स्टीरियोमेट्री, अंतरिक्ष में ज्यामिति की एक शाखा के रूप में, प्रिज्म, सिलेंडर, शंकु, गेंद, पिरामिड और अन्य त्रि-आयामी आकृतियों के गुणों का अध्ययन करती है। यह लेख एक हेक्सागोनल नियमित पिरामिड की विशेषताओं और गुणों की विस्तृत समीक्षा के लिए समर्पित है।
किस पिरामिड का अध्ययन किया जाएगा
एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड अंतरिक्ष में एक आकृति है, जो एक समबाहु और समकोणिक षट्भुज और छह समान समद्विबाहु त्रिभुजों द्वारा सीमित है। ये त्रिभुज कुछ शर्तों के तहत समबाहु भी हो सकते हैं। यह पिरामिड नीचे दिखाया गया है।
यहाँ वही आकृति दिखाई गई है, केवल एक स्थिति में यह पाठक की ओर अपने पार्श्व चेहरे के साथ और दूसरे में - इसके पार्श्व किनारे के साथ मुड़ी हुई है।
एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड में 7 फलक होते हैं, जिनका उल्लेख ऊपर किया गया था। इसमें 7 कोने और 12 किनारे भी हैं। प्रिज्म के विपरीत, सभी पिरामिडों में एक विशेष शीर्ष होता है, जो पार्श्व के प्रतिच्छेदन द्वारा बनता हैत्रिभुज। एक नियमित पिरामिड के लिए, यह एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, क्योंकि इससे आकृति के आधार तक कम किया गया लंबवत ऊंचाई है। इसके अलावा, ऊंचाई को एच अक्षर से दर्शाया जाएगा।
दिखाए गए पिरामिड को दो कारणों से सही कहा जाता है:
- इसके आधार पर एक षट्भुज है जिसकी भुजाओं की समान लंबाई a और समान कोण 120o;
- पिरामिड h की ऊंचाई षट्भुज को उसके केंद्र पर काटती है (प्रतिच्छेदन बिंदु सभी पक्षों से और षट्भुज के सभी शीर्षों से समान दूरी पर स्थित है)।
सतह क्षेत्र
एक नियमित षट्कोणीय पिरामिड के गुणों को उसके क्षेत्रफल की परिभाषा से माना जाएगा। ऐसा करने के लिए, एक विमान पर आकृति को खोलना सबसे पहले उपयोगी है। इसका एक योजनाबद्ध प्रतिनिधित्व नीचे दिखाया गया है।
यह देखा जा सकता है कि झाडू का क्षेत्रफल, और इसलिए विचाराधीन आकृति की पूरी सतह, छह समरूप त्रिभुजों और एक षट्भुज के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
एक षट्भुज S6 का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए, नियमित n-gon के लिए सार्वभौमिक सूत्र का उपयोग करें:
एस=n/4a2ctg(pi/n)=>
एस6=3√3/2a2।
जहां a षट्भुज की भुजा की लंबाई है।
पार्श्व भुजा के त्रिभुज S3 का क्षेत्रफल ज्ञात किया जा सकता है यदि आप इसकी ऊंचाई का मान जानते हैं hb:
एस3=1/2एचबीए.
क्योंकि सभी छहत्रिकोण एक दूसरे के बराबर हैं, तो हमें सही आधार के साथ एक हेक्सागोनल पिरामिड के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए एक कार्यशील अभिव्यक्ति मिलती है:
एस=एस6+ 6एस3=3√3/2a2 + 61/2hba=3a(√3/2a + hb)।
पिरामिड वॉल्यूम
क्षेत्र की तरह ही, एक षट्कोणीय नियमित पिरामिड का आयतन इसका महत्वपूर्ण गुण है। इस आयतन की गणना सभी पिरामिडों और शंकुओं के सामान्य सूत्र द्वारा की जाती है। आइए इसे लिख लें:
वी=1/3एसओएच.
यहाँ, प्रतीक So षट्कोणीय आधार का क्षेत्रफल है, अर्थात So=S 6.
S6 के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति को V के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हुए, हम एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड की मात्रा निर्धारित करने के लिए अंतिम समानता पर पहुंचते हैं:
वी=√3/2a2एच.
ज्यामितीय समस्या का एक उदाहरण
एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड में, पार्श्व किनारा आधार पक्ष की लंबाई से दोगुना होता है। यह जानते हुए कि उत्तरार्द्ध 7 सेमी है, इस आकृति के सतह क्षेत्र और आयतन की गणना करना आवश्यक है।
जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, इस समस्या के समाधान में एस और वी के लिए ऊपर प्राप्त अभिव्यक्तियों का उपयोग शामिल है। फिर भी, उनका तुरंत उपयोग करना संभव नहीं होगा, क्योंकि हम एपोटेम और एपोथेम को नहीं जानते हैं। एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड की ऊंचाई। आइए उनकी गणना करें।
एपोथेम hb भुजाओं b, a/2 और hb पर बने एक समकोण त्रिभुज पर विचार करके निर्धारित किया जा सकता है। यहाँ b पार्श्व किनारे की लंबाई है। समस्या की स्थिति का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
जबी=√(बी2-ए2/4)=√(14 2-72/4)=13, 555 सेमी.
पिरामिड की ऊंचाई h ठीक उसी तरह से निर्धारित की जा सकती है जैसे एपोथेम, लेकिन अब हमें पिरामिड के अंदर स्थित h, b और a भुजाओं वाले त्रिभुज पर विचार करना चाहिए। ऊंचाई होगी:
एच=(बी2- ए2)=√(142- 7 2)=12, 124 सेमी.
यह देखा जा सकता है कि परिकलित ऊंचाई मान एपोथेम के लिए उससे कम है, जो किसी भी पिरामिड के लिए सही है।
अब आप आयतन और क्षेत्रफल के लिए भावों का उपयोग कर सकते हैं:
S=3a(√3/2a + hb)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96सेमी2;
V=√3/2a2h=√3/27212, 124=514, 48सेमी3.
इस प्रकार, एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड की किसी भी विशेषता को स्पष्ट रूप से निर्धारित करने के लिए, आपको इसके किन्हीं दो रैखिक मापदंडों को जानना होगा।
