तलों की समांतरता और लंबवतता निर्धारित करने के साथ-साथ इन ज्यामितीय वस्तुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए, एक या दूसरे प्रकार के संख्यात्मक कार्यों का उपयोग करना सुविधाजनक है। किन समस्याओं के लिए खण्डों में समतल समीकरण का उपयोग करना सुविधाजनक है? इस लेख में, हम देखेंगे कि यह क्या है और इसे व्यावहारिक कार्यों में कैसे उपयोग किया जाए।
रेखा खंडों में समीकरण क्या है?
एक प्लेन को 3डी स्पेस में कई तरह से परिभाषित किया जा सकता है। इस लेख में, उनमें से कुछ को विभिन्न प्रकार की समस्याओं को हल करते हुए दिया जाएगा। यहां हम समतल के खंडों में समीकरण का विस्तृत विवरण देते हैं। इसका आम तौर पर निम्नलिखित रूप होता है:
x/p + y/q + z/r=1.
जहां प्रतीक p, q, r कुछ विशिष्ट संख्याओं को दर्शाते हैं। इस समीकरण का आसानी से एक सामान्य व्यंजक में और समतल के लिए संख्यात्मक कार्यों के अन्य रूपों में अनुवाद किया जा सकता है।
खंडों में समीकरण लिखने की सुविधा इस तथ्य में निहित है कि इसमें लंबवत समन्वय अक्षों के साथ समतल के प्रतिच्छेदन के स्पष्ट निर्देशांक शामिल हैं। एक्स-अक्ष परमूल के सापेक्ष, विमान y अक्ष पर लंबाई p के एक खंड को काटता है - q के बराबर, z - लंबाई r पर।
यदि तीन में से कोई भी चर समीकरण में शामिल नहीं है, तो इसका मतलब है कि विमान संबंधित अक्ष से नहीं गुजरता है (गणितज्ञों का कहना है कि यह अनंत को पार करता है)।
अगला, यहां कुछ समस्याएं हैं जिनमें हम दिखाएंगे कि इस समीकरण के साथ कैसे काम किया जाए।
सामान्य का संचार और समीकरणों के खंडों में
यह ज्ञात है कि विमान निम्नलिखित समानता द्वारा दिया गया है:
2x - 3y + z - 6=0.
तल के इस सामान्य समीकरण को खंडों में लिखना आवश्यक है।
जब ऐसी ही समस्या आती है, तो आपको इस तकनीक का पालन करने की आवश्यकता है: हम फ्री टर्म को समानता के दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं। फिर हम पूरे समीकरण को इस पद से विभाजित करते हैं, इसे पिछले पैराग्राफ में दिए गए रूप में व्यक्त करने का प्रयास करते हैं। हमारे पास है:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
हमने खंडों में समतल का समीकरण प्राप्त किया है, जो प्रारंभ में सामान्य रूप में दिया गया है। यह ध्यान देने योग्य है कि विमान क्रमशः x, y और z अक्षों के लिए 3, 2 और 6 की लंबाई वाले खंडों को काटता है। y-अक्ष समतल को ऋणात्मक निर्देशांक क्षेत्र में काटती है।
खंडों में समीकरण बनाते समय, यह महत्वपूर्ण है कि सभी चरों के आगे "+" चिह्न हो। केवल इस स्थिति में, जिस संख्या से इस चर को विभाजित किया जाता है, वह निर्देशांक को अक्ष पर कटा हुआ दिखाएगा।
सामान्य वेक्टर और विमान पर बिंदु
यह ज्ञात है कि किसी विमान में दिशा सदिश (3; 0; -1) होता है। यह भी ज्ञात है कि यह बिंदु (1; 1; 1) से होकर गुजरता है। इस तल के लिए, खण्डों में एक समीकरण लिखिए।
इस समस्या को हल करने के लिए, आपको पहले इस द्वि-आयामी ज्यामितीय वस्तु के लिए सामान्य आकार का उपयोग करना चाहिए। सामान्य रूप इस प्रकार लिखा जाता है:
Ax + By + Cz + D=0.
यहां पहले तीन गुणांक गाइड वेक्टर के निर्देशांक हैं, जो समस्या विवरण में निर्दिष्ट है, जो है:
ए=3;
बी=0;
सी=-1.
