असमानताओं की व्यवस्था ही समाधान है। रैखिक असमानताओं की प्रणाली

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

असमानता और असमानताओं की व्यवस्था हाई स्कूल बीजगणित में पढ़ाए जाने वाले विषयों में से एक है। कठिनाई के संदर्भ में, यह सबसे कठिन नहीं है, क्योंकि इसके सरल नियम हैं (उनके बारे में थोड़ी देर बाद)। एक नियम के रूप में, स्कूली बच्चे असमानताओं की प्रणालियों का समाधान काफी आसानी से सीखते हैं। यह इस तथ्य के कारण भी है कि शिक्षक इस विषय पर अपने छात्रों को केवल "प्रशिक्षित" करते हैं। और वे ऐसा नहीं कर सकते, क्योंकि भविष्य में इसका अध्ययन अन्य गणितीय मात्राओं के उपयोग से किया जाता है, और OGE और यूनिफाइड स्टेट परीक्षा के लिए भी जाँच की जाती है। स्कूली पाठ्यपुस्तकों में असमानताओं और असमानताओं की व्यवस्था के विषय को बहुत विस्तार से शामिल किया गया है, इसलिए यदि आप इसका अध्ययन करने जा रहे हैं, तो उनका सहारा लेना सबसे अच्छा है। यह लेख बहुत सारी सामग्री का केवल एक संक्षिप्त विवरण है और इसमें कुछ चूक हो सकती है।

असमानताओं की व्यवस्था की अवधारणा

यदि हम वैज्ञानिक भाषा की ओर मुड़ें, तो हम "प्रणाली" की अवधारणा को परिभाषित कर सकते हैंअसमानताएँ"। यह एक ऐसा गणितीय मॉडल है जो कई असमानताओं का प्रतिनिधित्व करता है। बेशक, इस मॉडल को एक समाधान की आवश्यकता है, और यह कार्य में प्रस्तावित प्रणाली की सभी असमानताओं के लिए सामान्य उत्तर होगा (आमतौर पर इसे इस तरह लिखा जाता है, के लिए उदाहरण: "असमानताओं की प्रणाली को हल करें 4 x + 1 > 2 और 30 - x > 6… ")।

असमानताओं के सिस्टम और समीकरणों के सिस्टम

नया विषय सीखने की प्रक्रिया में अक्सर गलतफहमियां पैदा हो जाती हैं। एक तरफ, सब कुछ स्पष्ट है और मैं कार्यों को हल करना शुरू कर दूंगा, लेकिन दूसरी तरफ, कुछ क्षण "छाया" में रहते हैं, उन्हें अच्छी तरह से समझा नहीं जाता है। साथ ही, पहले से अर्जित ज्ञान के कुछ तत्वों को नए के साथ जोड़ा जा सकता है। इस ओवरलैप के परिणामस्वरूप अक्सर गलतियाँ होती हैं।

इसलिए, हमारे विषय के विश्लेषण के लिए आगे बढ़ने से पहले, हमें समीकरणों और असमानताओं, उनकी प्रणालियों के बीच के अंतरों को याद करना चाहिए। ऐसा करने के लिए, एक बार फिर यह स्पष्ट करना आवश्यक है कि ये गणितीय अवधारणाएँ क्या हैं। एक समीकरण हमेशा एक समानता होती है, और यह हमेशा किसी चीज़ के बराबर होती है (गणित में, इस शब्द को "=" चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है)। असमानता एक ऐसा मॉडल है जिसमें एक मान दूसरे से अधिक या कम होता है, या यह दावा करता है कि वे समान नहीं हैं। इस प्रकार, पहले मामले में, समानता की बात करना उचित है, और दूसरे में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कितना स्पष्ट है।नाम ही, प्रारंभिक डेटा की असमानता के बारे में। समीकरणों और असमानताओं की प्रणाली व्यावहारिक रूप से एक दूसरे से भिन्न नहीं होती है और उनके समाधान के तरीके समान होते हैं। अंतर केवल इतना है कि पूर्व समानता का उपयोग करता है जबकि बाद वाला असमानताओं का उपयोग करता है।

