वर्गमूल: गणना सूत्र। द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात करने का सूत्र

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

कुछ गणित की समस्याओं के लिए वर्गमूल की गणना करने की क्षमता की आवश्यकता होती है। इन समस्याओं में दूसरे क्रम के समीकरणों को हल करना शामिल है। इस लेख में, हम वर्गमूलों की गणना के लिए एक प्रभावी विधि प्रस्तुत करते हैं और द्विघात समीकरण की जड़ों के लिए सूत्रों के साथ काम करते समय इसका उपयोग करते हैं।

वर्गमूल क्या है?

गणित में, यह अवधारणा प्रतीक से मेल खाती है। ऐतिहासिक डेटा कहता है कि जर्मनी में 16 वीं शताब्दी के पूर्वार्द्ध के आसपास पहली बार इसका इस्तेमाल शुरू हुआ (क्रिस्टोफ रुडोल्फ द्वारा बीजगणित पर पहला जर्मन काम)। वैज्ञानिकों का मानना है कि यह प्रतीक एक रूपांतरित लैटिन अक्षर r है (मूलांक का अर्थ लैटिन में "रूट") है।

किसी भी संख्या का मूल ऐसे मान के बराबर होता है, जिसका वर्ग मूल व्यंजक से मेल खाता हो। गणित की भाषा में, यह परिभाषा इस तरह दिखेगी: x=y यदि y²=x.

एक धनात्मक संख्या (x > 0) का मूल भी हैएक धनात्मक संख्या (y > 0), लेकिन यदि मूल एक ऋणात्मक संख्या (x < 0) से लिया जाता है, तो इसका परिणाम पहले से ही एक सम्मिश्र संख्या होगी, जिसमें काल्पनिक इकाई i.

भी शामिल है।

यहाँ दो सरल उदाहरण हैं:

√9=3 क्योंकि 3² =9; (-9)=3i क्योंकि मैं²=-1.

वर्गमूल ज्ञात करने के लिए बगुला का पुनरावृत्त सूत्र

उपरोक्त उदाहरण बहुत सरल हैं, और उनमें जड़ों की गणना करना मुश्किल नहीं है। किसी भी मूल्य के मूल मूल्यों को खोजने में कठिनाइयाँ पहले से ही प्रकट होने लगती हैं, जिसे प्राकृतिक संख्या के वर्ग के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए 10, √11, √12, √13, इस तथ्य का उल्लेख नहीं करने के लिए कि व्यवहार में यह गैर-पूर्णांक संख्याओं के लिए मूल खोजना आवश्यक है: उदाहरण के लिए (12, 15), √(8, 5) और इसी तरह।

उपरोक्त सभी मामलों में वर्गमूल की गणना की एक विशेष विधि का उपयोग किया जाना चाहिए। वर्तमान में, ऐसी कई विधियाँ ज्ञात हैं: उदाहरण के लिए, एक टेलर श्रृंखला में विस्तार, एक स्तंभ द्वारा विभाजन, और कुछ अन्य। सभी ज्ञात विधियों में से, शायद सबसे सरल और सबसे प्रभावी हेरॉन के पुनरावृत्त सूत्र का उपयोग है, जिसे वर्गमूल निर्धारित करने के लिए बेबीलोनियाई पद्धति के रूप में भी जाना जाता है (इस बात का प्रमाण है कि प्राचीन बेबीलोनियों ने अपनी व्यावहारिक गणना में इसका इस्तेमाल किया था)।

मान लें कि √x का मान निर्धारित करना आवश्यक है। वर्गमूल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है:

a_n+1=1/2(a+x/a), कहा पे लिम_n->∞(a)=> x.

