भौतिकी में बल के क्षण की अवधारणा: समस्या समाधान के उदाहरण

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-02 17:47

अक्सर भौतिकी में जटिल प्रणालियों में संतुलन की गणना के लिए समस्याओं को हल करना पड़ता है जिसमें कई अभिनय बल, लीवर और रोटेशन के अक्ष होते हैं। इस मामले में, बल के क्षण की अवधारणा का उपयोग करना सबसे आसान है। यह लेख विस्तृत स्पष्टीकरण के साथ सभी आवश्यक सूत्र प्रदान करता है जिनका उपयोग नामित प्रकार की समस्याओं को हल करने के लिए किया जाना चाहिए।

हम किस बारे में बात करेंगे?

कई लोगों ने शायद ध्यान दिया होगा कि यदि आप किसी निश्चित बिंदु पर स्थिर वस्तु पर किसी बल के साथ कार्य करते हैं, तो वह घूमने लगती है। एक आकर्षक उदाहरण घर या कमरे का दरवाजा है। यदि आप इसे हैंडल और पुश (बल लागू) द्वारा लेते हैं, तो यह खुलने लगेगा (इसके टिका चालू करें)। यह प्रक्रिया दैनिक जीवन में एक भौतिक मात्रा की क्रिया की अभिव्यक्ति है, जिसे बल का क्षण कहा जाता है।

द्वार के साथ वर्णित उदाहरण से यह इस प्रकार है कि विचाराधीन मूल्य बल के घूमने की क्षमता को इंगित करता है, जो इसका भौतिक अर्थ है। साथ ही यह मानमरोड़ का क्षण कहा जाता है।

बल के क्षण का निर्धारण

विचाराधीन मात्रा को परिभाषित करने से पहले, आइए एक साधारण तस्वीर लेते हैं।

तो, चित्र में एक लीवर (नीला) दिखाया गया है, जो अक्ष (हरा) पर स्थिर है। इस लीवर की लंबाई d है, और इसके सिरे पर एक बल F लगाया जाता है। इस मामले में सिस्टम का क्या होगा? यह सही है, ऊपर से देखने पर लीवर वामावर्त घूमना शुरू कर देगा (ध्यान दें कि यदि आप अपनी कल्पना को थोड़ा फैलाते हैं और कल्पना करते हैं कि दृश्य नीचे से लीवर की ओर निर्देशित है, तो यह दक्षिणावर्त घूमेगा)।

मान लें कि अक्ष के लगाव के बिंदु को O कहा जाता है, और बल के आवेदन के बिंदु को - P. तब, हम निम्नलिखित गणितीय व्यंजक लिख सकते हैं:

ओपी^¯ एफ^¯=एम^¯एफ_ओ.

जहां OP^¯ वह वेक्टर है जो अक्ष से लीवर के अंत तक निर्देशित होता है, इसे बल लीवर भी कहा जाता है, F^{¯बिंदु P पर सदिश लागू बल है, और M}¯FO _{बिंदु O (अक्ष) के बारे में बल का क्षण है। यह सूत्र प्रश्न में भौतिक मात्रा की गणितीय परिभाषा है।}

पल की दिशा और दाहिने हाथ का नियम

उपरोक्त व्यंजक एक क्रॉस उत्पाद है। जैसा कि आप जानते हैं, इसका परिणाम भी एक सदिश होता है जो संबंधित गुणक सदिशों से गुजरने वाले तल के लंबवत होता है। यह स्थिति मान M^¯F_{O (नीचे और ऊपर) की दो दिशाओं से संतुष्ट है।}

अद्वितीय करने के लिएनिर्धारित करने के लिए, तथाकथित दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करना चाहिए। इसे इस तरह से तैयार किया जा सकता है: यदि आप अपने दाहिने हाथ की चार अंगुलियों को आधा चाप में मोड़ते हैं और इस अर्ध-चाप को निर्देशित करते हैं ताकि यह पहले वेक्टर (सूत्र में पहला कारक) के साथ चला जाए और अंत तक चला जाए दूसरा, फिर ऊपर की ओर फैला हुआ अंगूठा मरोड़ के क्षण की दिशा को इंगित करेगा। यह भी ध्यान दें कि इस नियम का उपयोग करने से पहले, आपको गुणा किए गए सदिशों को सेट करना होगा ताकि वे एक ही बिंदु से बाहर आएं (उनके मूल का मिलान होना चाहिए)।

