पहले कोटि के रैखिक और समांगी अवकल समीकरण। समाधान उदाहरण

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

मुझे लगता है कि हमें डिफरेंशियल इक्वेशन जैसे शानदार गणितीय उपकरण के इतिहास से शुरुआत करनी चाहिए। सभी डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस की तरह, इन समीकरणों का आविष्कार न्यूटन ने 17 वीं शताब्दी के अंत में किया था। उन्होंने अपनी इस खोज को इतना महत्वपूर्ण माना कि उन्होंने संदेश को भी एन्क्रिप्ट कर दिया, जिसका आज कुछ इस तरह अनुवाद किया जा सकता है: "प्रकृति के सभी नियमों को अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित किया गया है।" यह एक अतिशयोक्ति की तरह लग सकता है, लेकिन यह सच है। इन समीकरणों द्वारा भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान के किसी भी नियम का वर्णन किया जा सकता है।

गणितज्ञ यूलर और लैग्रेंज ने अवकल समीकरणों के सिद्धांत के विकास और निर्माण में बहुत बड़ा योगदान दिया। पहले से ही 18वीं शताब्दी में, उन्होंने विश्वविद्यालयों के वरिष्ठ पाठ्यक्रमों में जो अध्ययन कर रहे हैं, उसे खोजा और विकसित किया।

डिफरेंशियल इक्वेशन के अध्ययन में एक नया मील का पत्थर हेनरी पॉइनकेयर की बदौलत शुरू हुआ। उन्होंने "अंतर समीकरणों का गुणात्मक सिद्धांत" बनाया, जिसने एक जटिल चर के कार्यों के सिद्धांत के संयोजन में, टोपोलॉजी की नींव में महत्वपूर्ण योगदान दिया - अंतरिक्ष का विज्ञान और इसकागुण।

डिफरेंशियल इक्वेशन क्या होते हैं?

कई लोग एक मुहावरे "डिफरेंशियल इक्वेशन" से डरते हैं। हालाँकि, इस लेख में हम इस बहुत उपयोगी गणितीय उपकरण के संपूर्ण सार का विस्तार करेंगे, जो वास्तव में उतना जटिल नहीं है जितना कि नाम से लगता है। प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों के बारे में बात करना शुरू करने के लिए, आपको पहले उन मूल अवधारणाओं से परिचित होना चाहिए जो स्वाभाविक रूप से इस परिभाषा से संबंधित हैं। और हम अंतर से शुरू करेंगे।

डिफरेंशियल

कई लोग इस अवधारणा को स्कूल से जानते हैं। हालांकि, आइए इसे करीब से देखें। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ की कल्पना करें। हम इसे इस हद तक बढ़ा सकते हैं कि इसका कोई भी खंड एक सीधी रेखा का रूप ले ले। उस पर हम दो बिंदु लेते हैं जो एक दूसरे के असीम रूप से करीब हैं। उनके निर्देशांक (x या y) के बीच का अंतर एक अपरिमित मान होगा। इसे डिफरेंशियल कहा जाता है और इसे dy (y से डिफरेंशियल) और dx (x से डिफरेंशियल) द्वारा दर्शाया जाता है। यह समझना बहुत महत्वपूर्ण है कि अंतर एक सीमित मूल्य नहीं है, और यही इसका अर्थ और मुख्य कार्य है।

और अब हमें अगले तत्व पर विचार करने की आवश्यकता है, जो एक अंतर समीकरण की अवधारणा को समझाने में हमारे लिए उपयोगी होगा। यह व्युत्पन्न है।

डेरिवेटिव

हम सभी ने शायद स्कूल में और इस कॉन्सेप्ट को सुना होगा। व्युत्पन्न को किसी फ़ंक्शन की वृद्धि या कमी की दर कहा जाता है। हालाँकि, इस परिभाषा सेबहुत कुछ अस्पष्ट हो जाता है। आइए अवकलज को अवकलनों के रूप में समझाने का प्रयास करें। आइए एक फ़ंक्शन के एक अतिसूक्ष्म खंड पर दो बिंदुओं के साथ वापस जाएं जो एक दूसरे से न्यूनतम दूरी पर हैं। लेकिन इस दूरी के लिए भी, फ़ंक्शन कुछ मात्रा में बदलने का प्रबंधन करता है। और इस परिवर्तन का वर्णन करने के लिए, वे एक व्युत्पन्न के साथ आए, जिसे अन्यथा अंतर के अनुपात के रूप में लिखा जा सकता है: f(x)'=df/dx.