इस गणितीय अंकन को समझें। √x की गणना करने के लिए, आपको कुछ संख्या लेनी चाहिए a₀ (यह मनमाना हो सकता है, लेकिन एक त्वरित परिणाम के लिए, आपको इसे इस तरह चुनना चाहिए कि (a₀)) ² जितना संभव हो x के करीब था, फिर इसे निर्दिष्ट वर्गमूल सूत्र में बदलें और एक नया नंबर प्राप्त करें ₁, जो पहले से ही होगा वांछित मूल्य के करीब हो। अभिव्यक्ति में ₁ स्थानापन्न करना और ₂ प्राप्त करना आवश्यक है। इस प्रक्रिया को तब तक दोहराया जाना चाहिए जब तक कि आवश्यक सटीकता प्राप्त न हो जाए.

हेरॉन के पुनरावृत्त सूत्र को लागू करने का एक उदाहरण

किसी दी गई संख्या का वर्गमूल प्राप्त करने के लिए ऊपर वर्णित एल्गोरिथ्म कई लोगों के लिए काफी जटिल और भ्रमित करने वाला लग सकता है, लेकिन वास्तव में सब कुछ बहुत सरल हो जाता है, क्योंकि यह सूत्र बहुत जल्दी परिवर्तित हो जाता है (विशेषकर यदि कोई भाग्यशाली संख्या हो) चुना गया है₀).

आइए एक सरल उदाहरण लेते हैं: हमें 11 की गणना करने की आवश्यकता है। हम एक ₀=3 चुनते हैं, क्योंकि 3²=9, जो 4² से 11 के करीब है।=16. सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

a₁=1/2(3 + 11/3)=3, 333333;

a₂ =1/2(3, 33333 + 11/3, 33333)=3, 316668;

a₃=1/2(3, 316668 + 11/3, 316668)=3, 31662।

गणना जारी रखने का कोई मतलब नहीं है, क्योंकि हमने पाया है कि a₂ और a₃ केवल 5वें दशमलव में भिन्न होने लगते हैं जगह। इस प्रकार, यह केवल 2 बार सूत्र को लागू करने के लिए पर्याप्त था11 से 0.0001 के भीतर गणना करें।

वर्तमान में, कैलकुलेटर और कंप्यूटर का व्यापक रूप से जड़ों की गणना के लिए उपयोग किया जाता है, हालांकि, उनके सटीक मूल्य की मैन्युअल रूप से गणना करने में सक्षम होने के लिए चिह्नित सूत्र को याद रखना उपयोगी होता है।

द्वितीय क्रम समीकरण

यह समझना कि वर्गमूल क्या है और इसकी गणना करने की क्षमता का उपयोग द्विघात समीकरणों को हल करते समय किया जाता है। ये समीकरण एक अज्ञात के साथ समानताएं हैं, जिसका सामान्य रूप नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

यहाँ c, b और a कुछ संख्याएँ हैं, और a को शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए, और c और b के मान शून्य सहित पूरी तरह से मनमाना हो सकते हैं।

x का कोई भी मान जो आकृति में दर्शाई गई समानता को संतुष्ट करता है, उसके मूल कहलाते हैं (इस अवधारणा को वर्गमूल √ के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए)। चूँकि विचाराधीन समीकरण का दूसरा क्रम (x²) है, तो इसके मूल के लिए दो से अधिक संख्याएँ नहीं हो सकती हैं। आइए देखें कि लेख में बाद में इन जड़ों को कैसे खोजा जाए।

द्विघात समीकरण (सूत्र) के मूल ज्ञात करना

माना गया प्रकार की समानता को हल करने की इस पद्धति को सार्वभौम, या विवेचक के माध्यम से विधि भी कहा जाता है। इसे किसी भी द्विघात समीकरण पर लागू किया जा सकता है। द्विघात समीकरण के विभेदक और मूल का सूत्र इस प्रकार है:

यह दर्शाता है कि मूल समीकरण के तीन गुणांकों में से प्रत्येक के मूल्य पर निर्भर करते हैं। इसके अलावा, गणनाx₁ गणना से भिन्न है x₂ केवल वर्गमूल से पहले के चिन्ह से। रेडिकल एक्सप्रेशन, जो b² - 4ac के बराबर है, माना गया समानता के भेदभाव से ज्यादा कुछ नहीं है। द्विघात समीकरण की जड़ों के सूत्र में विवेचक एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है क्योंकि यह समाधान की संख्या और प्रकार निर्धारित करता है। इसलिए, यदि यह शून्य है, तो केवल एक ही समाधान होगा, यदि यह सकारात्मक है, तो समीकरण के दो वास्तविक मूल हैं, अंत में, नकारात्मक विवेचक दो जटिल जड़ों की ओर जाता है x₁ और एक्स ₂।

