गणित की शाखाओं में से एक जिसके साथ स्कूली बच्चे सबसे बड़ी कठिनाइयों का सामना करते हैं, वह है त्रिकोणमिति। कोई आश्चर्य नहीं: ज्ञान के इस क्षेत्र में स्वतंत्र रूप से महारत हासिल करने के लिए, आपको स्थानिक सोच की आवश्यकता है, सूत्रों का उपयोग करके साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटेंगेंट खोजने की क्षमता, अभिव्यक्तियों को सरल बनाना और गणना में संख्या pi का उपयोग करने में सक्षम होना चाहिए। इसके अलावा, आपको प्रमेयों को सिद्ध करते समय त्रिकोणमिति को लागू करने में सक्षम होना चाहिए, और इसके लिए या तो एक विकसित गणितीय स्मृति या जटिल तार्किक श्रृंखलाओं को निकालने की क्षमता की आवश्यकता होती है।
त्रिकोणमिति की उत्पत्ति
इस विज्ञान का परिचय एक कोण की साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा से शुरू होना चाहिए, लेकिन पहले आपको यह पता लगाने की जरूरत है कि त्रिकोणमिति सामान्य रूप से क्या करती है।
ऐतिहासिक रूप से, गणितीय विज्ञान के इस खंड में समकोण त्रिभुज अनुसंधान का मुख्य उद्देश्य रहा है। 90 डिग्री के कोण की उपस्थिति विभिन्न कार्यों को करना संभव बनाती है जो दो की अनुमति देते हैंपक्ष और एक कोने या दो कोने और एक पक्ष प्रश्न में आकृति के सभी मापदंडों के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए। अतीत में, लोगों ने इस पैटर्न पर ध्यान दिया और इमारतों, नेविगेशन, खगोल विज्ञान और यहां तक कि कला के निर्माण में सक्रिय रूप से इसका उपयोग करना शुरू कर दिया।
आरंभ
शुरू में, लोग विशेष रूप से समकोण त्रिभुज के उदाहरण पर कोणों और भुजाओं के संबंध के बारे में बात करते थे। तब विशेष सूत्रों की खोज की गई, जिससे गणित के इस खंड के दैनिक जीवन में उपयोग की सीमाओं का विस्तार करना संभव हो गया।
आज स्कूल में त्रिकोणमिति का अध्ययन समकोण त्रिभुज से शुरू होता है, जिसके बाद प्राप्त ज्ञान का उपयोग छात्रों द्वारा भौतिकी और अमूर्त त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में किया जाता है, जिसके साथ हाई स्कूल में काम शुरू होता है।
गोलाकार त्रिकोणमिति
बाद में, जब विज्ञान विकास के अगले स्तर पर पहुंच गया, तो गोलाकार ज्यामिति में साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट वाले सूत्रों का उपयोग किया जाने लगा, जहां अन्य नियम लागू होते हैं, और त्रिभुज में कोणों का योग हमेशा अधिक होता है। 180 डिग्री से अधिक। इस खंड का अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन इसके अस्तित्व के बारे में जानना आवश्यक है, कम से कम क्योंकि पृथ्वी की सतह और किसी भी अन्य ग्रह की सतह उत्तल है, जिसका अर्थ है कि सतह का कोई भी अंकन "चाप के आकार का होगा। " त्रि-आयामी अंतरिक्ष में।
एक ग्लोब और एक धागा लें। धागे को ग्लोब पर किन्हीं दो बिंदुओं से इस प्रकार संलग्न करें कि वह तना हुआ हो। ध्यान दें - इसने एक चाप का आकार प्राप्त कर लिया है। यह ऐसे रूपों से संबंधित हैभूगणित, खगोल विज्ञान और अन्य सैद्धांतिक और अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में प्रयुक्त गोलाकार ज्यामिति।