पिछले पैराग्राफ में आकृति के मामले में, हम दाहिने हाथ के नियम को लागू करके कह सकते हैं कि अक्ष के सापेक्ष बल का क्षण ऊपर की ओर, यानी हमारी ओर निर्देशित होगा।

सदिश M^¯F_{O की दिशा निर्धारित करने की चिह्नित विधि के अलावा, दो और भी हैं। ये रहे:}

• मरोड़ का क्षण इस तरह से निर्देशित किया जाएगा कि यदि आप इसके वेक्टर के अंत से घूमते हुए लीवर को देखते हैं, तो बाद वाला घड़ी के विपरीत चलेगा। विभिन्न प्रकार की समस्याओं का समाधान करते समय इस समय की दिशा को सकारात्मक मानना आम तौर पर स्वीकार किया जाता है।
• यदि आप गिलेट को दक्षिणावर्त घुमाते हैं, तो टोक़ को गिलेट की गति (गहराई) की ओर निर्देशित किया जाएगा।

उपरोक्त सभी परिभाषाएं समान हैं, इसलिए हर कोई अपने लिए सुविधाजनक विकल्प चुन सकता है।

तो, यह पाया गया कि बल के क्षण की दिशा उस अक्ष के समानांतर होती है जिसके चारों ओर संबंधित लीवर घूमता है।

कोणीय बल

नीचे दी गई तस्वीर पर विचार करें।

यहाँ हम एक बिंदु (एक तीर द्वारा इंगित) पर तय लंबाई L का लीवर भी देखते हैं। एक बल F उस पर कार्य करता है, हालाँकि, यह एक निश्चित कोण पर निर्देशित होता है (phi) क्षैतिज लीवर के लिए। इस मामले में पल की दिशा M^¯F_O वही होगी जो पिछले आंकड़े (हम पर) में है। इस मात्रा के निरपेक्ष मान या मापांक की गणना करने के लिए, आपको क्रॉस उत्पाद गुण का उपयोग करना चाहिए। उनके अनुसार, विचाराधीन उदाहरण के लिए, आप व्यंजक लिख सकते हैं: M^F_O=LFsin(180 ^{o -Φ) या, साइन गुण का उपयोग करके, हम फिर से लिखते हैं:}

एम^एफ_{ओ=एलएफपाप (Φ).}

यह आंकड़ा एक पूर्ण समकोण त्रिभुज को भी दर्शाता है, जिसके किनारे स्वयं लीवर (कर्ण), बल की क्रिया की रेखा (पैर) और लंबाई की भुजा d (दूसरा पैर) हैं। यह देखते हुए कि sin(Φ)=d/L, यह सूत्र रूप लेगा: M^F_{O=dF। यह देखा जा सकता है कि दूरी d लीवर के लगाव के बिंदु से बल की क्रिया की रेखा तक की दूरी है, अर्थात d बल का लीवर है।}

इस अनुच्छेद में विचार किए गए दोनों सूत्र, जो सीधे मरोड़ के क्षण की परिभाषा से अनुसरण करते हैं, व्यावहारिक समस्याओं को हल करने में उपयोगी हैं।

टॉर्क यूनिट

परिभाषा का उपयोग करके, यह स्थापित किया जा सकता है कि मान M^F_{O न्यूटन प्रति मीटर (Nm) में मापा जाना चाहिए. दरअसल, इन इकाइयों के रूप में इसका उपयोग SI में किया जाता है।}

ध्यान दें कि Nm कार्य की एक इकाई है, जिसे ऊर्जा की तरह जूल में व्यक्त किया जाता है। फिर भी, बल के क्षण की अवधारणा के लिए जूल का उपयोग नहीं किया जाता है, क्योंकि यह मान बाद वाले को लागू करने की संभावना को सटीक रूप से दर्शाता है। हालाँकि, कार्य की इकाई के साथ एक संबंध है: यदि, बल F के परिणामस्वरूप, लीवर पूरी तरह से अपने धुरी बिंदु O के चारों ओर घूमता है, तो किया गया कार्य A=M^{F के बराबर होगा।} _{O 2pi (2pi रेडियन में कोण है जो 360}o ^{से मेल खाता है)। इस स्थिति में, बलाघूर्ण की इकाई M}FO _{को जूल प्रति रेडियन (J/rad.) में व्यक्त किया जा सकता है। बाद वाला, Hm के साथ, SI प्रणाली में भी प्रयोग किया जाता है।}

