व्युत्पत्ति का अनुप्रयोग। डेरिवेटिव के साथ प्लॉटिंग

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

गणित की उत्पत्ति पुरातनता से हुई है। उसके लिए धन्यवाद, वास्तुकला, निर्माण और सैन्य विज्ञान ने विकास का एक नया दौर दिया, गणित की मदद से प्राप्त की गई उपलब्धियों ने प्रगति की गति को जन्म दिया। आज तक, गणित मुख्य विज्ञान बना हुआ है जो अन्य सभी शाखाओं में पाया जाता है।

शिक्षित होने के लिए पहली कक्षा के बच्चे धीरे-धीरे इस वातावरण में घुलने-मिलने लगते हैं। गणित को समझना बहुत जरूरी है, क्योंकि यह किसी न किसी रूप में हर व्यक्ति के जीवन भर होता है। यह लेख प्रमुख तत्वों में से एक का विश्लेषण करेगा - डेरिवेटिव ढूंढना और लागू करना। हर व्यक्ति कल्पना नहीं कर सकता कि इस अवधारणा का कितना व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। कुछ क्षेत्रों या विज्ञानों में व्युत्पन्न के 10 से अधिक अनुप्रयोगों पर विचार करें।

किसी फ़ंक्शन के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोग

व्युत्पत्ति एक ऐसी सीमा हैकिसी फ़ंक्शन की वृद्धि का अनुपात उसके तर्क की वृद्धि के लिए जब तर्क का घातांक शून्य हो जाता है। किसी फ़ंक्शन के अध्ययन में व्युत्पन्न एक अनिवार्य चीज है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग उत्तरार्द्ध, एक्स्ट्रेमा, उत्तलता और अवतलता की वृद्धि और कमी को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। डिफरेंशियल कैलकुलस गणितीय विश्वविद्यालयों के प्रथम और द्वितीय वर्ष के छात्रों के लिए अनिवार्य पाठ्यक्रम में शामिल है।

क्षेत्र और कार्य शून्य

ग्राफ के किसी भी अध्ययन का पहला चरण परिभाषा के क्षेत्र का पता लगाने के साथ शुरू होता है, अधिक दुर्लभ मामलों में - मूल्य। परिभाषा का क्षेत्र एब्सिस्सा अक्ष के साथ सेट किया गया है, दूसरे शब्दों में, ये OX अक्ष पर संख्यात्मक मान हैं। अक्सर दायरा पहले से ही निर्धारित होता है, लेकिन अगर ऐसा नहीं है, तो x तर्क के मूल्य का मूल्यांकन किया जाना चाहिए। मान लीजिए, अगर तर्क के कुछ मूल्यों के लिए फ़ंक्शन का कोई मतलब नहीं है, तो इस तर्क को दायरे से बाहर रखा गया है।

फ़ंक्शन के शून्य सरल तरीके से पाए जाते हैं: फ़ंक्शन f(x) को शून्य के बराबर किया जाना चाहिए और परिणामी समीकरण को एक चर x के संबंध में हल किया जाना चाहिए। समीकरण के प्राप्त मूल फलन के शून्य होते हैं, अर्थात इन x में फलन 0 होता है।

बढ़ाओ और घटाओ

एकरसता के लिए कार्यों का अध्ययन करने के लिए व्युत्पन्न के उपयोग पर दो स्थितियों से विचार किया जा सकता है। एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन एक श्रेणी है जिसमें व्युत्पन्न के केवल सकारात्मक मान होते हैं, या केवल नकारात्मक मान होते हैं। सरल शब्दों में, अध्ययन के तहत पूरे अंतराल में फलन केवल बढ़ता या घटता है:

1. पैरामीटर बढ़ाएँ। समारोहf(x) में वृद्धि होगी यदि f का अवकलज शून्य से अधिक है।
2. अवरोही पैरामीटर। फलन f(x) घटेगा यदि f का अवकलज शून्य से कम है।

स्पर्शरेखा और ढाल

किसी फ़ंक्शन के अध्ययन के लिए व्युत्पन्न का अनुप्रयोग भी किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा (एक कोण पर निर्देशित सीधी रेखा) द्वारा निर्धारित किया जाता है। एक बिंदु पर स्पर्शरेखा (x₀) - एक रेखा जो एक बिंदु से गुजरती है और फ़ंक्शन से संबंधित होती है जिसके निर्देशांक हैं (x₀, f(x) 0 _{)) और ढलान वाले f`(x}0_).

y=f(x₀) + f`(x₀)(x - x₀) - फ़ंक्शन के ग्राफ के दिए गए बिंदु पर स्पर्शरेखा का समीकरण।

