हमारे चारों ओर के सभी पिंड निरंतर गति में हैं। अंतरिक्ष में पिंडों की गति सभी स्तरों पर देखी जाती है, जो पदार्थ के परमाणुओं में प्राथमिक कणों की गति से शुरू होती है और ब्रह्मांड में आकाशगंगाओं की त्वरित गति के साथ समाप्त होती है। किसी भी मामले में, गति की प्रक्रिया त्वरण के साथ होती है। इस लेख में, हम विस्तार से स्पर्शरेखा त्वरण की अवधारणा पर विचार करेंगे और एक सूत्र देंगे जिसके द्वारा इसकी गणना की जा सकती है।
गतिज राशियाँ
स्पर्शरेखा त्वरण के बारे में बात करने से पहले, आइए विचार करें कि अंतरिक्ष में पिंडों की मनमानी यांत्रिक गति को चिह्नित करने के लिए यह कौन सी मात्रा है।
सबसे पहले, यह पथ एल है। यह मीटर, सेंटीमीटर, किलोमीटर आदि में दूरी दिखाता है, शरीर ने एक निश्चित अवधि के लिए यात्रा की है।
कीनेमेटिक्स में दूसरी महत्वपूर्ण विशेषता शरीर की गति है। पथ के विपरीत, यह एक वेक्टर मात्रा है और प्रक्षेपवक्र के साथ निर्देशित हैशरीर की हरकतें। वेग समय में स्थानिक निर्देशांक के परिवर्तन की दर निर्धारित करता है। इसकी गणना का सूत्र है:
वी¯=डीएल/डीटी
गति पथ का समय व्युत्पन्न है।
आखिरकार, पिंडों की गति की तीसरी महत्वपूर्ण विशेषता त्वरण है। भौतिकी की परिभाषा के अनुसार त्वरण वह मात्रा है जो समय के साथ गति में परिवर्तन को निर्धारित करती है। इसका सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है:
ए¯=डीवी¯/डीटी
गति की तरह त्वरण भी एक सदिश राशि है, लेकिन इसके विपरीत, यह गति परिवर्तन की दिशा में निर्देशित होती है। त्वरण की दिशा पिंड पर लगने वाले परिणामी बल के सदिश से भी मेल खाती है।
प्रक्षेपवक्र और त्वरण
भौतिकी में कई समस्याओं को रेक्टिलिनियर मोशन के ढांचे के भीतर माना जाता है। इस मामले में, एक नियम के रूप में, वे बिंदु के स्पर्शरेखा त्वरण के बारे में बात नहीं करते हैं, लेकिन रैखिक त्वरण के साथ काम करते हैं। हालाँकि, यदि शरीर की गति रैखिक नहीं है, तो इसका पूर्ण त्वरण दो घटकों में विघटित हो सकता है:
- स्पर्शरेखा;
- सामान्य।
रैखिक गति के मामले में, सामान्य घटक शून्य है, इसलिए हम त्वरण के वेक्टर विस्तार के बारे में बात नहीं करते हैं।
इस प्रकार, गति का प्रक्षेपवक्र काफी हद तक पूर्ण त्वरण की प्रकृति और घटकों को निर्धारित करता है। गति के प्रक्षेपवक्र को अंतरिक्ष में एक काल्पनिक रेखा के रूप में समझा जाता है जिसके साथ शरीर चलता है। कोई भीएक घुमावदार प्रक्षेपवक्र ऊपर उल्लिखित गैर-शून्य त्वरण घटकों की उपस्थिति की ओर जाता है।
स्पर्शरेखा त्वरण का निर्धारण
स्पर्शरेखा या, जैसा कि इसे भी कहा जाता है, स्पर्शरेखा त्वरण पूर्ण त्वरण का एक घटक है, जो गति के प्रक्षेपवक्र के लिए स्पर्शरेखा से निर्देशित होता है। चूंकि वेग भी प्रक्षेपवक्र के साथ निर्देशित होता है, स्पर्शरेखा त्वरण वेक्टर वेग वेक्टर के साथ मेल खाता है।
गति में परिवर्तन के मापक के रूप में त्वरण की अवधारणा ऊपर दी गई थी। चूंकि गति एक वेक्टर है, इसे या तो मोडुलो या दिशात्मक रूप से बदला जा सकता है। स्पर्शरेखा त्वरण केवल गति मापांक में परिवर्तन को निर्धारित करता है।