असमानताओं के प्रकार

असमानता दो प्रकार की होती है: संख्यात्मक और अज्ञात चर के साथ। पहला प्रकार प्रदान किया जाता है मान (संख्याएं) जो एक दूसरे के बराबर नहीं हैं, उदाहरण के लिए, 8 > 10. दूसरा प्रकार असमानताएं हैं जिनमें एक अज्ञात चर होता है (लैटिन वर्णमाला के कुछ अक्षर द्वारा इंगित किया जाता है, अक्सर एक्स)। इस चर को खोजने की जरूरत है। कितने हैं, इस पर निर्भर करते हुए, गणितीय मॉडल एक के साथ असमानताओं के बीच अंतर करता है (वे एक चर के साथ असमानताओं की एक प्रणाली बनाते हैं) या कई चर (वे कई चर के साथ असमानताओं की एक प्रणाली बनाते हैं)।

अंतिम दो प्रकार, उनके निर्माण की डिग्री और समाधान की जटिलता के स्तर के अनुसार, सरल और जटिल में विभाजित हैं। सरल को रैखिक असमानताएँ भी कहा जाता है। बदले में, वे सख्त और गैर-सख्त में विभाजित हैं। कड़ाई से विशेष रूप से "कहना" कि एक मान या तो कम या अधिक होना चाहिए, इसलिए यह शुद्ध असमानता है। कई उदाहरण हैं: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5, आदि। गैर-सख्त लोगों में समानता भी शामिल है। अर्थात्, एक मान दूसरे मान से अधिक या उसके बराबर हो सकता है (चिह्न "≧") या किसी अन्य मान से कम या बराबर (चिह्न "≦")। अभी भी लाइन मेंअसमानताओं में, चर मूल, वर्ग पर खड़ा नहीं होता है, किसी भी चीज़ से विभाज्य नहीं होता है, इसलिए उन्हें "सरल" कहा जाता है। जटिल लोगों में अज्ञात चर शामिल होते हैं, जिनकी खोज के लिए अधिक गणितीय संचालन की आवश्यकता होती है। वे अक्सर एक वर्ग, घन या जड़ के नीचे होते हैं, वे मॉड्यूलर, लॉगरिदमिक, भिन्नात्मक आदि हो सकते हैं। लेकिन चूंकि हमारा काम असमानताओं की प्रणालियों के समाधान को समझना है, हम रैखिक असमानताओं की एक प्रणाली के बारे में बात करेंगे। हालाँकि, उससे पहले, उनके गुणों के बारे में कुछ शब्द कहे जाने चाहिए।

असमानताओं के गुण

असमानताओं के गुणों में निम्नलिखित प्रावधान शामिल हैं:

1. यदि पक्षों के अनुक्रम को बदलने के लिए ऑपरेशन लागू किया जाता है, तो असमानता चिन्ह उलट जाता है (उदाहरण के लिए, यदि t₁ ≦ t₂, फिर टी ₂ ≧ टी₁)।
2. असमानता के दोनों भाग आपको अपने आप में समान संख्या जोड़ने की अनुमति देते हैं (उदाहरण के लिए, यदि t₁ ≦ t₂, फिर टी ₁ + संख्या ≦ टी₂ + संख्या)।
3. एक ही दिशा के चिन्ह के साथ दो या अधिक असमानताएँ आपको उनके बाएँ और दाएँ भागों को जोड़ने की अनुमति देती हैं (उदाहरण के लिए, यदि t₁ ≧ t₂ , टी₃ टी₄, फिर टी₁ + टी 3टी₂ + टी₄).
4. असमानता के दोनों भाग स्वयं को एक ही धनात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करने की अनुमति देते हैं (उदाहरण के लिए, यदि t₁ t_{2और नंबर 0, फिर नंबर t}1 _{≧ नंबर t}2_)।
5. दो या दो से अधिक असमानताएं जिनके सकारात्मक पद हैं और एक ही दिशा का संकेत हैएक दूसरे को गुणा करें (उदाहरण के लिए, यदि t₁ t₂, t₃ ≦ t 4_{, टी}1_{, टी}2_{, टी}3_{, टी} 4 _{0 फिर टी}1 _टी3 _टी2टी₄).
6. असमानता के दोनों भाग खुद को एक ही ऋणात्मक संख्या से गुणा या विभाजित करने की अनुमति देते हैं, लेकिन असमानता का चिन्ह बदल जाता है (उदाहरण के लिए, यदि t₁ ≦ t2 _{और नंबर 0, फिर नंबर t}1 _{≧ नंबर t}2_)।
7. सभी असमानताएं सकर्मक हैं (उदाहरण के लिए, यदि t₁ t₂ और t_{2≦ टी}3_{, फिर टी}1 _टी3_)।