अब यह व्युत्पत्ति के मूल गुणों पर विचार करने योग्य है। उनमें से केवल तीन हैं:

1. योग या अंतर के व्युत्पन्न को डेरिवेटिव के योग या अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है: (a+b)'=a'+b' और (a-b)'=a'-b'।
2. दूसरा गुण गुणन से संबंधित है। किसी उत्पाद का व्युत्पन्न एक फ़ंक्शन के उत्पादों का योग और दूसरे का व्युत्पन्न होता है: (ab)'=a'b+ab'.
3. अंतर के व्युत्पन्न को निम्नलिखित समानता के रूप में लिखा जा सकता है: (a/b)'=(a'b-ab')/b².

ये सभी गुण प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों के समाधान खोजने के लिए उपयोगी होंगे।

आंशिक डेरिवेटिव भी होते हैं। मान लीजिए कि हमारे पास एक फ़ंक्शन z है जो चर x और y पर निर्भर करता है। इस फलन के आंशिक अवकलज की गणना करने के लिए, मान लीजिए, x के संबंध में, हमें चर y को एक स्थिरांक के रूप में लेना होगा और सरलता से अंतर करना होगा।

अभिन्न

एक और महत्वपूर्ण अवधारणा अभिन्न है। वास्तव में, यह व्युत्पन्न के प्रत्यक्ष विपरीत है। समाकल कई प्रकार के होते हैं, लेकिन सरलतम अवकल समीकरणों को हल करने के लिए हमें सबसे तुच्छ अनिश्चित समाकलों की आवश्यकता होती है।

तो एक अभिन्न क्या है? मान लें कि हमारे पास कुछ निर्भरता है fएक्स से। हम इससे समाकलन लेते हैं और फलन F (x) (जिसे अक्सर प्रतिअवकलन कहते हैं) प्राप्त करते हैं, जिसका अवकलज मूल फलन के बराबर होता है। इस प्रकार F(x)'=f(x)। इससे यह भी पता चलता है कि अवकलज का समाकल मूल फलन के बराबर होता है।

डिफरेंशियल इक्वेशन को हल करते समय, इंटीग्रल के अर्थ और कार्य को समझना बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि आपको हल खोजने के लिए उन्हें बहुत बार लेना होगा।

समीकरण उनकी प्रकृति के आधार पर भिन्न होते हैं। अगले भाग में, हम प्रथम-क्रम अवकल समीकरणों के प्रकारों पर विचार करेंगे, और फिर उन्हें हल करना सीखेंगे।

विभेदक समीकरणों के वर्ग

"डिफ्यूरी" को उनमें शामिल डेरिवेटिव के क्रम के अनुसार विभाजित किया गया है। इस प्रकार, पहला, दूसरा, तीसरा और अधिक क्रम है। उन्हें कई वर्गों में भी विभाजित किया जा सकता है: साधारण और आंशिक व्युत्पन्न।

इस लेख में हम प्रथम कोटि के साधारण अवकल समीकरणों पर विचार करेंगे। हम निम्नलिखित अनुभागों में उदाहरणों और उन्हें हल करने के तरीकों पर भी चर्चा करेंगे। हम केवल ODE पर विचार करेंगे, क्योंकि ये सबसे सामान्य प्रकार के समीकरण हैं। साधारण को उप-प्रजातियों में विभाजित किया जाता है: वियोज्य चर, सजातीय और विषम के साथ। इसके बाद, आप सीखेंगे कि वे एक दूसरे से कैसे भिन्न हैं, और उन्हें हल करना सीखेंगे।

इसके अलावा, इन समीकरणों को जोड़ा जा सकता है, ताकि बाद में हमें पहले क्रम के अंतर समीकरणों की एक प्रणाली मिल जाए। हम ऐसी प्रणालियों पर भी विचार करेंगे और उन्हें हल करना सीखेंगे।

हम केवल पहले आदेश पर ही विचार क्यों कर रहे हैं? क्योंकि आपको एक साधारण से शुरू करने की जरूरत है, और अंतर से संबंधित हर चीज का वर्णन करना होगासमीकरण, एक लेख में असंभव है।

