एक बिंदु से एक विमान या एक सीधी रेखा की दूरी जानने से आप अंतरिक्ष में आंकड़ों के आयतन और सतह क्षेत्र की गणना कर सकते हैं। ज्यामिति में इस दूरी की गणना निर्दिष्ट ज्यामितीय वस्तुओं के लिए संबंधित समीकरणों का उपयोग करके की जाती है। लेख में हम दिखाएंगे कि इसे निर्धारित करने के लिए किन सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है।
रेखा और समतल समीकरण
एक बिंदु से एक समतल और एक रेखा तक की दूरी निर्धारित करने के लिए सूत्र देने से पहले, आइए दिखाते हैं कि कौन से समीकरण इन वस्तुओं का वर्णन करते हैं।
एक बिंदु को परिभाषित करने के लिए, निर्देशांक अक्षों के दिए गए सिस्टम में निर्देशांक के एक सेट का उपयोग किया जाता है। यहां हम केवल कार्तीय आयताकार प्रणाली पर विचार करेंगे जिसमें अक्षों में एक ही इकाई सदिश होते हैं और परस्पर लंबवत होते हैं। एक समतल पर, एक मनमाना बिंदु दो निर्देशांकों द्वारा, अंतरिक्ष में - तीन द्वारा वर्णित किया जाता है।
एक सीधी रेखा को परिभाषित करने के लिए विभिन्न प्रकार के समीकरणों का उपयोग किया जाता है। लेख के विषय के अनुसार, हम प्रस्तुत करते हैंउनमें से केवल दो, जिनका उपयोग द्वि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।
सदिश समीकरण। इसमें निम्नलिखित संकेतन है:
(x; y)=(x0; y0) + (a; b).
यहां पहला पद रेखा पर स्थित एक ज्ञात बिंदु के निर्देशांक को दर्शाता है। दूसरा पद है दिशा सदिश निर्देशांकों को एक मनमाना संख्या से गुणा करना।
सामान्य समीकरण। इसका अंकन इस प्रकार है:
एएक्स + बीवाई + सी=0;
जहां ए, बी, सी कुछ गुणांक हैं।
सामान्य समीकरण का उपयोग अक्सर समतल पर रेखाओं को निर्धारित करने के लिए किया जाता है, हालांकि, एक विमान पर एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी ज्ञात करने के लिए, वेक्टर व्यंजक के साथ काम करना अधिक सुविधाजनक होता है।
त्रिविमीय अंतरिक्ष में एक समतल को कई गणितीय तरीकों से भी लिखा जा सकता है। फिर भी, अक्सर समस्याओं में एक सामान्य समीकरण होता है, जो इस प्रकार लिखा जाता है:
Ax + By + Cz + D=0.
दूसरों के संबंध में इस संकेतन का लाभ यह है कि इसमें स्पष्ट रूप से विमान के लंबवत वेक्टर के निर्देशांक होते हैं। इस वेक्टर को इसके लिए एक गाइड कहा जाता है, यह सामान्य की दिशा के साथ मेल खाता है, और इसके निर्देशांक (ए; बी; सी) के बराबर होते हैं।
ध्यान दें कि उपरोक्त अभिव्यक्ति द्वि-आयामी अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा के लिए एक सामान्य समीकरण लिखने के रूप से मेल खाती है, इसलिए समस्याओं को हल करते समय, आपको सावधान रहना चाहिए कि इन ज्यामितीय वस्तुओं को भ्रमित न करें।
बिंदु और रेखा के बीच की दूरी
आइए दिखाते हैं कि एक सीधी रेखा और के बीच की दूरी की गणना कैसे करेंद्वि-आयामी अंतरिक्ष में बिंदु।
चलो कुछ बिंदु Q(x1; y1) और एक रेखा दी गई है:
(x; y)=(x0; y0) + (a; b).