विएटा की प्रमेय या दूसरे क्रम के समीकरणों की जड़ों के कुछ गुण

16वीं शताब्दी के अंत में, आधुनिक बीजगणित के संस्थापकों में से एक, फ्रांसीसी फ्रेंकोइस वियत, दूसरे क्रम के समीकरणों का अध्ययन कर रहे थे, अपनी जड़ों के गुणों को प्राप्त करने में सक्षम थे। गणितीय रूप से इन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है:

x₁ + x₂=-b / a और x₁ x ₂=सी / ए.

दोनों समानताओं को कोई भी आसानी से प्राप्त कर सकता है, इसके लिए केवल विवेचक के साथ सूत्र द्वारा प्राप्त मूलों के साथ उपयुक्त गणितीय संक्रियाएं करना आवश्यक है।

इन दो भावों के संयोजन को द्विघात समीकरण के मूलों का दूसरा सूत्र कहा जा सकता है, जिससे विवेचक का उपयोग किए बिना इसके समाधान का अनुमान लगाना संभव हो जाता है। यहां यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यद्यपि दोनों व्यंजक हमेशा मान्य होते हैं, समीकरण को हल करने के लिए उनका उपयोग करना सुविधाजनक होता है, यदि इसे गुणनखंडित किया जा सकता है।

अर्जित ज्ञान को समेकित करने का कार्य

आइए एक गणितीय समस्या को हल करते हैं जिसमें हम लेख में चर्चा की गई सभी तकनीकों का प्रदर्शन करेंगे। समस्या की स्थितियाँ इस प्रकार हैं: आपको दो संख्याएँ खोजने की आवश्यकता है जिनके लिए गुणनफल -13 है, और योग 4 है।

यह स्थिति तुरंत विएटा के प्रमेय की याद दिलाती है, वर्गमूल और उनके उत्पाद के योग के लिए सूत्र लागू करते हुए, हम लिखते हैं:

x₁ + x₂=-बी / ए=4;

x₁ x₂=c / a=-13.

मान लीजिए a=1, फिर b=-4 और c=-13। ये गुणांक हमें दूसरा क्रम समीकरण लिखने की अनुमति देते हैं:

x² - 4x - 13=0.

विभेदक के साथ सूत्र का प्रयोग करें, हमें निम्नलिखित जड़ें मिलती हैं:

x_{1, 2}=(4 ± D)/2, D=16 - 41(-13)=68.

अर्थात् 68 की संख्या ज्ञात करने का कार्य कम कर दिया गया। ध्यान दें कि 68=417, फिर वर्गमूल गुण का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: 68=2√17।

अब विचार किए गए वर्गमूल सूत्र का उपयोग करते हैं: a₀=4, फिर:

a₁=1/2(4 + 17/4)=4, 125;

a₂=1/2(4, 125 + 17/4, 125)=4, 1231.

गणना करने की कोई आवश्यकता नहीं है₃ क्योंकि पाया गया मान केवल 0.02 से भिन्न होता है। इस प्रकार, √68=8.246। इसे x _{के सूत्र में प्रतिस्थापित करना 1, 2}, हमें मिलता है:

x₁=(4 + 8, 246)/2=6, 123 और x₂=(4 - 8, 246) /2=-2, 123.

जैसा कि आप देख सकते हैं, पाई गई संख्याओं का योग वास्तव में 4 है, लेकिन यदि आप उनका गुणनफल पाते हैं, तो यह -12 के बराबर होगा,999, जो 0.001 की सटीकता के साथ समस्या की स्थिति को संतुष्ट करता है।