यह मुक्त पद डी खोजने के लिए रहता है। इसे निम्न सूत्र द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
जहां इंडेक्स 1 के साथ निर्देशांक मान विमान से संबंधित एक बिंदु के निर्देशांक के अनुरूप होते हैं। हम समस्या की स्थिति से उनके मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है:
डी=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
अब आप पूरा समीकरण लिख सकते हैं:
3x - z - 2=0.
इस व्यंजक को समतल के खंडों में समीकरण में बदलने की तकनीक पहले ही ऊपर प्रदर्शित की जा चुकी है। इसे लागू करें:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
समस्या का समाधान मिल गया है। ध्यान दें कि यह तल केवल x और z अक्षों को प्रतिच्छेद करता है। y के लिए यह समानांतर है।
विमान को परिभाषित करने वाली दो सीधी रेखाएं
स्थानिक ज्यामिति के पाठ्यक्रम से, प्रत्येक छात्र जानता है कि दो मनमानी रेखाएं एक विमान को विशिष्ट रूप से परिभाषित करती हैंत्रि-आयामी अंतरिक्ष। आइए ऐसी ही एक समस्या का समाधान करें।
रेखाओं के दो समीकरण ज्ञात हैं:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1)।
इन रेखाओं से गुजरते हुए तल के समीकरण को खंडों में लिखना आवश्यक है।
चूंकि दोनों रेखाएं समतल में होनी चाहिए, इसका मतलब है कि उनके वेक्टर (गाइड) विमान के लिए वेक्टर (गाइड) के लंबवत होने चाहिए। इसी समय, यह ज्ञात है कि मनमाने ढंग से दो निर्देशित खंडों का वेक्टर उत्पाद तीसरे के निर्देशांक के रूप में परिणाम देता है, दो मूल के लंबवत। इस संपत्ति को देखते हुए, हम वांछित विमान के लिए सामान्य वेक्टर के निर्देशांक प्राप्त करते हैं:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
चूंकि इसे एक मनमानी संख्या से गुणा किया जा सकता है, यह मूल के समानांतर एक नया निर्देशित खंड बनाता है, हम प्राप्त निर्देशांक के संकेत को विपरीत (-1 से गुणा) के साथ बदल सकते हैं, हमें मिलता है:
(1; 2; 1)।
हम दिशा सदिश जानते हैं। यह सीधी रेखाओं में से एक का मनमाना बिंदु लेने और विमान के सामान्य समीकरण को बनाने के लिए बनी हुई है:
ए=1;
बी=2;
सी=1;
डी=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
इस समानता को खंडों में व्यंजक में बदलने पर, हमें प्राप्त होता है:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
इस प्रकार, समतल तीनों अक्षों को निर्देशांक प्रणाली के धनात्मक क्षेत्र में काटता है।
तीन बिंदु और एक विमान
दो सीधी रेखाओं की तरह, तीन बिंदु त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक विमान को विशिष्ट रूप से परिभाषित करते हैं। यदि समतल में स्थित बिंदुओं के निम्नलिखित निर्देशांक ज्ञात हैं, तो हम खंडों में संगत समीकरण लिखते हैं:
क्यू(1;-2;0);
पी(2;-3;0);
एम(4; 1;0).
आइए निम्न कार्य करें: इन बिंदुओं को जोड़ने वाले दो मनमानी वैक्टर के निर्देशांक की गणना करें, फिर वेक्टर n¯ को विमान के लिए सामान्य निर्देशित खंडों के उत्पाद की गणना करके खोजें। हमें मिलता है:
क्यूपी¯=पी - क्यू=(1; -1; 0);
क्यूएम¯=एम - क्यू=(2; 4; 0);
n¯=[क्यूपी¯क्यूएम¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6)।
बिंदु P को एक उदाहरण के रूप में लें, समतल का समीकरण लिखें:
ए=0;
बी=0;
सी=6;
डी=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 या z=0.
हमें एक सरल व्यंजक मिला है जो दिए गए आयताकार निर्देशांक प्रणाली में xy तल के संगत है। इसे खंडों में नहीं लिखा जा सकता है, क्योंकि x और y कुल्हाड़ियाँ समतल से संबंधित हैं, और z अक्ष पर कटे हुए खंड की लंबाई शून्य है (बिंदु (0; 0; 0) समतल का है)।