एक रेखा और एक बिंदु के बीच की दूरी को इस रेखा के लंबवत खंड की लंबाई के रूप में समझा जाता है, इस पर बिंदु Q से कम किया जाता है।
इस दूरी की गणना करने से पहले, आपको Q निर्देशांक को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करना चाहिए। यदि वे इसे संतुष्ट करते हैं, तो Q दी गई रेखा से संबंधित है, और संबंधित दूरी शून्य के बराबर है। यदि बिंदु के निर्देशांक समानता की ओर नहीं ले जाते हैं, तो ज्यामितीय वस्तुओं के बीच की दूरी शून्य नहीं होती है। इसकी गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
यहाँ P, सीधी रेखा का एक मनमाना बिंदु है, जो सदिश PQ¯ की शुरुआत है। सदिश u¯ एक सीधी रेखा के लिए एक मार्गदर्शक खंड है, अर्थात इसके निर्देशांक (a; b) हैं।
इस सूत्र का उपयोग करने के लिए अंश में क्रॉस उत्पाद की गणना करने की क्षमता की आवश्यकता होती है।
एक बिंदु और एक रेखा के साथ समस्या
मान लें कि आपको Q(-3; 1) और समीकरण को संतुष्ट करने वाली एक सीधी रेखा के बीच की दूरी ज्ञात करने की आवश्यकता है:
y=5x -2.
Q के निर्देशांकों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करके, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि Q रेखा पर नहीं है। यदि आप इस समीकरण को सदिश रूप में निरूपित करते हैं, तो आप उपरोक्त अनुच्छेद में दिए गए d के सूत्र को लागू कर सकते हैं। आइए इसे इस तरह करें:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(एक्स; वाई)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + (1; 5)।
अब इस रेखा पर कोई बिंदु लेते हैं, उदाहरण के लिए (0; -2), और इस पर शुरू होकर Q: पर समाप्त होने वाला एक वेक्टर बनाएं
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3)।
अब दूरी निर्धारित करने के लिए सूत्र लागू करें, हमें मिलता है:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 3, 53.
एक बिंदु से विमान की दूरी
जैसा कि एक सीधी रेखा के मामले में, एक समतल और अंतरिक्ष में एक बिंदु के बीच की दूरी को उस खंड की लंबाई के रूप में समझा जाता है, जो किसी दिए गए बिंदु से तल पर लंबवत रूप से कम होता है और उसे काटता है।
अंतरिक्ष में तीन निर्देशांकों द्वारा एक बिंदु दिया जाता है। यदि वे बराबर हैं (x1; y1; z1), तो के बीच की दूरी समतल और उस बिंदु की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ डी|/√(ए2+बी2+सी2)।
ध्यान दें कि सूत्र का उपयोग करके आप केवल विमान से रेखा तक की दूरी का पता लगा सकते हैं। उस बिंदु के निर्देशांक खोजने के लिए जिस पर एक लंबवत खंड एक विमान को काटता है, उस रेखा के लिए एक समीकरण लिखना आवश्यक है जिससे यह खंड संबंधित है, और फिर इस रेखा और दिए गए विमान के लिए एक सामान्य बिंदु खोजें।
विमान और बिंदु के साथ समस्या
एक बिंदु से एक समतल की दूरी ज्ञात करें यदि यह ज्ञात है कि बिंदु के निर्देशांक हैं (3; -1; 2) और विमान द्वारा दिया गया है:
-y + 3z=0.
संबंधित सूत्र का उपयोग करने के लिए, हम पहले के लिए गुणांक लिखते हैंविमान दिया। चूँकि चर x और मुक्त पद अनुपस्थित हैं, गुणांक A और D शून्य के बराबर हैं। हमारे पास है:
ए=0; बी=-1; सी=3; डी=0.
यह दिखाना आसान है कि यह तल मूल बिंदु से होकर गुजरता है और x-अक्ष उसी का है।
दूरी d के सूत्र में बिंदु के निर्देशांक और समतल के गुणांकों को प्रतिस्थापित करें, हमें प्राप्त होता है:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 2, 21.
ध्यान दें कि यदि आप किसी बिंदु के x-निर्देशांक को बदलते हैं, तो दूरी d नहीं बदलेगी। इस तथ्य का अर्थ है कि बिंदुओं का समूह (x; -1; 2) दिए गए तल के समानांतर एक सीधी रेखा बनाता है।
