घूर्णन गति की गतिकी। ट्रांसलेशनल और रोटेशनल मोशन की कीनेमेटीक्स

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

कीनेमेटिक्स भौतिकी का एक हिस्सा है जो पिंडों की गति के नियमों पर विचार करता है। गतिकी से इसका अंतर यह है कि यह गतिमान पिंड पर कार्य करने वाली शक्तियों पर विचार नहीं करता है। यह लेख घूर्णी गति के कीनेमेटीक्स के प्रश्न के लिए समर्पित है।

घूर्णन गति और आगे की गति से इसका अंतर

यदि आप आसपास की गतिमान वस्तुओं पर ध्यान देते हैं, तो आप देख सकते हैं कि वे या तो एक सीधी रेखा में चलती हैं (कार सड़क पर चल रही है, विमान आकाश में उड़ रहा है), या एक वृत्त में (एक ही कार एक मोड़ में प्रवेश करती है, पहिया का घूमना)। पहले सन्निकटन के रूप में, वस्तुओं की अधिक जटिल प्रकार की गति को कम किया जा सकता है, दो प्रकार के नोट किए गए संयोजन के लिए।

प्रगतिशील आंदोलन में शरीर के स्थानिक निर्देशांक को बदलना शामिल है। इस मामले में, इसे अक्सर एक भौतिक बिंदु के रूप में माना जाता है (ज्यामितीय आयामों को ध्यान में नहीं रखा जाता है)।

घूर्णन गति एक प्रकार की गति है जिसमेंसिस्टम किसी अक्ष के चारों ओर एक सर्कल में चलता है। इसके अलावा, इस मामले में वस्तु को शायद ही कभी एक भौतिक बिंदु के रूप में माना जाता है, सबसे अधिक बार एक और सन्निकटन का उपयोग किया जाता है - एक बिल्कुल कठोर शरीर। उत्तरार्द्ध का मतलब है कि शरीर के परमाणुओं के बीच अभिनय करने वाले लोचदार बलों की उपेक्षा की जाती है और यह माना जाता है कि रोटेशन के दौरान सिस्टम के ज्यामितीय आयाम नहीं बदलते हैं। सबसे आसान मामला फिक्स्ड एक्सल है।

स्थानांतरण और घूर्णी गति के किनेमेटिक्स न्यूटन के समान नियमों का पालन करते हैं। दोनों प्रकार की गतियों का वर्णन करने के लिए समान भौतिक राशियों का उपयोग किया जाता है।

भौतिकी में कौन सी मात्रा गति का वर्णन करती है?

घूर्णन और स्थानांतरीय गति की गतिकी तीन मूल मात्राओं का उपयोग करती है:

1. रास्ता चल पड़ा। हम इसे ट्रांसलेशनल के लिए L अक्षर और θ - घूर्णी गति के लिए निरूपित करेंगे।
2. गति। एक रैखिक मामले के लिए, यह आमतौर पर लैटिन अक्षर v के साथ लिखा जाता है, एक गोलाकार पथ के साथ आंदोलन के लिए - ग्रीक अक्षर ω के साथ।
3. त्वरण। एक रैखिक और वृत्ताकार पथ के लिए, क्रमशः a और α प्रतीकों का उपयोग किया जाता है।

एक प्रक्षेपवक्र की अवधारणा का भी अक्सर उपयोग किया जाता है। लेकिन विचाराधीन वस्तुओं की गति के प्रकार के लिए, यह अवधारणा तुच्छ हो जाती है, क्योंकि अनुवाद संबंधी गति को एक रेखीय प्रक्षेपवक्र, और घूर्णी - एक वृत्त द्वारा विशेषता है।

रैखिक और कोणीय गति

आइए एक भौतिक बिंदु की घूर्णी गति के कीनेमेटीक्स शुरू करते हैंगति की अवधारणा से देखा गया। यह ज्ञात है कि निकायों के स्थानांतरीय संचलन के लिए, यह मान बताता है कि प्रति इकाई समय में कौन सा पथ पार किया जाएगा, अर्थात:

वी=एल / टी

V मीटर प्रति सेकेंड में मापा जाता है। रोटेशन के लिए, इस रैखिक गति पर विचार करना असुविधाजनक है, क्योंकि यह रोटेशन की धुरी की दूरी पर निर्भर करता है। थोड़ी अलग विशेषता पेश की गई है:

ω=/ टी

यह घूर्णी गति की गति के मुख्य सूत्रों में से एक है। यह दिखाता है कि किस कोण पर θ पूरा सिस्टम समय t में एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमेगा।

उपरोक्त दोनों सूत्र गति की गति की समान भौतिक प्रक्रिया को दर्शाते हैं। केवल रैखिक मामले के लिए, दूरी महत्वपूर्ण है, और गोलाकार मामले के लिए, रोटेशन का कोण।

दोनों सूत्र आपस में बातचीत करते हैं। आइए इस कनेक्शन को प्राप्त करें। यदि हम θ को रेडियन में व्यक्त करते हैं, तो एक भौतिक बिंदु अक्ष से R की दूरी पर घूमता है, एक चक्कर लगाता है, पथ L=2piR की यात्रा करेगा। रैखिक वेग के लिए व्यंजक का रूप लेगा:

