बीजगणितीय असमानताएं या तर्कसंगत गुणांक वाले उनके सिस्टम जिनके समाधान पूर्णांक या पूर्णांक संख्याओं में मांगे जाते हैं। एक नियम के रूप में, डायोफैंटाइन समीकरणों में अज्ञात की संख्या अधिक होती है। इस प्रकार, उन्हें अनिश्चित असमानताओं के रूप में भी जाना जाता है। आधुनिक गणित में, उपरोक्त अवधारणा को बीजीय समीकरणों पर लागू किया जाता है जिनके समाधान क्यू-तर्कसंगत चर के क्षेत्र के कुछ विस्तार, पी-एडिक चर के क्षेत्र, आदि के बीजीय पूर्णांकों में मांगे जाते हैं।
इन असमानताओं की उत्पत्ति
डायोफैंटाइन समीकरणों का अध्ययन संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति के बीच की सीमा पर है। पूर्णांक चरों में समाधान खोजना सबसे पुरानी गणितीय समस्याओं में से एक है। पहले से ही दूसरी सहस्राब्दी ईसा पूर्व की शुरुआत में। प्राचीन बेबीलोनियाई दो अज्ञात के साथ समीकरणों की प्रणाली को हल करने में कामयाब रहे। गणित की यह शाखा प्राचीन यूनान में सबसे अधिक फली-फूली। डायोफैंटस का अंकगणित (सी. तीसरी शताब्दी ई.) एक महत्वपूर्ण और मुख्य स्रोत है जिसमें समीकरणों के विभिन्न प्रकार और प्रणालियां शामिल हैं।
इस पुस्तक में, डायोफैंटस ने दूसरे और तीसरे की असमानताओं का अध्ययन करने के लिए कई तरीकों का पूर्वाभास कियाडिग्री जो 19वीं शताब्दी में पूरी तरह से विकसित हुई थीं। प्राचीन ग्रीस के इस शोधकर्ता द्वारा परिमेय संख्याओं के सिद्धांत के निर्माण ने अनिश्चित प्रणालियों के तार्किक समाधानों का विश्लेषण किया, जिनका उनकी पुस्तक में व्यवस्थित रूप से पालन किया गया है। हालांकि उनके काम में विशिष्ट डायोफैंटाइन समीकरणों के समाधान शामिल हैं, यह मानने का कारण है कि वे कई सामान्य तरीकों से भी परिचित थे।
इन असमानताओं का अध्ययन आमतौर पर गंभीर कठिनाइयों से जुड़ा होता है। इस तथ्य के कारण कि उनमें पूर्णांक गुणांक F (x, y1,…, y) वाले बहुपद होते हैं। इसके आधार पर, यह निष्कर्ष निकाला गया कि कोई एकल एल्गोरिथम नहीं है जिसका उपयोग किसी दिए गए x के लिए निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि क्या समीकरण F (x, y1,…., y ). y1, …, y के लिए स्थिति हल करने योग्य है। ऐसे बहुपदों के उदाहरण लिखे जा सकते हैं।
सबसे सरल असमानता
ax + by=1, जहां a और b अपेक्षाकृत पूर्णांक और अभाज्य संख्याएं हैं, इसमें बड़ी संख्या में निष्पादन हैं (यदि x0, y0 परिणाम बनता है, फिर चरों की जोड़ी x=x0 + b और y=y0 -an, जहां n मनमाना है, उसे भी असमानता माना जाएगा)। डायोफैंटाइन समीकरणों का एक और उदाहरण है x2 + y2 =z2। इस असमानता के सकारात्मक अभिन्न समाधान छोटे पक्षों x, y और समकोण त्रिभुजों की लंबाई के साथ-साथ पूर्णांक पक्ष आयामों के साथ कर्ण z हैं। इन संख्याओं को पाइथागोरस संख्याएँ कहते हैं। प्राइम के संबंध में सभी त्रिक इंगित किए गए हैंउपरोक्त चर x=m2 – n2, y=2mn, z=m2 द्वारा दिए गए हैं+ n2, जहाँ m और n पूर्णांक और अभाज्य संख्याएँ हैं (m>n>0)।