वियोज्य चर समीकरण

ये शायद सबसे सरल प्रथम-क्रम अंतर समीकरण हैं। इनमें ऐसे उदाहरण शामिल हैं जिन्हें इस तरह लिखा जा सकता है: y'=f(x)f(y). इस समीकरण को हल करने के लिए, हमें अवकलज को अंतरों के अनुपात के रूप में निरूपित करने के लिए एक सूत्र की आवश्यकता है: y'=dy/dx। इसका प्रयोग करते हुए, हम निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करते हैं: dy/dx=f(x)f(y)। अब हम मानक उदाहरणों को हल करने की विधि की ओर मुड़ सकते हैं: हम चर को भागों में विभाजित करेंगे, अर्थात हम y चर के साथ सब कुछ उस भाग में स्थानांतरित कर देंगे जहाँ dy स्थित है, और हम x चर के साथ भी ऐसा ही करेंगे। हम फॉर्म का एक समीकरण प्राप्त करते हैं: dy/f(y)=f(x)dx, जिसे दोनों भागों के इंटीग्रल लेकर हल किया जाता है। उस स्थिरांक के बारे में मत भूलना जिसे समाकल लेने के बाद सेट किया जाना चाहिए।

किसी भी "अंतर" का समाधान y पर x की निर्भरता का फलन है (हमारे मामले में) या, यदि कोई संख्यात्मक स्थिति है, तो उत्तर एक संख्या के रूप में है। आइए एक विशिष्ट उदाहरण का उपयोग करके समाधान के पूरे पाठ्यक्रम का विश्लेषण करें:

y'=2yपाप(x)

चर को अलग-अलग दिशाओं में ले जाएं:

dy/y=2sin(x)dx

अब हम इंटीग्रल लेते हैं। उन सभी को इंटीग्रल की एक विशेष तालिका में पाया जा सकता है। और हमें मिलता है:

ln(y)=-2cos(x) + C

यदि आवश्यक हो, तो हम "y" को "x" के एक फंक्शन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं। अब हम कह सकते हैं कि यदि कोई शर्त न दी गई हो तो हमारा अवकल समीकरण हल हो जाता है। एक शर्त दी जा सकती है, उदाहरण के लिए, y(n/2)=e. फिर हम केवल इन चरों के मान को समाधान में प्रतिस्थापित करते हैं औरस्थिरांक का मान ज्ञात कीजिए। हमारे उदाहरण में, यह 1 के बराबर है।

प्रथम-क्रम सजातीय अंतर समीकरण

अब अधिक कठिन भाग पर। प्रथम कोटि के समांगी अवकल समीकरणों को सामान्य रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: y'=z(x, y)। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि दो चर का सही कार्य सजातीय है, और इसे दो निर्भरताओं में विभाजित नहीं किया जा सकता है: x पर z और y पर z। यह जाँचना कि समीकरण सजातीय है या नहीं, काफी सरल है: हम प्रतिस्थापन x=kx और y=ky करते हैं। अब हम सभी k को रद्द करते हैं। यदि इन सभी अक्षरों को कम कर दिया जाता है, तो समीकरण सजातीय है और आप इसे हल करने के लिए सुरक्षित रूप से आगे बढ़ सकते हैं। आगे देखते हुए, आइए बताते हैं: इन उदाहरणों को हल करने का सिद्धांत भी बहुत सरल है।

हमें एक प्रतिस्थापन करने की आवश्यकता है: y=t(x)x, जहां t कुछ फ़ंक्शन है जो x पर भी निर्भर करता है। तब हम अवकलज को व्यक्त कर सकते हैं: y'=t'(x)x+t. इन सभी को हमारे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने और इसे सरल बनाने के लिए, हमें वियोज्य चर t और x के साथ एक उदाहरण मिलता है। हम इसे हल करते हैं और निर्भरता t(x) प्राप्त करते हैं। जब हम इसे प्राप्त कर लेते हैं, तो हम बस y=t(x)x को हमारे पिछले प्रतिस्थापन में प्रतिस्थापित करते हैं। तब हमें y की x पर निर्भरता प्राप्त होती है।

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए एक उदाहरण देखें: xy'=y-xe^y/x।

प्रतिस्थापन के साथ जाँच करते समय, सब कुछ कम हो जाता है। तो समीकरण वास्तव में सजातीय है। अब हम एक और प्रतिस्थापन करते हैं जिसके बारे में हमने बात की: y=t(x)x और y'=t'(x)x+t(x)। सरलीकरण के बाद, हम निम्नलिखित समीकरण प्राप्त करते हैं: t'(x)x=-e^t। हम परिणामी उदाहरण को अलग किए गए चरों के साथ हल करते हैं और प्राप्त करते हैं: e^-t=ln(Cx)। हमें केवल t को y/x से बदलने की आवश्यकता है (आखिरकार, यदि y=tx, तो t=y/x), और हम प्राप्त करते हैंउत्तर: e^-y/x=ln(xC).

