूल अनंत अआवर्त भिन्न हो, अपरिमेय संख्या कहलाती है। हम इसकी जड़ को अपने आप नहीं निकाल सकते। हम इसकी तुलना केवल अन्य संख्याओं से कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 5 का मूल लें और इसकी तुलना 4 और 9 से करें। यह स्पष्ट है कि 4 < 5 < 9, फिर 2 < √5 < 3. इसका मतलब है कि पांच के मूल का मान कहीं दो और तीन के बीच है, लेकिन उनके बीच बहुत अधिक दशमलव अंश हैं, और प्रत्येक को चुनना जड़ को खोजने का एक संदिग्ध तरीका है।

आप इस ऑपरेशन को कैलकुलेटर पर कर सकते हैं - यह सबसे आसान और तेज़ तरीका है, लेकिन 8वीं कक्षा में आपको अंकगणितीय वर्गमूल से अपरिमेय संख्याओं को निकालने की आवश्यकता नहीं होगी। आपको केवल दो के मूल और तीन के मूल के अनुमानित मानों को याद रखने की आवश्यकता है:

√2 1, 4, √3 1, 7.

उदाहरण

अब, वर्गमूल के गुणों के आधार पर, हम कई उदाहरण हल करेंगे:

1) √17² - 8²

वर्गों के अंतर का सूत्र याद रखें:

√(17-8) (17+8)=9 ×25

हम वर्ग अंकगणितीय मूल की संपत्ति जानते हैं - उत्पाद से जड़ निकालने के लिए, आपको इसे प्रत्येक कारक से निकालने की आवश्यकता है:

√9 × √25=3 × 5=15

2) 3 (2√3 + √12)=2 (√3)2 + √36

मूल का एक और गुण लागू करें - किसी संख्या के अंकगणितीय मूल का वर्ग इस संख्या के बराबर होता है:

2 × 3 + 6=12

महत्वपूर्ण! अक्सर, जब काम करना शुरू करते हैं और अंकगणितीय वर्गमूल वाले उदाहरणों को हल करते हैं, तो छात्र निम्नलिखित गलती करते हैं:

√12 + 3=12 + 3 - आप ऐसा नहीं कर सकते!

हम हर शब्द की जड़ नहीं ले सकते। ऐसा कोई नियम नहीं है, लेकिन यह प्रत्येक कारक की जड़ लेने में उलझन में है। अगर हमारे पास यह प्रविष्टि होती:

√12 × 3, तो √12 × 3=√12 × √3 लिखना उचित होगा।

और इसलिए हम केवल लिख सकते हैं:

√12 + 3=15