डायोफैंटस ने अपने अंकगणित में अपनी असमानताओं के विशेष प्रकार के तर्कसंगत (जरूरी नहीं कि अभिन्न) समाधानों की खोज की। पहली डिग्री के डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए एक सामान्य सिद्धांत 17 वीं शताब्दी में सी जी बास्केट द्वारा विकसित किया गया था। 19वीं सदी की शुरुआत में अन्य वैज्ञानिकों ने मुख्य रूप से इसी तरह की असमानताओं का अध्ययन किया जैसे कि ax2 +bxy + cy2 + dx +ey +f=0, जहां ए, बी, सी, डी, ई, और एफ सामान्य, विषम हैं, दूसरी डिग्री के दो अज्ञात हैं। लैग्रेंज ने अपने अध्ययन में निरंतर भिन्नों का प्रयोग किया। द्विघात रूपों के लिए गॉस ने कुछ प्रकार के समाधानों के आधार पर एक सामान्य सिद्धांत विकसित किया।
इन दूसरी डिग्री की असमानताओं के अध्ययन में महत्वपूर्ण प्रगति 20वीं शताब्दी में ही हुई थी। उ. थ्यू ने पाया कि डायोफैंटाइन समीकरण a0x + a1xn- 1 y +…+a y =c, जहां n≧3, a0,…, a , c पूर्णांक हैं, और a0tn +…+ a में अनंत संख्या में पूर्णांक समाधान नहीं हो सकते। हालाँकि, थ्यू की विधि ठीक से विकसित नहीं हुई थी। ए। बेकर ने प्रभावी प्रमेय बनाए जो इस तरह के कुछ समीकरणों के प्रदर्शन पर अनुमान लगाते हैं। बीएन डेलाउने ने इन असमानताओं के एक संकीर्ण वर्ग पर लागू जांच की एक और विधि का प्रस्ताव रखा। विशेष रूप से, फॉर्म ax3 + y3 =1 इस तरह से पूरी तरह से हल करने योग्य है।
डायोफैंटाइन समीकरण: समाधान के तरीके
डायोफैंटस के सिद्धांत की कई दिशाएँ हैं। इस प्रकार, इस प्रणाली में एक प्रसिद्ध समस्या यह परिकल्पना है कि डायोफैंटाइन समीकरणों का कोई गैर-तुच्छ समाधान नहीं है xn + y =z n if n 3 (फर्मैट का सवाल)। असमानता की पूर्णांक पूर्ति का अध्ययन पाइथागोरस त्रिक की समस्या का एक स्वाभाविक सामान्यीकरण है। यूलर ने n=4 के लिए फ़र्मेट की समस्या का एक सकारात्मक समाधान प्राप्त किया। इस परिणाम के आधार पर, यह लापता पूर्णांक के प्रमाण को संदर्भित करता है, समीकरण के गैर-शून्य अध्ययन यदि n एक विषम अभाज्य संख्या है।
निर्णय को लेकर अध्ययन अभी पूरा नहीं हुआ है। इसके कार्यान्वयन में कठिनाइयाँ इस तथ्य से संबंधित हैं कि बीजीय पूर्णांकों के वलय में सरल गुणनखंड अद्वितीय नहीं है। इस प्रणाली में अभाज्य घातांक n के कई वर्गों के लिए भाजक का सिद्धांत फर्मेट के प्रमेय की वैधता की पुष्टि करना संभव बनाता है। इस प्रकार, दो अज्ञात के साथ रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण मौजूदा तरीकों और तरीकों से पूरा होता है।
वर्णित कार्यों के प्रकार और प्रकार
बीजीय पूर्णांकों के वलयों के अंकगणित का उपयोग डायोफैंटाइन समीकरणों की कई अन्य समस्याओं और समाधानों में भी किया जाता है। उदाहरण के लिए, इस तरह के तरीकों को N(a1 x1 +…+ a की असमानताओं को पूरा करते समय लागू किया गया था। x)=m, जहाँ N(a) a का मान है, और x1,…, xn अभिन्न परिमेय चर पाए जाते हैं। इस वर्ग में पेल समीकरण x2–dy2=1 शामिल है।
मान a1,…, a जो दिखाई देते हैं, इन समीकरणों को दो प्रकारों में बांटा गया है। पहला प्रकार - तथाकथित पूर्ण रूप - में ऐसे समीकरण शामिल हैं जिनमें परिमेय चर Q के क्षेत्र में m रैखिक रूप से स्वतंत्र संख्याएँ हैं, जहाँ m=[Q(a1, …, a):Q], जिसमें Q के ऊपर बीजगणितीय घातांक Q (a1, …, a ) की एक डिग्री होती है। अपूर्ण प्रजातियां वे हैं जिनमें जिसकी अधिकतम संख्या एक i मी. से कम है