समकोण त्रिभुज
त्रिकोणमिति का उपयोग करने के तरीकों के बारे में थोड़ा जानने के बाद, आइए मूल त्रिकोणमिति पर लौटते हैं ताकि आगे यह समझने के लिए कि साइन, कोसाइन, टेंगेंट क्या हैं, उनकी मदद से कौन सी गणना की जा सकती है और कौन से फॉर्मूले का उपयोग किया जा सकता है।
सबसे पहले, आपको समकोण त्रिभुज से संबंधित अवधारणाओं को समझने की आवश्यकता है। सबसे पहले, कर्ण 90 डिग्री के कोण के विपरीत पक्ष है। वह सबसे लंबी है। हमें याद है कि पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, इसका संख्यात्मक मान अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के मूल के बराबर होता है।
उदाहरण के लिए, यदि दो भुजाएँ क्रमशः 3 और 4 सेंटीमीटर हैं, तो कर्ण की लंबाई 5 सेंटीमीटर होगी। वैसे, प्राचीन मिस्रवासियों को इस बारे में लगभग साढ़े चार हजार साल पहले पता था।
शेष दो भुजाएँ जो समकोण बनाती हैं, टाँगें कहलाती हैं। इसके अलावा, हमें यह याद रखना चाहिए कि एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में त्रिभुज में कोणों का योग 180 डिग्री होता है।
परिभाषा
आखिरकार, ज्यामितीय आधार की एक ठोस समझ रखने के बाद, हम कोण की साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा की परिभाषा की ओर मुड़ सकते हैं।
कोण की ज्या कर्ण के विपरीत पैर (अर्थात वांछित कोण के विपरीत पक्ष) का अनुपात है। एक कोण की कोज्या आसन्न पैर का कर्ण से अनुपात है।
याद रखें कि न तो ज्या और न ही कोज्या एक से बड़ा हो सकता है! क्यों?क्योंकि कर्ण डिफ़ॉल्ट रूप से एक समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा होती है। पैर कितना भी लंबा क्यों न हो, वह कर्ण से छोटा होगा, जिसका अर्थ है कि उनका अनुपात हमेशा एक से कम होगा। इस प्रकार, यदि आपको समस्या के उत्तर में 1 से अधिक मान वाली साइन या कोसाइन मिलती है, तो गणना या तर्क में त्रुटि की तलाश करें। यह उत्तर स्पष्ट रूप से गलत है।
आखिरकार, किसी कोण की स्पर्श रेखा विपरीत भुजा और आसन्न भुजा का अनुपात होती है। वही परिणाम कोज्या द्वारा ज्या का विभाजन देगा। देखिए: सूत्र के अनुसार हम भुजा की लंबाई को कर्ण से भाग देते हैं, जिसके बाद हम दूसरी भुजा की लंबाई से भाग देते हैं और कर्ण से गुणा करते हैं। इस प्रकार, हमें स्पर्शरेखा की परिभाषा के समान अनुपात मिलता है।
कोटैंजेंट, क्रमशः, कोने से सटी भुजा का विपरीत दिशा से अनुपात है। हम इकाई को स्पर्शरेखा से विभाजित करने पर समान परिणाम प्राप्त करते हैं।
इसलिए, हमने साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट की परिभाषाओं पर विचार किया है, और हम सूत्रों से निपट सकते हैं।
सरल सूत्र
त्रिकोणमिति में कोई सूत्र के बिना नहीं कर सकता - उनके बिना साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटैंजेंट कैसे खोजें? लेकिन समस्याओं को हल करते समय ठीक यही आवश्यक है।
त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करते समय आपको जो पहला सूत्र जानना चाहिए, वह कहता है कि किसी कोण की ज्या और कोज्या के वर्गों का योग एक के बराबर होता है। यह सूत्र पाइथागोरस प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है, लेकिन यह समय बचाता है यदि आपको कोण का मान ज्ञात करना है, भुजा का नहीं।