प्रथम क्रम रैखिक विभेदक समीकरण

एक और बड़े विषय का समय है। हम प्रथम कोटि के अमानवीय अवकल समीकरणों का विश्लेषण करेंगे। वे पिछले दो से कैसे भिन्न हैं? आइए इसका पता लगाते हैं। पहले क्रम के रैखिक अवकल समीकरणों को सामान्य रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: y' + g(x)y=z(x)। यह स्पष्ट करने योग्य है कि z(x) और g(x) स्थिरांक हो सकते हैं।

और अब एक उदाहरण: y' - yx=x².

इसे हल करने के दो तरीके हैं, और हम दोनों को क्रम से निपटाएंगे। पहला है स्वेच्छ अचरों के परिवर्तन की विधि।

इस तरह से समीकरण को हल करने के लिए, आपको पहले दाईं ओर को शून्य के बराबर करना होगा और परिणामी समीकरण को हल करना होगा, जो भागों को स्थानांतरित करने के बाद रूप लेगा:

y'=yx;

dy/dx=yx;

dy/y=xdx;

ln|y|=x²/2 + सी;

y=e^x2/2y^C=C₁ई^x2/2.

अब हमें स्थिरांक C₁ को फंक्शन v(x) से बदलना होगा जिसे हमें खोजना है।

y=ve^x2/2.

आइए व्युत्पत्ति बदलें:

y'=v'e^x2/2-xve^x2/2।

और इन भावों को मूल समीकरण में बदलें:

v'e^x2/2 - xve^x2/2 + xve^{x2 /2} =x².

आप देख सकते हैं कि बाईं ओर दो टर्म कैंसिल हैं। अगर किसी उदाहरण में ऐसा नहीं हुआ, तो आपने कुछ गलत किया।जारी रखें:

v'e^x2/2 =x².

अब हम सामान्य समीकरण को हल करते हैं जिसमें हमें चरों को अलग करने की आवश्यकता होती है:

डीवी/डीएक्स=एक्स²/ई^x2/2;

डीवी=एक्स²ई^-x2/2डीएक्स।

इंटीग्रल निकालने के लिए हमें यहां पार्ट बाय इंटीग्रेशन लागू करना होगा। हालाँकि, यह हमारे लेख का विषय नहीं है। यदि आप रुचि रखते हैं, तो आप स्वयं ऐसे कार्यों को करना सीख सकते हैं। यह मुश्किल नहीं है, और पर्याप्त कौशल और ध्यान के साथ ज्यादा समय नहीं लगता है।

आइए अमानवीय समीकरणों को हल करने की दूसरी विधि की ओर मुड़ें: बर्नौली विधि। कौन सा तरीका तेज़ और आसान है, यह आप पर निर्भर है।

इसलिए, इस विधि से समीकरण को हल करते समय, हमें एक प्रतिस्थापन करने की आवश्यकता है: y=kn। यहाँ k और n कुछ x-निर्भर फलन हैं। तब व्युत्पत्ति इस प्रकार दिखाई देगी: y'=k'n+kn'। समीकरण में दोनों प्रतिस्थापनों को प्रतिस्थापित करें:

k'n+kn'+xkn=x².

समूह:

k'n+k(n'+xn)=x².

अब हमें शून्य के बराबर करने की आवश्यकता है जो कोष्ठक में है। अब, यदि आप दो परिणामी समीकरणों को जोड़ते हैं, तो आपको प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है जिसे आपको हल करने की आवश्यकता होती है:

n'+xn=0;

k'n=x².

पहली समानता को सामान्य समीकरण की तरह हल किया जाता है। ऐसा करने के लिए, आपको चरों को अलग करने की आवश्यकता है:

dn/dx=xv;

dn/n=xdx.

इंटीग्रल लें और प्राप्त करें: ln(n)=x²/2. तब, यदि हम n:

व्यक्त करते हैं

n=ई^x2/2.

अब हम परिणामी समानता को सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

k'e^x2/2=x².

और रूपांतरित होने पर हमें पहली विधि की तरह ही समानता मिलती है:

dk=x²/e^x2/2।

हम आगे के चरणों में भी नहीं जाएंगे। यह कहने योग्य है कि पहले क्रम के अंतर समीकरणों को हल करने से महत्वपूर्ण कठिनाइयाँ होती हैं। हालाँकि, जैसे-जैसे आप विषय में गहराई से उतरते हैं, यह बेहतर और बेहतर होने लगता है।

डिफरेंशियल इक्वेशन का इस्तेमाल कहां किया जाता है?