पूर्ण रूप सरल हैं, उनका अध्ययन पूर्ण है, और सभी समाधानों का वर्णन किया जा सकता है। दूसरा प्रकार, अपूर्ण प्रजाति, अधिक जटिल है, और इस तरह के सिद्धांत का विकास अभी तक पूरा नहीं हुआ है। इस तरह के समीकरणों का अध्ययन डायोफैंटाइन सन्निकटन का उपयोग करके किया जाता है, जिसमें असमानता F(x, y)=C शामिल है, जहां F (x, y) डिग्री n≧3 का एक अपरिवर्तनीय, सजातीय बहुपद है। इस प्रकार, हम मान सकते हैं कि yi→∞. तदनुसार, यदि yi काफी बड़ा है, तो असमानता थ्यू, सीगल और रोथ के प्रमेय का खंडन करेगी, जिससे यह इस प्रकार है कि F(x, y)=C, जहां F है तीसरी डिग्री या उससे ऊपर का एक रूप, इरेड्यूसिबल के पास अनंत संख्या में समाधान नहीं हो सकते हैं।
डायोफैंटाइन समीकरण को कैसे हल करें?
यह उदाहरण सभी के बीच एक बहुत ही संकीर्ण वर्ग है। उदाहरण के लिए, उनकी सादगी के बावजूद, x3 + y3 + z3=N, और x 2 +y 2 +z2 +u2 =एन इस वर्ग में शामिल नहीं हैं। समाधानों का अध्ययन डायोफैंटाइन समीकरणों की एक सावधानीपूर्वक अध्ययन की गई शाखा है, जहां आधार संख्याओं के द्विघात रूपों द्वारा प्रतिनिधित्व है। लग्रेंजएक प्रमेय बनाया जो कहता है कि पूर्ति सभी प्राकृतिक एन के लिए मौजूद है। किसी भी प्राकृतिक संख्या को तीन वर्गों (गॉस के प्रमेय) के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, लेकिन यह फॉर्म का नहीं होना चाहिए 4a (8K-1), जहां a और k गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांक हैं।
टाइप एफ के डायोफैंटाइन समीकरण की प्रणाली के लिए तर्कसंगत या अभिन्न समाधान (x1, …, x)=a, जहां F (x 1,…, x) पूर्णांक गुणांकों वाला एक द्विघात रूप है। इस प्रकार, मिंकोव्स्की-हस्से प्रमेय के अनुसार, असमानता ∑aijxixj=b ijऔर b परिमेय है, प्रत्येक अभाज्य संख्या p के लिए वास्तविक और p-adic संख्याओं में एक अभिन्न समाधान है, यदि यह इस संरचना में हल करने योग्य है।
अंतर्निहित कठिनाइयों के कारण, तृतीय डिग्री और उससे ऊपर के मनमाने रूपों के साथ संख्याओं का अध्ययन कुछ हद तक किया गया है। मुख्य निष्पादन विधि त्रिकोणमितीय योगों की विधि है। इस मामले में, फूरियर इंटीग्रल के संदर्भ में समीकरण के समाधानों की संख्या स्पष्ट रूप से लिखी गई है। उसके बाद, संबंधित सर्वांगसमताओं की असमानता की पूर्ति की संख्या को व्यक्त करने के लिए पर्यावरण विधि का उपयोग किया जाता है। त्रिकोणमितीय योगों की विधि असमानताओं की बीजीय विशेषताओं पर निर्भर करती है। रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए बड़ी संख्या में प्राथमिक विधियाँ हैं।
डायोफैंटाइन विश्लेषण