कई छात्रों को दूसरा फॉर्मूला याद नहीं आ रहा है, वो भी बहुतस्कूल की समस्याओं को हल करने में लोकप्रिय: एक का योग और एक कोण के स्पर्शरेखा के वर्ग को कोण के कोसाइन के वर्ग द्वारा विभाजित एक के बराबर होता है। करीब से देखें: आखिरकार, यह वही कथन है जो पहले सूत्र में था, केवल पहचान के दोनों पक्षों को कोसाइन के वर्ग द्वारा विभाजित किया गया था। यह पता चला है कि एक साधारण गणितीय ऑपरेशन त्रिकोणमितीय सूत्र को पूरी तरह से पहचानने योग्य नहीं बनाता है। याद रखें: साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटैंजेंट क्या है, रूपांतरण नियम और कुछ बुनियादी फ़ार्मुलों को जानकर, आप किसी भी समय स्वतंत्र रूप से कागज के एक टुकड़े पर आवश्यक अधिक जटिल फ़ार्मुलों को प्राप्त कर सकते हैं।
दोहरे कोण के सूत्र और तर्कों का जोड़
सीखने के लिए दो और सूत्र कोणों के योग और अंतर के लिए साइन और कोसाइन मानों से संबंधित हैं। उन्हें नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। कृपया ध्यान दें कि पहले मामले में, ज्या और कोज्या दोनों बार गुणा किया जाता है, और दूसरे मामले में, ज्या और कोज्या का जोड़ीदार गुणनफल जोड़ा जाता है।
दोहरे कोण वाले तर्कों से जुड़े सूत्र भी हैं। वे पूरी तरह से पिछले वाले से व्युत्पन्न हैं - अभ्यास के रूप में, अल्फा के कोण को बीटा के कोण के बराबर लेते हुए, उन्हें स्वयं प्राप्त करने का प्रयास करें।
अंत में, ध्यान दें कि साइन, कोसाइन, टेंगेंट अल्फा की डिग्री को कम करने के लिए डबल एंगल फ़ार्मुलों को परिवर्तित किया जा सकता है।
प्रमेय
मूल त्रिकोणमिति में दो मुख्य प्रमेय हैं ज्या प्रमेय और कोज्या प्रमेय। इन प्रमेयों की सहायता से, आप आसानी से समझ सकते हैं कि साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा कैसे प्राप्त करें, और इसलिए आकृति का क्षेत्र, और परिमाणप्रत्येक पक्ष, आदि
साइन प्रमेय में कहा गया है कि त्रिभुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई को विपरीत कोण के मान से विभाजित करने पर हमें वही संख्या प्राप्त होती है। इसके अलावा, यह संख्या परिबद्ध वृत्त की दो त्रिज्याओं के बराबर होगी, अर्थात वह वृत्त जिसमें दिए गए त्रिभुज के सभी बिंदु हों।
कोज्या प्रमेय पाइथागोरस प्रमेय को सामान्य करता है, इसे किसी भी त्रिभुज पर प्रक्षेपित करता है। यह पता चला है कि दोनों पक्षों के वर्गों के योग से, उनके उत्पाद को उनके आसन्न कोण के दोहरे कोसाइन से गुणा करके - परिणामी मूल्य तीसरे पक्ष के वर्ग के बराबर होगा। इस प्रकार, पाइथागोरस प्रमेय कोसाइन प्रमेय का एक विशेष मामला निकला।
असावधानी के कारण गलतियाँ
साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा क्या हैं, यह जानते हुए भी, अनुपस्थित-दिमाग या सरल गणनाओं में त्रुटि के कारण गलती करना आसान है। ऐसी गलतियों से बचने के लिए, आइए एक नज़र डालते हैं सबसे लोकप्रिय गलतियों पर।
