नौवीं कक्षा में स्कूलों में बीजगणित के सामान्य पाठ्यक्रम में "अंकगणितीय प्रगति" विषय का अध्ययन किया जाता है। संख्या श्रृंखला के गणित के आगे गहन अध्ययन के लिए यह विषय महत्वपूर्ण है। इस लेख में, हम अंकगणितीय प्रगति, इसके अंतर के साथ-साथ स्कूली बच्चों के सामने आने वाले विशिष्ट कार्यों से परिचित होंगे।
बीजीय प्रगति की अवधारणा
संख्यात्मक प्रगति संख्याओं का एक क्रम है जिसमें प्रत्येक बाद के तत्व को पिछले एक से प्राप्त किया जा सकता है, यदि कुछ गणितीय कानून लागू किया जाता है। प्रगति के दो सरल प्रकार हैं: ज्यामितीय और अंकगणित, जिसे बीजगणितीय भी कहा जाता है। आइए इस पर अधिक विस्तार से ध्यान दें।
आइए कुछ परिमेय संख्या की कल्पना करें, इसे प्रतीक a1 द्वारा निरूपित करें, जहां सूचकांक विचाराधीन श्रृंखला में अपनी क्रमिक संख्या को इंगित करता है। आइए एक 1 में कुछ और संख्या जोड़ते हैं, चलो इसे डी दर्शाते हैं। फिर दूसराएक श्रृंखला का एक तत्व निम्नानुसार परिलक्षित हो सकता है: a2=a1+d. अब फिर से d जोड़ें, हमें मिलता है: a3=a2+d. इस गणितीय संक्रिया को जारी रखते हुए, आप संख्याओं की एक पूरी श्रृंखला प्राप्त कर सकते हैं, जिसे अंकगणितीय प्रगति कहा जाएगा।
जैसा कि ऊपर से समझा जा सकता है, इस क्रम के n-वें तत्व को खोजने के लिए, आपको सूत्र का उपयोग करना चाहिए: a =a1+ (एन -1)डी। वास्तव में, n=1 को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें a1=a1 प्राप्त होता है, यदि n=2, तो सूत्र का अर्थ है: a2=ए1 + 1डी, वगैरह।
उदाहरण के लिए, यदि एक अंकगणितीय प्रगति का अंतर 5 है, और a1=1 है, तो इसका मतलब है कि प्रश्न में प्रकार की संख्या श्रृंखला इस तरह दिखती है: 1, 6, 11, 16, 21, … जैसा कि आप देख सकते हैं, इसका प्रत्येक पद पिछले वाले से 5 से बड़ा है।
अंकगणितीय प्रगति के अंतर के लिए सूत्र
संख्याओं की मानी गई श्रृंखला की उपरोक्त परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि इसे निर्धारित करने के लिए, आपको दो संख्याओं को जानने की आवश्यकता है: a1 और d। उत्तरार्द्ध को इस प्रगति का अंतर कहा जाता है। यह पूरी श्रृंखला के व्यवहार को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है। वास्तव में, यदि d धनात्मक है, तो संख्या श्रृंखला लगातार बढ़ेगी, इसके विपरीत, ऋणात्मक d के मामले में, श्रृंखला में संख्या केवल मॉड्यूलो में वृद्धि करेगी, जबकि उनका निरपेक्ष मान बढ़ती संख्या n के साथ घट जाएगा।
अंकगणितीय प्रगति का अंतर क्या है? इस मान की गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले दो मुख्य सूत्रों पर विचार करें:
- d=an+1-a , यह सूत्र प्रश्न में संख्या श्रृंखला की परिभाषा से सीधे अनुसरण करता है।
- d=(-a1+a)/(n-1), यह व्यंजक दिए गए सूत्र से d को व्यक्त करके प्राप्त किया जाता है लेख के पिछले पैराग्राफ में। ध्यान दें कि यदि n=1 है तो यह व्यंजक अनिश्चित (0/0) हो जाता है। यह इस तथ्य के कारण है कि इसके अंतर को निर्धारित करने के लिए श्रृंखला के कम से कम 2 तत्वों को जानना आवश्यक है।
प्रगति अंतर ज्ञात करने की किसी भी समस्या को हल करने के लिए इन दो बुनियादी सूत्रों का उपयोग किया जाता है। हालाँकि, एक और सूत्र है जिसके बारे में आपको भी जानना आवश्यक है।
पहले तत्वों का योग
ऐतिहासिक साक्ष्यों के अनुसार, बीजगणितीय प्रगति के सदस्यों की किसी भी संख्या का योग निर्धारित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकने वाला सूत्र सबसे पहले 18वीं शताब्दी के गणित के "राजकुमार" कार्ल गॉस द्वारा प्राप्त किया गया था। एक जर्मन वैज्ञानिक, जबकि अभी भी एक गांव के स्कूल के प्राथमिक ग्रेड में एक लड़का है, ने देखा कि श्रृंखला में प्राकृतिक संख्याओं को 1 से 100 तक जोड़ने के लिए, आपको पहले पहले तत्व और अंतिम को जोड़ना होगा (परिणामस्वरूप मान बराबर होगा अंतिम और दूसरे, अंतिम और तीसरे तत्वों के योग के लिए, और इसी तरह), और फिर इस संख्या को इन राशियों की संख्या से गुणा किया जाना चाहिए, अर्थात 50।
वह सूत्र जो किसी विशेष उदाहरण पर बताए गए परिणाम को दर्शाता है, एक मनमाना मामले के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। यह इस तरह दिखेगा: S =n/2(a +a1)। ध्यान दें कि निर्दिष्ट मान ज्ञात करने के लिए, अंतर d के ज्ञान की आवश्यकता नहीं है,यदि प्रगति के दो पद ज्ञात हैं (a और a1)।
उदाहरण 1। श्रृंखला a1 और a
के दो पदों को जानकर अंतर ज्ञात कीजिए
आइए बताते हैं कि लेख में ऊपर बताए गए फ़ार्मुलों को कैसे लागू किया जाए। आइए एक सरल उदाहरण दें: अंकगणितीय प्रगति का अंतर अज्ञात है, यह निर्धारित करना आवश्यक है कि यह क्या बराबर होगा यदि a13=-5, 6 और a1 =-12, 1.