गणित विभाग, जिसका विषय ज्यामिति की विधियों द्वारा बीजगणित के समीकरणों की प्रणालियों के समाकलन और तर्कसंगत हलों का अध्ययन है, उसी सेगोले 19 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, इस संख्या सिद्धांत के उद्भव ने गुणांक के साथ एक मनमानी क्षेत्र से डायोफैंटाइन समीकरणों का अध्ययन किया, और समाधान या तो इसमें या इसके छल्ले में माना जाता था। बीजगणितीय कार्यों की प्रणाली संख्याओं के समानांतर विकसित हुई। दोनों के बीच बुनियादी सादृश्य, जिस पर डी. हिल्बर्ट और विशेष रूप से एल. क्रोनकर ने जोर दिया था, ने विभिन्न अंकगणितीय अवधारणाओं का एक समान निर्माण किया, जिन्हें आमतौर पर वैश्विक कहा जाता है।
यह विशेष रूप से ध्यान देने योग्य है यदि स्थिरांक के एक परिमित क्षेत्र पर अध्ययन के तहत बीजीय कार्य एक चर हैं। वर्ग क्षेत्र सिद्धांत, भाजक, और शाखा और परिणाम जैसी अवधारणाएं उपरोक्त का एक अच्छा उदाहरण हैं। इस दृष्टिकोण को डायोफैंटाइन असमानताओं की प्रणाली में बाद में ही अपनाया गया था, और न केवल संख्यात्मक गुणांक के साथ, बल्कि गुणांक के साथ भी व्यवस्थित अनुसंधान, जो कि कार्य हैं, केवल 1950 के दशक में शुरू हुआ। इस दृष्टिकोण में निर्णायक कारकों में से एक बीजगणितीय ज्यामिति का विकास था। संख्याओं और कार्यों के क्षेत्रों का एक साथ अध्ययन, जो एक ही विषय के दो समान रूप से महत्वपूर्ण पहलुओं के रूप में उत्पन्न होते हैं, ने न केवल सुरुचिपूर्ण और ठोस परिणाम दिए, बल्कि दोनों विषयों के पारस्परिक संवर्धन को जन्म दिया।
बीजगणितीय ज्यामिति में, एक विविधता की धारणा को किसी दिए गए क्षेत्र K पर असमानताओं के एक गैर-अपरिवर्तनीय सेट द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और उनके समाधानों को तर्कसंगत बिंदुओं द्वारा K या इसके परिमित विस्तार में मानों के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है। तदनुसार कोई कह सकता है कि डायोफैंटाइन ज्यामिति की मूलभूत समस्या तर्कसंगत बिंदुओं का अध्ययन हैएक बीजीय समुच्चय X(K) का, जबकि X क्षेत्र K में कुछ निश्चित संख्याएँ हैं। पूर्णांक निष्पादन का रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों में एक ज्यामितीय अर्थ होता है।
असमानता अध्ययन और निष्पादन विकल्प
बीजीय किस्मों पर तर्कसंगत (या अभिन्न) बिंदुओं का अध्ययन करते समय, पहली समस्या उत्पन्न होती है, जो उनका अस्तित्व है। हिल्बर्ट की दसवीं समस्या इस समस्या को हल करने के लिए एक सामान्य विधि खोजने की समस्या के रूप में तैयार की गई है। एल्गोरिथ्म की एक सटीक परिभाषा बनाने की प्रक्रिया में और यह साबित होने के बाद कि बड़ी संख्या में समस्याओं के लिए ऐसा कोई निष्पादन नहीं है, समस्या ने एक स्पष्ट नकारात्मक परिणाम प्राप्त किया, और सबसे दिलचस्प सवाल डायोफैंटाइन समीकरणों के वर्गों की परिभाषा है जिसके लिए उपरोक्त प्रणाली मौजूद है। बीजगणितीय दृष्टिकोण से सबसे प्राकृतिक दृष्टिकोण, तथाकथित हस सिद्धांत है: प्रारंभिक क्षेत्र K का अध्ययन सभी संभावित अनुमानों पर Kv की पूर्णता के साथ किया जाता है। चूँकि X(K)=X(Kv) अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त है, और K बिंदु इस बात को ध्यान में रखता है कि समुच्चय X(Kv)) सभी v. के लिए खाली नहीं है