अब, असमानताओं से संबंधित सिद्धांत के मुख्य प्रावधानों का अध्ययन करने के बाद, हम सीधे उनके सिस्टम को हल करने के नियमों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ सकते हैं।

असमानताओं की व्यवस्था का समाधान। सामान्य जानकारी। समाधान

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, समाधान चर के मान हैं जो दिए गए सिस्टम की सभी असमानताओं को फिट करते हैं। असमानताओं की प्रणालियों का समाधान गणितीय संक्रियाओं का कार्यान्वयन है जो अंततः संपूर्ण प्रणाली के समाधान की ओर ले जाता है या यह साबित करता है कि इसका कोई समाधान नहीं है। इस मामले में, वेरिएबल को रिक्त संख्या सेट को संदर्भित करने के लिए कहा जाता है (इस प्रकार लिखा गया है: वेरिएबल (चिह्न "संबंधित") (चिह्न "खाली सेट"), उदाहरण के लिए, x (इसे इस तरह पढ़ा जाता है: "चर" x "खाली सेट से संबंधित है")। असमानताओं की प्रणालियों को हल करने के कई तरीके हैं:ग्राफिकल, बीजीय, प्रतिस्थापन विधि। यह ध्यान देने योग्य है कि वे उन गणितीय मॉडलों को संदर्भित करते हैं जिनमें कई अज्ञात चर होते हैं। उस स्थिति में जहां केवल एक ही है, रिक्ति विधि काम करेगी।

ग्राफिक विधि

आपको कई अज्ञात (दो या अधिक से) के साथ असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने की अनुमति देता है। इस पद्धति के लिए धन्यवाद, रैखिक असमानताओं की प्रणाली काफी आसानी से और जल्दी से हल हो जाती है, इसलिए यह सबसे आम तरीका है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्लॉटिंग से गणितीय संक्रियाओं को लिखने की मात्रा कम हो जाती है। यह विशेष रूप से सुखद हो जाता है कि कलम से थोड़ा ब्रेक लें, एक शासक के साथ एक पेंसिल उठाएं और उनकी मदद से आगे की कार्रवाई के लिए आगे बढ़ें जब बहुत काम किया गया हो और आप थोड़ी विविधता चाहते हैं। हालांकि, कुछ इस विधि को पसंद नहीं करते हैं क्योंकि आपको कार्य से अलग होना पड़ता है और अपनी मानसिक गतिविधि को ड्राइंग में बदलना पड़ता है। हालाँकि, यह एक बहुत ही प्रभावी तरीका है।

एक ग्राफिकल पद्धति का उपयोग करके असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने के लिए, प्रत्येक असमानता के सभी सदस्यों को उनके बाईं ओर स्थानांतरित करना आवश्यक है। चिन्हों को उलट दिया जाएगा, दाईं ओर शून्य लिखा जाना चाहिए, फिर प्रत्येक असमानता को अलग से लिखा जाना चाहिए। परिणामस्वरूप, असमानताओं से कार्य प्राप्त होंगे। उसके बाद, आप एक पेंसिल और एक शासक प्राप्त कर सकते हैं: अब आपको प्राप्त प्रत्येक फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाने की आवश्यकता है। संख्याओं का पूरा सेट जो उनके प्रतिच्छेदन के अंतराल में होगा, असमानताओं की प्रणाली का समाधान होगा।