चूंकि हम संख्यात्मक अनुक्रम के दो तत्वों के मूल्यों को जानते हैं, और उनमें से एक पहली संख्या है, हम अंतर d को निर्धारित करने के लिए सूत्र संख्या 2 का उपयोग कर सकते हैं। हमारे पास है: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. व्यंजक में, हमने n=13 मान का उपयोग किया है, क्योंकि इस क्रमांक वाला सदस्य है जाना जाता है।
परिणामी अंतर इंगित करता है कि प्रगति बढ़ रही है, इस तथ्य के बावजूद कि समस्या की स्थिति में दिए गए तत्वों का नकारात्मक मूल्य है। यह देखा जा सकता है कि a13>a1, हालांकि |a13|<|a 1 |.
उदाहरण 2। उदाहरण 1
में प्रगति के सकारात्मक सदस्य
आइए पिछले उदाहरण में प्राप्त परिणाम का उपयोग एक नई समस्या को हल करने के लिए करते हैं। इसे निम्नानुसार तैयार किया गया है: उदाहरण1 में प्रगति के तत्व किस क्रम संख्या से सकारात्मक मान लेना शुरू करते हैं?
दिखाया गया है, जिस प्रगति में a1=-12, 1 और d=0. 54167 बढ़ रहा है, इसलिए किसी संख्या से संख्याएँ केवल सकारात्मक होने लगेंगी मूल्य। इस संख्या n को निर्धारित करने के लिए, एक साधारण असमानता को हल करना होगा, जो हैगणितीय रूप से इस प्रकार लिखा गया है: a >0 या, उपयुक्त सूत्र का उपयोग करके, हम असमानता को फिर से लिखते हैं: a1 + (n-1)d>0। अज्ञात n को खोजना आवश्यक है, आइए इसे व्यक्त करें: n>-1a1/d + 1. अब यह अंतर के ज्ञात मूल्यों और पहले सदस्य को प्रतिस्थापित करने के लिए बनी हुई है अनुक्रम का। हमें मिलता है: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 या n>23, 338। चूंकि n केवल पूर्णांक मान ले सकता है, यह परिणामी असमानता से निम्नानुसार है कि श्रृंखला के किसी भी सदस्य को 23 से बड़ी संख्या धनात्मक होगी।
इस अंकगणितीय प्रगति के 23वें और 24वें तत्वों की गणना करने के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके अपने उत्तर की जाँच करें। हमारे पास है: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (ऋणात्मक संख्या); a24=-12, 1 + 230. 54167=0. 3584 (सकारात्मक मान)। इस प्रकार, प्राप्त परिणाम सही है: n=24 से शुरू होकर, संख्या श्रृंखला के सभी सदस्य शून्य से बड़े होंगे।
उदाहरण 3. कितने लॉग फिट होंगे?
चलो एक जिज्ञासु समस्या देते हैं: लॉगिंग के दौरान, सॉ लॉग को एक दूसरे के ऊपर ढेर करने का निर्णय लिया गया था जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। इस तरह से कितने लट्ठों को ढेर किया जा सकता है, यह जानते हुए कि कुल 10 पंक्तियाँ फिट होंगी?
लॉग को स्टैक करने के इस तरीके में, आप एक दिलचस्प बात देख सकते हैं: प्रत्येक बाद की पंक्ति में पिछले वाले की तुलना में एक कम लॉग होगा, अर्थात, एक बीजगणितीय प्रगति है, जिसका अंतर d=1 है। यह मानते हुए कि प्रत्येक पंक्ति में लॉग की संख्या इस प्रगति का सदस्य है,और यह भी दिया गया है कि a1=1 (केवल एक लॉग सबसे ऊपर फिट होगा), हम संख्या को 10 पाते हैं। हमारे पास है: a10=1 + 1(10-1)=10. यानी 10वीं पंक्ति में, जो जमीन पर है, 10 लट्ठे होंगे।
इस "पिरामिडल" निर्माण की कुल राशि गॉस सूत्र का उपयोग करके प्राप्त की जा सकती है। हमें मिलता है: S10=10/2(10+1)=55 लॉग्स।