महत्व इस बात में है कि यह दो समस्याओं को एक साथ लाता है। दूसरा एक बहुत आसान है, यह एक ज्ञात एल्गोरिदम द्वारा हल करने योग्य है। विशेष मामले में जहां एक्स किस्म प्रक्षेप्य है, हंसल की लेम्मा और इसके सामान्यीकरण आगे की कमी को संभव बनाते हैं: एक सीमित क्षेत्र में तर्कसंगत बिंदुओं के अध्ययन के लिए समस्या को कम किया जा सकता है। फिर वह लगातार अनुसंधान या अधिक प्रभावी तरीकों के माध्यम से एक अवधारणा का निर्माण करने का फैसला करता है।
अंतिमएक महत्वपूर्ण विचार यह है कि समुच्चय X(Kv) सभी के लिए गैर-रिक्त हैं, लेकिन वी की एक सीमित संख्या है, इसलिए शर्तों की संख्या हमेशा सीमित होती है और उनका प्रभावी ढंग से परीक्षण किया जा सकता है। हालांकि, हासे का सिद्धांत डिग्री वक्रों पर लागू नहीं होता है। उदाहरण के लिए, 3x3 + 4y3=5 के सभी p-adic संख्या क्षेत्रों में अंक हैं और वास्तविक संख्याओं की प्रणाली में, लेकिन इसका कोई परिमेय बिंदु नहीं है।
इस विधि ने हासे सिद्धांत से "विचलन" करने के लिए एबेलियन किस्मों के प्रमुख सजातीय रिक्त स्थान के वर्गों का वर्णन करने वाली अवधारणा के निर्माण के लिए एक प्रारंभिक बिंदु के रूप में कार्य किया। यह एक विशेष संरचना के संदर्भ में वर्णित है जिसे प्रत्येक मैनिफोल्ड (टेट-शफारेविच समूह) के साथ जोड़ा जा सकता है। सिद्धांत की मुख्य कठिनाई इस तथ्य में निहित है कि समूहों की गणना के तरीकों को प्राप्त करना मुश्किल है। इस अवधारणा को बीजीय किस्मों के अन्य वर्गों तक भी विस्तारित किया गया है।
असमानताओं को पूरा करने के लिए एक एल्गोरिथ्म की खोज करें
डायोफैंटाइन समीकरणों के अध्ययन में इस्तेमाल किया जाने वाला एक और अनुमानी विचार यह है कि यदि असमानताओं के एक सेट में शामिल चरों की संख्या बड़ी है, तो सिस्टम में आमतौर पर एक समाधान होता है। हालांकि, किसी विशेष मामले के लिए यह साबित करना बहुत मुश्किल है। इस प्रकार की समस्याओं के लिए सामान्य दृष्टिकोण विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का उपयोग करता है और त्रिकोणमितीय योगों के अनुमानों पर आधारित है। यह विधि मूल रूप से विशेष प्रकार के समीकरणों पर लागू की गई थी।
हालांकि, बाद में इसकी सहायता से यह सिद्ध हो गया कि यदि विषम घात का रूप F है, तो d. मेंऔर n चर और परिमेय गुणांक के साथ, फिर n d की तुलना में काफी बड़ा है, इसलिए प्रक्षेप्य हाइपरसर्फेस F=0 का एक तर्कसंगत बिंदु है। आर्टिन के अनुमान के अनुसार, यह परिणाम सही है, भले ही n > d2. यह केवल द्विघात रूपों के लिए सिद्ध किया गया है। इसी तरह की समस्याएं अन्य क्षेत्रों के लिए भी पूछी जा सकती हैं। डायोफैंटाइन ज्यामिति की केंद्रीय समस्या पूर्णांक या परिमेय बिंदुओं के समुच्चय की संरचना और उनका अध्ययन है, और पहला प्रश्न स्पष्ट किया जाना है कि क्या यह समुच्चय परिमित है। इस समस्या में, स्थिति में आमतौर पर निष्पादन की एक सीमित संख्या होती है यदि सिस्टम की डिग्री चर की संख्या से बहुत अधिक है। यह मूल धारणा है।
रेखाओं और वक्रों पर असमानता