अवकलज का ज्यामितीय अर्थ: फलन का अवकलज f(x) किसी दिए गए बिंदु x पर इस फलन के ग्राफ पर बनी स्पर्शरेखा की प्रवणता के बराबर होता है। कोणीय गुणांक, बदले में, सकारात्मक दिशा में OX अक्ष (भुजा) के झुकाव के कोण के स्पर्शरेखा के बराबर है। यह कोरोलरी किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के व्युत्पन्न के अनुप्रयोग के लिए मौलिक है।

अत्यधिक बिंदु

एक अध्ययन के लिए व्युत्पन्न को लागू करने में उच्च और निम्न अंक प्राप्त करना शामिल है।

न्यूनतम और अधिकतम अंक खोजने और निर्धारित करने के लिए, आपको यह करना होगा:

• फ़ंक्शन f(x) का अवकलज ज्ञात कीजिए।
• परिणामी समीकरण को शून्य पर सेट करें।
• समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।
• उच्च और निम्न अंक खोजें।

चरम का पता लगाने के लिएविशेषताएं:

• उपरोक्त विधि का उपयोग करके न्यूनतम और अधिकतम अंक ज्ञात करें।
• इन बिंदुओं को मूल समीकरण में बदलें और y_{अधिकतम} और y_min

की गणना करें

फ़ंक्शन का अधिकतम बिंदु अंतराल पर फ़ंक्शन f(x) का सबसे बड़ा मान है, दूसरे शब्दों में x_max.

फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु अंतराल पर फ़ंक्शन f(x) का सबसे छोटा मान है, दूसरे शब्दों में x_name

चरम बिंदु अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं के समान हैं, और फ़ंक्शन का चरम (y_{अधिकतम। और} y_{न्यूनतम}) - फ़ंक्शन मान जो चरम बिंदुओं के अनुरूप होते हैं।

उत्तलता और समतलता

आप प्लॉटिंग के लिए व्युत्पन्न के उपयोग का सहारा लेकर उत्तलता और अवतलता का निर्धारण कर सकते हैं:

• अंतराल (ए, बी) पर जांचा गया एक फ़ंक्शन f(x) अवतल है यदि फ़ंक्शन इस अंतराल के भीतर अपने सभी स्पर्शरेखाओं के नीचे स्थित है।
• अंतराल (a, b) पर अध्ययन किया गया फलन f(x) उत्तल होता है यदि फलन इस अंतराल के भीतर सभी स्पर्श रेखाओं के ऊपर स्थित हो।

वह बिंदु जो उत्तलता और अवतलता को अलग करता है, फलन का विभक्ति बिंदु कहलाता है।

विभक्ति बिंदु खोजने के लिए:

• दूसरे प्रकार के महत्वपूर्ण बिंदु (द्वितीय व्युत्पन्न) खोजें।
• विभक्ति बिंदु वे महत्वपूर्ण बिंदु हैं जो दो विपरीत संकेतों को अलग करते हैं।
• फ़ंक्शन विभक्ति बिंदुओं पर फ़ंक्शन मानों की गणना करें।

आंशिक डेरिवेटिव

आवेदनसमस्याओं में इस प्रकार के व्युत्पन्न होते हैं जहां एक से अधिक अज्ञात चर का उपयोग किया जाता है। अधिक सटीक होने के लिए, अंतरिक्ष में सतह, जहां दो अक्षों के बजाय तीन होते हैं, इसलिए, तीन मात्राएं (दो चर और एक स्थिर) होती हैं।

आंशिक डेरिवेटिव की गणना करते समय मूल नियम एक चर का चयन करना और बाकी को स्थिरांक के रूप में मानना है। इसलिए, आंशिक व्युत्पन्न की गणना करते समय, स्थिरांक एक संख्यात्मक मान के समान हो जाता है (डेरिवेटिव की कई तालिकाओं में, उन्हें C=const के रूप में दर्शाया जाता है)। इस तरह के व्युत्पन्न का अर्थ OX और ओए अक्षों के साथ फ़ंक्शन z=f(x, y) के परिवर्तन की दर है, अर्थात यह निर्मित सतह के अवसादों और उभारों की स्थिरता को दर्शाता है।

भौतिकी में व्युत्पन्न

भौतिकी में व्युत्पन्न का उपयोग व्यापक और महत्वपूर्ण है। भौतिक अर्थ: समय के संबंध में पथ का व्युत्पन्न गति है, और त्वरण समय के संबंध में गति का व्युत्पन्न है। भौतिक अर्थ से, व्युत्पन्न के अर्थ को पूरी तरह से संरक्षित करते हुए, भौतिक विज्ञान की विभिन्न शाखाओं में कई शाखाएँ खींची जा सकती हैं।

डेरिवेटिव की मदद से निम्नलिखित मान मिलते हैं:

• किनेमेटिक्स में गति, जहां तय की गई दूरी के व्युत्पन्न की गणना की जाती है। यदि पथ का द्वितीय अवकलज या गति का प्रथम अवकलज पाया जाता है, तो पिण्ड का त्वरण पाया जाता है। इसके अलावा, किसी भौतिक बिंदु का तात्कालिक वेग ज्ञात करना संभव है, लेकिन इसके लिए वृद्धि t और r को जानना आवश्यक है।
• विद्युतगतिकी में:प्रत्यावर्ती धारा की तात्कालिक शक्ति की गणना, साथ ही विद्युत चुम्बकीय प्रेरण की EMF। व्युत्पन्न की गणना करके, आप अधिकतम शक्ति पा सकते हैं। विद्युत आवेश की मात्रा का व्युत्पन्न कंडक्टर में वर्तमान ताकत है।

रसायन विज्ञान और जीव विज्ञान में व्युत्पन्न

रसायन विज्ञान: रासायनिक प्रतिक्रिया की दर निर्धारित करने के लिए व्युत्पन्न का उपयोग किया जाता है। व्युत्पन्न का रासायनिक अर्थ: फ़ंक्शन पी=पी (टी), इस मामले में पी एक पदार्थ की मात्रा है जो समय टी में रासायनिक प्रतिक्रिया में प्रवेश करती है। t - समय वृद्धि, p - पदार्थ मात्रा वृद्धि। p से t के अनुपात की वह सीमा, जिस पर ∆t का झुकाव शून्य हो जाता है, रासायनिक अभिक्रिया की दर कहलाती है। किसी रासायनिक अभिक्रिया का औसत मान ∆p/∆t का अनुपात होता है। गति का निर्धारण करते समय, पदार्थ की समग्र स्थिति और प्रवाह माध्यम को जानने के लिए सभी आवश्यक मापदंडों, शर्तों को जानना आवश्यक है। यह रसायन शास्त्र में एक काफी बड़ा पहलू है, जिसका व्यापक रूप से विभिन्न उद्योगों और मानव गतिविधियों में उपयोग किया जाता है।

जीव विज्ञान: औसत प्रजनन दर की गणना के लिए व्युत्पन्न की अवधारणा का उपयोग किया जाता है। जैविक अर्थ: हमारे पास एक फ़ंक्शन y=x(t) है। t - समय वृद्धि। फिर, कुछ परिवर्तनों की सहायता से, हम y=P(t)=x (t) - समय t (औसत प्रजनन दर) की जनसंख्या की महत्वपूर्ण गतिविधि फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं। व्युत्पन्न का यह उपयोग आपको आंकड़े रखने, प्रजनन की दर को ट्रैक करने, आदि की अनुमति देता है।

भूगोल और अर्थशास्त्र में व्युत्पन्न

व्युत्पत्ति भूगोलवेत्ताओं को निर्णय लेने की अनुमति देती हैजनसंख्या का पता लगाना, भूकंप विज्ञान में मूल्यों की गणना, परमाणु भूभौतिकीय संकेतकों की रेडियोधर्मिता की गणना, प्रक्षेप की गणना जैसे कार्य।

अर्थशास्त्र में, गणना का एक महत्वपूर्ण हिस्सा डिफरेंशियल कैलकुलस और व्युत्पन्न की गणना है। सबसे पहले, यह हमें आवश्यक आर्थिक मूल्यों की सीमा निर्धारित करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, उच्चतम और निम्नतम श्रम उत्पादकता, लागत, लाभ। मूल रूप से, इन मानों की गणना फ़ंक्शन ग्राफ़ से की जाती है, जहां वे एक्स्ट्रेमा पाते हैं, वांछित क्षेत्र में फ़ंक्शन की एकरसता निर्धारित करते हैं।

निष्कर्ष

इस विभेदक कलन की भूमिका, जैसा कि लेख में उल्लेख किया गया है, विभिन्न वैज्ञानिक संरचनाओं में शामिल है। विज्ञान और उत्पादन के व्यावहारिक भाग में व्युत्पन्न कार्यों का उपयोग एक महत्वपूर्ण तत्व है। यह व्यर्थ नहीं है कि हमें हाई स्कूल और विश्वविद्यालय में जटिल रेखांकन बनाने, अन्वेषण करने और कार्यों पर काम करने के लिए सिखाया गया था। जैसा कि आप देख सकते हैं, डेरिवेटिव और अंतर गणना के बिना, महत्वपूर्ण संकेतकों और मात्राओं की गणना करना असंभव होगा। मानव जाति ने जटिल गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए विभिन्न प्रक्रियाओं को मॉडल करना और उनका पता लगाना सीख लिया है। वास्तव में, गणित सभी विज्ञानों की रानी है, क्योंकि यह विज्ञान अन्य सभी प्राकृतिक और तकनीकी विषयों का आधार है।