भौतिक विज्ञान में अंतर समीकरणों का बहुत सक्रिय रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि लगभग सभी बुनियादी कानून अंतर रूप में लिखे गए हैं, और जो सूत्र हम देखते हैं वे इन समीकरणों के समाधान हैं। रसायन विज्ञान में, उनका उपयोग उसी कारण से किया जाता है: बुनियादी कानून उनसे प्राप्त होते हैं। जीव विज्ञान में, विभेदक समीकरणों का उपयोग सिस्टम के व्यवहार को मॉडल करने के लिए किया जाता है, जैसे कि शिकारी-शिकार। उनका उपयोग सूक्ष्मजीवों की एक कॉलोनी के प्रजनन मॉडल बनाने के लिए भी किया जा सकता है।

जीवन में अंतर समीकरण कैसे मदद करेंगे?

इस प्रश्न का उत्तर सरल है: बिलकुल नहीं। यदि आप वैज्ञानिक या इंजीनियर नहीं हैं, तो वे आपके लिए उपयोगी होने की संभावना नहीं है। हालांकि, सामान्य विकास के लिए, यह जानने में कोई दिक्कत नहीं है कि अंतर समीकरण क्या है और इसे कैसे हल किया जाता है। और फिर एक बेटे या बेटी का सवाल "डिफरेंशियल इक्वेशन क्या है?" आपको भ्रमित नहीं करेगा। खैर, अगर आप एक वैज्ञानिक या इंजीनियर हैं, तो आप खुद किसी भी विज्ञान में इस विषय के महत्व को समझते हैं। लेकिन सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अब सवाल यह है कि "पहले क्रम के अंतर समीकरण को कैसे हल किया जाए?" आप हमेशा उत्तर दे सकते हैं। सहमत हूँ, यह हमेशा अच्छा होता हैजब आप समझ जाते हैं कि लोग क्या समझने से भी डरते हैं।

सीखने की मुख्य समस्याएं

इस विषय को समझने में मुख्य समस्या कार्यों को एकीकृत और विभेदित करने का खराब कौशल है। यदि आप डेरिवेटिव और इंटीग्रल लेने में खराब हैं, तो आपको शायद अधिक सीखना चाहिए, एकीकरण और भेदभाव के विभिन्न तरीकों में महारत हासिल करनी चाहिए, और उसके बाद ही लेख में वर्णित सामग्री का अध्ययन करना शुरू करें।

कुछ लोगों को आश्चर्य होता है जब उन्हें पता चलता है कि dx को स्थानांतरित किया जा सकता है, क्योंकि पहले (स्कूल में) यह कहा गया था कि भिन्न dy/dx अविभाज्य है। यहां आपको व्युत्पन्न पर साहित्य पढ़ने और यह समझने की आवश्यकता है कि यह अनंत मात्राओं का अनुपात है जिसे समीकरणों को हल करते समय हेरफेर किया जा सकता है।

कई लोगों को तुरंत यह एहसास नहीं होता है कि प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों का समाधान अक्सर एक फ़ंक्शन या एक अभिन्न अंग होता है जिसे नहीं लिया जा सकता है, और यह भ्रम उन्हें बहुत परेशानी देता है।

बेहतर समझ के लिए और क्या अध्ययन किया जा सकता है?

विशेष पाठ्यपुस्तकों के साथ डिफरेंशियल कैलकुलस की दुनिया में और अधिक तल्लीनता शुरू करना सबसे अच्छा है, उदाहरण के लिए, गैर-गणितीय विशिष्टताओं के छात्रों के लिए कलन में। तब आप अधिक विशिष्ट साहित्य की ओर बढ़ सकते हैं।

यह कहा जाना चाहिए कि, अंतर समीकरणों के अलावा, अभिन्न समीकरण भी होते हैं, इसलिए आपके पास हमेशा प्रयास करने के लिए कुछ और अध्ययन करने के लिए कुछ होगा।

निष्कर्ष

हमें उम्मीद है कि पढ़ने के बादइस लेख ने आपको एक विचार दिया कि अंतर समीकरण क्या हैं और उन्हें सही तरीके से कैसे हल किया जाए।

किसी भी हाल में जीवन में गणित किसी न किसी तरह हमारे काम आएगा। यह तर्क और ध्यान विकसित करता है, जिसके बिना हर व्यक्ति बिना हाथों के समान है।