बीजगणितीय तरीका

आपको दो अज्ञात चर के साथ असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने की अनुमति देता है। असमानताओं में भी समान असमानता चिह्न होना चाहिए (अर्थात, उनमें या तो केवल "से बड़ा" चिह्न होना चाहिए, या केवल "से कम" चिह्न, आदि।) इसकी सीमाओं के बावजूद, यह विधि अधिक जटिल भी है। इसे दो चरणों में लागू किया जाता है।

पहले वाले में एक अज्ञात चर से छुटकारा पाना शामिल है। पहले आपको इसे चुनने की जरूरत है, फिर इस चर के सामने संख्याओं की उपस्थिति की जांच करें। यदि कोई नहीं है (तब चर एक अक्षर की तरह दिखेगा), तो हम कुछ भी नहीं बदलते हैं, यदि वहाँ है (चर का प्रकार होगा, उदाहरण के लिए, 5y या 12y), तो यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि प्रत्येक असमानता में चयनित चर के सामने की संख्या समान होती है। ऐसा करने के लिए, आपको असमानताओं के प्रत्येक सदस्य को एक सामान्य कारक से गुणा करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, यदि पहली असमानता में 3y लिखा है, और दूसरी में 5y है, तो आपको पहली असमानता के सभी सदस्यों को 5 से गुणा करना होगा।, और दूसरा 3 से। आपको क्रमशः 15y और 15y मिलता है।

निर्णय का दूसरा चरण। प्रत्येक विषमता के बाएँ पक्ष को उनके दाएँ पक्ष में स्थानांतरित करना आवश्यक है, प्रत्येक पद के चिह्न को विपरीत में परिवर्तन के साथ, दाईं ओर शून्य लिखें। फिर मजेदार हिस्सा आता है: असमानताओं को जोड़ते हुए चुने हुए चर (अन्यथा "कमी" के रूप में जाना जाता है) से छुटकारा पाना। आपको एक चर के साथ असमानता मिलेगी जिसे हल करने की आवश्यकता है। उसके बाद, आपको वही करना चाहिए, केवल किसी अन्य अज्ञात चर के साथ। प्राप्त परिणाम प्रणाली का समाधान होगा।

प्रतिस्थापन विधि

जब आपके पास एक नया चर पेश करने का अवसर होता है तो आप असमानताओं की एक प्रणाली को हल करने की अनुमति देते हैं। आमतौर पर इस पद्धति का उपयोग तब किया जाता है जब असमानता के एक पद में अज्ञात चर को चौथी शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है, और दूसरे पद में इसे चुकता कर दिया जाता है। इस प्रकार, इस पद्धति का उद्देश्य प्रणाली में असमानताओं की डिग्री को कम करना है। नमूना असमानता x⁴ - x² - 1 ≦ 0 इस प्रकार हल किया जाता है। एक नया चर पेश किया गया है, उदाहरण के लिए t. वे लिखते हैं: "चलो t=x²", फिर मॉडल को एक नए रूप में फिर से लिखा जाता है। हमारे मामले में, हमें t² - t - 1 ≦0 मिलता है। इस असमानता को अंतराल विधि (इसके बारे में थोड़ी देर बाद) द्वारा हल करने की आवश्यकता है, फिर चर X पर वापस लौटें, फिर दूसरी असमानता के साथ भी ऐसा ही करें। प्राप्त उत्तर प्रणाली का निर्णय होगा।