समूह X(K) को रैंक r की एक मुक्त संरचना और क्रम n के एक परिमित समूह के प्रत्यक्ष योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। 1930 के दशक से, इस सवाल का अध्ययन किया गया है कि क्या ये संख्याएँ किसी दिए गए क्षेत्र K पर सभी अण्डाकार वक्रों के सेट पर बंधी हैं। मरोड़ n की सीमा सत्तर के दशक में प्रदर्शित की गई थी। कार्यात्मक मामले में मनमाने ढंग से उच्च रैंक के वक्र होते हैं। संख्यात्मक मामले में, इस प्रश्न का अभी भी कोई उत्तर नहीं है।
आखिरकार, मोर्डेल का अनुमान बताता है कि जीनस g>1 के वक्र के लिए अभिन्न बिंदुओं की संख्या सीमित है। कार्यात्मक मामले में, इस अवधारणा को 1963 में यू.आई. मैनिन द्वारा प्रदर्शित किया गया था। डायोफैंटाइन ज्यामिति में परिमितता प्रमेयों को सिद्ध करने में प्रयुक्त मुख्य उपकरण ऊँचाई है। बीजीय किस्मों में से, एक से ऊपर के आयाम अबेलियन हैंमैनिफोल्ड, जो अण्डाकार वक्रों के बहुआयामी एनालॉग हैं, का सबसे गहन अध्ययन किया गया है।
ए. वेइल ने किसी भी आयाम (मोर्डेल-वील अवधारणा) के एबेलियन किस्मों के तर्कसंगत बिंदुओं के समूह के जनरेटर की संख्या की परिमितता पर प्रमेय को सामान्यीकृत किया, इसे विस्तारित किया। 1960 के दशक में, बिर्च और स्विनर्टन-डायर का अनुमान सामने आया, जिससे यह और समूह और कई गुना के जीटा कार्यों में सुधार हुआ। संख्यात्मक साक्ष्य इस परिकल्पना का समर्थन करते हैं।
सॉल्वेबिलिटी प्रॉब्लम
एक एल्गोरिथम खोजने की समस्या जिसका उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि क्या किसी डायोफैंटाइन समीकरण का समाधान है। उत्पन्न समस्या की एक अनिवार्य विशेषता एक सार्वभौमिक पद्धति की खोज है जो किसी भी असमानता के लिए उपयुक्त होगी। इस तरह की विधि उपरोक्त प्रणालियों को हल करने की भी अनुमति देगी, क्योंकि यह P21+⋯+P2k=0.p1=0, …, PK=0p=0, …, pK=0 या p21+ ⋯ + P2K=0 के बराबर है। n12+⋯+pK2=0. पूर्णांकों में रैखिक असमानताओं के समाधान खोजने का ऐसा सार्वभौमिक तरीका खोजने की समस्या डी द्वारा प्रस्तुत की गई थी। गिल्बर्ट।
1950 के दशक की शुरुआत में, डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म के गैर-अस्तित्व को साबित करने के उद्देश्य से पहला अध्ययन सामने आया। इस समय, डेविस अनुमान सामने आया, जिसमें कहा गया था कि कोई भी गणना योग्य सेट ग्रीक वैज्ञानिक का भी है। क्योंकि एल्गोरिथम रूप से अनिर्णायक सेट के उदाहरण ज्ञात हैं, लेकिन पुनरावर्ती रूप से गणना योग्य हैं। यह इस प्रकार है कि डेविस का अनुमान सत्य है और इन समीकरणों की सॉल्वेबिलिटी की समस्याएक नकारात्मक निष्पादन है।
उसके बाद, डेविस अनुमान के लिए, यह साबित करना बाकी है कि असमानता को बदलने की एक विधि है जिसका एक ही समय में (या नहीं) समाधान है। यह दिखाया गया था कि डायोफैंटाइन समीकरण का ऐसा परिवर्तन संभव है यदि इसमें उपरोक्त दो गुण हैं: 1) इस प्रकार के किसी भी समाधान में v uu; 2) किसी भी k के लिए, घातीय वृद्धि के साथ निष्पादन होता है।
इस वर्ग के एक रेखीय डायोफैंटाइन समीकरण के उदाहरण ने प्रमाण को पूरा किया। परिमेय संख्याओं में इन असमानताओं को हल करने और पहचानने के लिए एक एल्गोरिथ्म के अस्तित्व की समस्या को अभी भी एक महत्वपूर्ण और खुला प्रश्न माना जाता है जिसका पर्याप्त अध्ययन नहीं किया गया है।