वी=एल / टी=2पाईआर / टी

लेकिन 2pi रेडियन का समय t से अनुपात कोणीय वेग के अलावा और कुछ नहीं है। तब हमें मिलता है:

वी=आर

यहाँ से यह देखा जा सकता है कि जितना अधिक रैखिक वेग v और घूर्णन R की त्रिज्या जितनी कम होगी, कोणीय वेग उतना ही अधिक होगा।

रैखिक और कोणीय त्वरण

किसी भौतिक बिंदु की घूर्णन गति की गतिकी में एक अन्य महत्वपूर्ण विशेषता कोणीय त्वरण है। इससे पहले कि हम उसे जानें, आइएसमान रैखिक मान के लिए सूत्र:

1) ए=डीवी / डीटी

2) ए=v / t

पहला व्यंजक तात्कालिक त्वरण (dt ->0) को दर्शाता है, जबकि दूसरा सूत्र उपयुक्त है यदि गति समय के साथ समान रूप से बदलती है t। दूसरे संस्करण में प्राप्त त्वरण को औसत कहा जाता है।

रैखिक और घूर्णन गति का वर्णन करने वाली मात्राओं की समानता को देखते हुए, कोणीय त्वरण के लिए हम लिख सकते हैं:

1) α=डीω / डीटी

2) α=/ t

इन सूत्रों की व्याख्या ठीक वैसी ही है जैसी रैखिक मामले के लिए होती है। अंतर केवल इतना है कि a दिखाता है कि समय की प्रति इकाई गति कितने मीटर प्रति सेकंड बदलती है, और α दिखाता है कि समान अवधि में कोणीय गति कितने रेडियन प्रति सेकंड बदलती है।

आइए इन त्वरणों के बीच संबंध का पता लगाएं। के पदों में व्यक्त v के मान को α के लिए दो समानताओं में से किसी एक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

α=/ t=v / t1 / R=a / R

यह इस प्रकार है कि रोटेशन की त्रिज्या जितनी छोटी होगी और रैखिक त्वरण जितना अधिक होगा, α का मान उतना ही अधिक होगा।

यात्रा की गई दूरी और मोड़ का कोण

यह एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णी गति के गतिज विज्ञान में तीन मूल मात्राओं में से अंतिम के लिए सूत्र देना बाकी है - रोटेशन के कोण के लिए। पिछले पैराग्राफ की तरह, हम पहले समान रूप से त्वरित रेक्टिलिनियर मूवमेंट के लिए फॉर्मूला लिखते हैं, हमारे पास है:

एल=वी₀ टी + ए टी² /2

घूर्णन गति के साथ पूर्ण सादृश्यता इसके लिए निम्न सूत्र की ओर ले जाती है:

θ=ω₀ टी + αटी² /2

अंतिम व्यंजक आपको किसी भी समय t के लिए घूर्णन कोण प्राप्त करने की अनुमति देता है। ध्यान दें कि परिधि 2pi रेडियन (≈ 6.3 रेडियन) है। यदि, समस्या को हल करने के परिणामस्वरूप, का मान निर्दिष्ट मान से अधिक है, तो शरीर ने अक्ष के चारों ओर एक से अधिक चक्कर लगाए हैं।

L और के बीच संबंध का सूत्र ₀ और α के लिए रैखिक विशेषताओं के माध्यम से संबंधित मानों को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है:

θ=वी₀ टी / आर + एटी² / (2आर)=एल /आर

परिणामी अभिव्यक्ति रेडियन में कोण θ के अर्थ को दर्शाती है। यदि θ=1 रेड, तो L=R, अर्थात् एक रेडियन का कोण एक त्रिज्या की लंबाई वाले चाप पर टिका होता है।

समस्या समाधान का उदाहरण

चलिए कीनेमेटिक्स की निम्नलिखित समस्या को हल करते हैं: हम जानते हैं कि कार 70 किमी/घंटा की गति से चल रही है। यह जानते हुए कि इसके पहिए का व्यास D=0.4 मीटर है, इसके लिए का मान निर्धारित करना आवश्यक है, साथ ही कार द्वारा 1 किलोमीटर की दूरी तय करने पर कितने चक्कर लगाएंगे।

कोणीय वेग ज्ञात करने के लिए, ज्ञात डेटा को रैखिक वेग से संबंधित करने के लिए सूत्र में प्रतिस्थापित करना पर्याप्त है, हमें मिलता है:

ω=वी / आर=710⁴ /3600/0, 2=97, 222 रेड/एस.

इसी तरह उस कोण के लिए θ जिस पर जाने के बाद पहिया घूमेगा1 किमी, हमें मिलता है:

θ=एल / आर=1000 / 0, 2=5000 रेड।

यह देखते हुए कि एक क्रांति 6.2832 रेडियन है, हमें इस कोण से मेल खाने वाले पहिया चक्करों की संख्या प्राप्त होती है:

n=/6, 2832=5000/6, 2832=795, 77 मोड़।

हमने लेख में सूत्रों का उपयोग करके सवालों के जवाब दिए। समस्या को एक अलग तरीके से हल करना भी संभव था: उस समय की गणना करें जिसके लिए कार 1 किमी की यात्रा करेगी, और इसे रोटेशन के कोण के सूत्र में प्रतिस्थापित करें, जिससे हम कोणीय वेग प्राप्त कर सकते हैं। उत्तर मिल गया।