अंतराल विधि

यह असमानताओं की व्यवस्था को हल करने का सबसे आसान तरीका है, और साथ ही यह सार्वभौमिक और व्यापक है। इसका उपयोग हाई स्कूल और यहां तक कि हाई स्कूल में भी किया जाता है। इसका सार इस तथ्य में निहित है कि छात्र संख्या रेखा पर असमानता के अंतराल की तलाश कर रहा है, जो एक नोटबुक में खींची गई है (यह एक ग्राफ नहीं है, बल्कि संख्याओं के साथ एक साधारण सीधी रेखा है)। जहाँ असमानताओं के अंतराल प्रतिच्छेद करते हैं, वहाँ व्यवस्था का समाधान पाया जाता है। रिक्ति विधि का उपयोग करने के लिए, इन चरणों का पालन करें:

1. प्रत्येक असमानता के सभी सदस्यों को बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाता है, इसके विपरीत चिह्न को बदल दिया जाता है (दाईं ओर शून्य लिखा होता है)।
2. असमानताओं को अलग-अलग लिखा जाता है, उनमें से प्रत्येक का समाधान निर्धारित किया जाता है।
3. संख्यात्मक पर असमानताओं का चौराहासीधा। इन चौराहों पर सभी नंबर हल होंगे।

किस तरीके से इस्तेमाल करें?

जाहिर है कि सबसे आसान और सबसे सुविधाजनक लगता है, लेकिन कई बार कार्यों के लिए एक निश्चित विधि की आवश्यकता होती है। अक्सर, वे कहते हैं कि आपको या तो ग्राफ का उपयोग करके या अंतराल विधि का उपयोग करके हल करने की आवश्यकता है। बीजगणितीय विधि और प्रतिस्थापन का उपयोग बहुत कम या बिल्कुल नहीं किया जाता है, क्योंकि वे काफी जटिल और भ्रमित करने वाले होते हैं, और इसके अलावा, वे असमानताओं के बजाय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए अधिक उपयोग किए जाते हैं, इसलिए आपको रेखांकन और अंतराल का सहारा लेना चाहिए। वे दृश्यता लाते हैं, जो गणितीय कार्यों के कुशल और तेज संचालन में योगदान नहीं कर सकता है।

अगर कुछ काम नहीं करता है

बीजगणित में किसी विशेष विषय के अध्ययन के दौरान निश्चित रूप से उसकी समझ में समस्या आ सकती है। और यह सामान्य है, क्योंकि हमारे मस्तिष्क को इस तरह से डिजाइन किया गया है कि वह एक बार में जटिल सामग्री को समझने में सक्षम नहीं है। अक्सर आपको एक पैराग्राफ को फिर से पढ़ने, एक शिक्षक की मदद लेने या सामान्य समस्याओं को हल करने का अभ्यास करने की आवश्यकता होती है। हमारे मामले में, उदाहरण के लिए, वे इस तरह दिखते हैं: "असमानताओं की प्रणाली को हल करें 3 x + 1 0 और 2 x - 1 > 3"। इस प्रकार, व्यक्तिगत प्रयास, बाहरी लोगों की मदद और अभ्यास किसी भी जटिल विषय को समझने में मदद करते हैं।

रेशेबनिक?

और समाधान पुस्तिका भी बहुत अच्छी है, लेकिन गृहकार्य में धोखा देने के लिए नहीं, बल्कि स्वयं सहायता के लिए। उनमें आप समाधान के साथ असमानताओं की प्रणाली पा सकते हैं, देखेंउन्हें (टेम्पलेट्स की तरह), यह समझने की कोशिश करें कि समाधान के लेखक ने कार्य का सामना कैसे किया, और फिर इसे स्वयं करने का प्रयास करें।

निष्कर्ष

बीजगणित स्कूल में सबसे कठिन विषयों में से एक है। अच्छा, तुम क्या कर सकते हो? गणित हमेशा से ऐसा ही रहा है: कुछ के लिए यह आसानी से आता है, और दूसरों के लिए यह मुश्किल है। लेकिन किसी भी मामले में, यह याद रखना चाहिए कि सामान्य शिक्षा कार्यक्रम इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि कोई भी छात्र इसका सामना कर सके। इसके अलावा, आपको बड़ी संख्या में सहायकों को ध्यान में रखना होगा। उनमें से कुछ का उल्लेख ऊपर किया गया है।