वरिग्नन की प्रमेय

17 वीं शताब्दी के अंत में, फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे वेरिग्नन ने लीवर के साथ सिस्टम के संतुलन का अध्ययन करते हुए, पहले प्रमेय तैयार किया, जो अब उनके अंतिम नाम को धारण करता है। इसे निम्नानुसार तैयार किया गया है: कई बलों का कुल क्षण परिणामी एक बल के क्षण के बराबर होता है, जो रोटेशन के समान अक्ष के सापेक्ष एक निश्चित बिंदु पर लागू होता है। गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:

एम^¯₁+एम^¯_{2 +…+एम}¯=एम^¯=डी^{¯ ∑} i=1_(एफ¯मैं _)=डी¯^एफ¯^।

यह प्रमेय कई अभिनय बलों वाले सिस्टम में मरोड़ वाले क्षणों की गणना के लिए उपयोग करने के लिए सुविधाजनक है।

अगला, हम भौतिकी में समस्याओं को हल करने के लिए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करने का एक उदाहरण देते हैं।

रिंच समस्या

इनमें से एकबल के क्षण को ध्यान में रखने के महत्व को प्रदर्शित करने का एक महत्वपूर्ण उदाहरण एक रिंच के साथ नट को हटाने की प्रक्रिया है। अखरोट को हटाने के लिए, आपको कुछ टोक़ लगाने की जरूरत है। यह गणना करना आवश्यक है कि नट को खोलना शुरू करने के लिए बिंदु A पर कितना बल लगाया जाना चाहिए, यदि बिंदु B पर यह बल 300 N है (नीचे चित्र देखें)।

उपरोक्त आकृति से, दो महत्वपूर्ण बातें अनुसरण करती हैं: पहला, OB की दूरी OA की दुगुनी है; दूसरे, बल F_A और F_{Bनट के केंद्र (बिंदु O) के साथ मेल खाने वाले रोटेशन की धुरी के साथ संबंधित लीवर के लंबवत निर्देशित होते हैं।}

इस केस के लिए टॉर्क मोमेंट को अदिश रूप में इस प्रकार लिखा जा सकता है: M=OBF_B=OAF_A। चूँकि OB/OA=2, यह समानता तभी कायम रहेगी जब F_A , F_B से 2 गुना अधिक हो। समस्या की स्थिति से, हम प्राप्त करते हैं कि F_{A=2300=600 N। यानी, कुंजी जितनी लंबी होगी, अखरोट को खोलना उतना ही आसान होगा।}

विभिन्न द्रव्यमान की दो गेंदों के साथ समस्या

नीचे दिया गया आंकड़ा एक ऐसी प्रणाली को दर्शाता है जो संतुलन में है। यदि बोर्ड की लंबाई 3 मीटर है तो आधार की स्थिति ज्ञात करना आवश्यक है।

चूंकि निकाय संतुलन में है, सभी बलों के आघूर्णों का योग शून्य के बराबर होता है। बोर्ड पर तीन बल कार्य कर रहे हैं (दो गेंदों का भार और समर्थन की प्रतिक्रिया बल)। चूंकि समर्थन बल एक टोक़ क्षण नहीं बनाता है (लीवर की लंबाई शून्य है), गेंदों के वजन से केवल दो क्षण बनते हैं।

मान लें कि संतुलन बिंदु. से x दूरी पर है100 किलो की गेंद वाली धार। तब हम समानता लिख सकते हैं: M₁-M₂=0. चूंकि शरीर का वजन सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है mg, तो हमारे पास है: m 1_{gx - m}2_{g(3-x)=0. हम g को घटाते हैं और डेटा को स्थानापन्न करते हैं, हमें मिलता है: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0.143 मीटर या 14.3 सेमी।}

इस प्रकार, प्रणाली के संतुलन में होने के लिए, किनारे से 14.3 सेमी की दूरी पर एक संदर्भ बिंदु स्थापित करना आवश्यक है, जहां 100 किलो द्रव्यमान की एक गेंद होगी।