सबसे पहले, अंतिम परिणाम प्राप्त करने से पहले सामान्य अंशों को दशमलव में परिवर्तित न करें - आप उत्तर को एक सामान्य अंश के रूप में छोड़ सकते हैं, जब तक कि शर्त में अन्यथा न कहा गया हो। इस तरह के परिवर्तन को गलती नहीं कहा जा सकता है, लेकिन यह याद रखना चाहिए कि कार्य के प्रत्येक चरण में नई जड़ें दिखाई दे सकती हैं, जो लेखक के विचार के अनुसार कम होनी चाहिए। इस मामले में, आप अनावश्यक गणितीय कार्यों पर समय बर्बाद करेंगे। यह तीन या दो की जड़ जैसे मूल्यों के लिए विशेष रूप से सच है, क्योंकि वे हर कदम पर कार्यों में होते हैं। वही गोल करने के लिए जाता है।"बदसूरत" नंबर।
अगला, ध्यान दें कि कोसाइन प्रमेय किसी भी त्रिभुज पर लागू होता है, लेकिन पाइथागोरस प्रमेय पर नहीं! यदि आप गलती से उनके बीच के कोण के कोसाइन द्वारा गुणा किए गए पक्षों के उत्पाद को दो बार घटाना भूल जाते हैं, तो आपको न केवल पूरी तरह से गलत परिणाम मिलेगा, बल्कि विषय की पूरी गलतफहमी भी प्रदर्शित होगी। यह एक लापरवाह गलती से भी बदतर है।
तीसरा, साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंजेंट के लिए 30 और 60 डिग्री के कोणों के मानों को भ्रमित न करें। इन मानों को याद रखें, क्योंकि 30 डिग्री की ज्या 60 की कोज्या के बराबर होती है, और इसके विपरीत। उन्हें मिलाना आसान है, और आप अनिवार्य रूप से एक गलत परिणाम प्राप्त करेंगे।
आवेदन
कई छात्र त्रिकोणमिति का अध्ययन शुरू करने की जल्दी में नहीं हैं, क्योंकि वे इसके लागू अर्थ को नहीं समझते हैं। एक इंजीनियर या खगोलशास्त्री के लिए साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा क्या है? ये अवधारणाएं हैं जिनके लिए आप दूर के सितारों की दूरी की गणना कर सकते हैं, उल्कापिंड के गिरने की भविष्यवाणी कर सकते हैं, दूसरे ग्रह पर एक शोध जांच भेज सकते हैं। उनके बिना, एक इमारत बनाना, एक कार डिजाइन करना, सतह पर भार या किसी वस्तु के प्रक्षेपवक्र की गणना करना असंभव है। और ये सिर्फ सबसे स्पष्ट उदाहरण हैं! आखिरकार, संगीत से लेकर चिकित्सा तक, किसी न किसी रूप में त्रिकोणमिति का उपयोग हर जगह किया जाता है।
निष्कर्ष में
तो, आप जानते हैं कि साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा क्या हैं। आप उनका उपयोग गणना में कर सकते हैं और स्कूल की समस्याओं को सफलतापूर्वक हल कर सकते हैं।
पूरी बातत्रिकोणमिति इस तथ्य तक कम हो जाती है कि त्रिभुज के ज्ञात मापदंडों के अनुसार अज्ञात की गणना करना आवश्यक है। कुल छह पैरामीटर हैं: तीन पक्षों की लंबाई और तीन कोणों का परिमाण। कार्यों में पूरा अंतर इस तथ्य में निहित है कि विभिन्न इनपुट डेटा दिए गए हैं।
पैर या कर्ण की ज्ञात लंबाई के आधार पर साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा कैसे खोजें, अब आप जानते हैं। चूँकि इन पदों का अर्थ एक अनुपात से अधिक कुछ नहीं है, और एक अनुपात एक भिन्न है, त्रिकोणमितीय समस्या का मुख्य लक्ष्य एक साधारण समीकरण या समीकरणों की एक प्रणाली की जड़ों को खोजना है। और यहाँ सामान्य स्कूली गणित आपकी मदद करेगा।