ध्यान दें कि रेक्टिलिनियर गति के मामले में, वेग वेक्टर अपनी दिशा नहीं बदलता है, इसलिए, उपरोक्त परिभाषा के अनुसार, स्पर्शरेखा त्वरण और रैखिक त्वरण समान मान हैं।
स्पर्शरेखा त्वरण समीकरण प्राप्त करना
मान लें कि शरीर कुछ घुमावदार प्रक्षेपवक्र के साथ चलता है। तब इसकी गति v¯ को चुने हुए बिंदु पर निम्न प्रकार से दर्शाया जा सकता है:
वी¯=वीयूटी¯
यहाँ v सदिश v¯ का मापांक है, ut¯ इकाई वेग सदिश है जो कि प्रक्षेपवक्र की ओर स्पर्शरेखा से निर्देशित है।
त्वरण की गणितीय परिभाषा का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
a¯=डीवी¯/डीटी=डी(वीयूटी¯)/डीटी=डीवी/डीटीयूटी + वीडी(यूटी¯)/डीटी
व्युत्पत्ति ज्ञात करते समय, यहां दो कार्यों के गुणनफल के गुण का उपयोग किया गया था। हम देखते हैं कि विचार किए गए बिंदु पर कुल त्वरण a¯ दो पदों के योग से मेल खाता है। वे क्रमशः बिंदु के स्पर्शरेखा और सामान्य त्वरण हैं।
सामान्य त्वरण के बारे में कुछ शब्द कहते हैं। यह वेग वेक्टर को बदलने के लिए जिम्मेदार है, यानी वक्र के साथ शरीर की गति की दिशा बदलने के लिए। यदि हम दूसरे पद के मूल्य की स्पष्ट रूप से गणना करते हैं, तो हमें सामान्य त्वरण का सूत्र मिलता है:
a=vd(ut¯)/dt=v2/ आर
सामान्य त्वरण को वक्र के दिए गए बिंदु पर बहाल किए गए सामान्य के साथ निर्देशित किया जाता है। वृत्तीय गति के मामले में, सामान्य त्वरण अभिकेन्द्रीय होता है।
स्पर्शरेखा त्वरण समीकरण at¯ है:
एटी¯=डीवी/डीटीयूटी¯
यह व्यंजक कहता है कि स्पर्शरेखा त्वरण दिशा में परिवर्तन के अनुरूप नहीं है, बल्कि समय के एक क्षण में वेग मापांक v¯ में परिवर्तन से मेल खाता है। चूंकि स्पर्शरेखा त्वरण को प्रक्षेपवक्र के विचारित बिंदु पर स्पर्शरेखा रूप से निर्देशित किया जाता है, यह हमेशा सामान्य घटक के लंबवत होता है।
स्पर्शरेखा त्वरण और कुल त्वरण मापांक
उपरोक्त सभी जानकारी प्रस्तुत की गई थी जो आपको स्पर्शरेखा और सामान्य के माध्यम से कुल त्वरण की गणना करने की अनुमति देती है। वास्तव में, चूंकि दोनों घटक परस्पर लंबवत हैं, उनके सदिश एक समकोण त्रिभुज के पैर बनाते हैं,जिसका कर्ण कुल त्वरण सदिश है। यह तथ्य हमें निम्नलिखित रूप में कुल त्वरण मॉड्यूल के लिए सूत्र लिखने की अनुमति देता है:
a=√(a2 + at2)
पूर्ण त्वरण और स्पर्शरेखा त्वरण के बीच के कोण θ को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:
θ=arccos(at/a)
टेंगेंशियल त्वरण जितना अधिक होगा, स्पर्शरेखा और पूर्ण त्वरण की दिशाएं उतनी ही करीब होंगी।
स्पर्शरेखा और कोणीय त्वरण के बीच संबंध
एक विशिष्ट घुमावदार प्रक्षेपवक्र जिसके साथ शरीर प्रौद्योगिकी और प्रकृति में चलते हैं, एक चक्र है। वास्तव में, गियर, ब्लेड और ग्रहों की अपनी धुरी के चारों ओर या उनके प्रकाशमान के चारों ओर गति ठीक एक वृत्त में होती है। इस प्रक्षेपवक्र के अनुरूप गति को घूर्णन कहते हैं।
घूर्णन की कीनेमेटीक्स को एक सीधी रेखा के साथ गति के गतिकी के समान मूल्यों की विशेषता है, हालांकि, उनके पास एक कोणीय चरित्र है। तो, रोटेशन का वर्णन करने के लिए, रोटेशन के केंद्रीय कोण, कोणीय वेग ω और त्वरण α का उपयोग किया जाता है। इन मात्राओं के लिए निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:
ω=डीθ/डीटी;
α=डीω/डीटी
मान लें कि पिंड ने समय t में रोटेशन की धुरी के चारों ओर एक चक्कर लगाया है, तो कोणीय वेग के लिए हम लिख सकते हैं:
ω=2पीआई/टी
इस मामले में रैखिक गति के बराबर होगी:
वी=2पीआईआर/टी
जहां r प्रक्षेपवक्र की त्रिज्या है। अंतिम दो भाव हमें लिखने की अनुमति देते हैंदो गतियों को जोड़ने का सूत्र:
वी=आर
अब हम समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों के समय व्युत्पन्न की गणना करते हैं, हमें मिलता है:
डीवी/डीटी=आरडीω/डीटी
समानता का दाहिना भाग कोणीय त्वरण और वृत्त की त्रिज्या का गुणनफल है। समीकरण का बायां पक्ष वेग मापांक में परिवर्तन है, जो कि स्पर्शरेखा त्वरण है।
इस प्रकार, स्पर्शरेखा त्वरण और समान कोणीय मान समानता से संबंधित हैं:
एटी=αr
यदि हम यह मान लें कि डिस्क घूम रही है, तो α के स्थिर मान पर एक बिंदु का स्पर्शरेखा त्वरण इस बिंदु से घूर्णन अक्ष r तक बढ़ती दूरी के साथ रैखिक रूप से बढ़ेगा।
अगला, हम उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके दो समस्याओं का समाधान करेंगे।
ज्ञात वेग फलन से स्पर्शरेखा त्वरण का निर्धारण
यह ज्ञात है कि एक निश्चित घुमावदार प्रक्षेपवक्र के साथ चलने वाले शरीर की गति समय के निम्नलिखित कार्य द्वारा वर्णित है:
v=2t2+ 3t + 5
स्पर्शरेखा त्वरण के सूत्र को निर्धारित करना और समय t=5 सेकंड पर इसका मान ज्ञात करना आवश्यक है।
सबसे पहले, आइए स्पर्शरेखा त्वरण मॉड्यूल के लिए सूत्र लिखें:
एटी=डीवी/डीटी
अर्थात, फ़ंक्शन at(t) की गणना करने के लिए, आपको समय के संबंध में गति के व्युत्पन्न का निर्धारण करना चाहिए। हमारे पास है:
at=d(2t2+ 3t + 5)/dt=4t + 3
परिणामी व्यंजक में समय t=5 सेकंड को प्रतिस्थापित करते हुए, हम उत्तर पर पहुंचते हैं: at=23 m/s2।
ध्यान दें कि इस समस्या में वेग बनाम समय का ग्राफ एक परवलय है, जबकि स्पर्शरेखा त्वरण का ग्राफ एक सीधी रेखा है।
स्पर्शरेखा त्वरण कार्य
यह ज्ञात है कि भौतिक बिंदु समय के शून्य क्षण से समान रूप से त्वरित रोटेशन शुरू हुआ। घूर्णन शुरू होने के 10 सेकंड बाद, इसका अभिकेंद्र त्वरण 20 m/s2 के बराबर हो गया। 10 सेकंड के बाद एक बिंदु के स्पर्शरेखा त्वरण को निर्धारित करना आवश्यक है, यदि यह ज्ञात हो कि घूर्णन की त्रिज्या 1 मीटर है।
सबसे पहले, अभिकेंद्रीय या सामान्य त्वरण के लिए सूत्र लिखिए c:
एसी=वी2/आर
रैखिक और कोणीय गति के बीच संबंध के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
एसी=ω2आर
समान रूप से त्वरित गति में, गति और कोणीय त्वरण सूत्र द्वारा संबंधित हैं:
ω=αt
c के समीकरण में को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
ac=α2t2r
स्पर्शरेखा त्वरण के माध्यम से रैखिक त्वरण निम्नानुसार व्यक्त किया जाता है:
α=एटी/आर
अंतिम समानता को अंतिम समानता में बदलें, हमें मिलता है:
एसी=एटी2/आर2 t2r=at2/rt2=>
एटी=√(एसीआर)/टी
समस्या की स्थिति से डेटा को ध्यान में रखते हुए अंतिम सूत्र, उत्तर की ओर जाता है: at=0, 447एम/एस2.
