प्रकृति और प्रौद्योगिकी में, हम अक्सर शाफ्ट और गियर जैसे ठोस पिंडों की घूर्णी गति की अभिव्यक्ति का सामना करते हैं। भौतिकी में इस प्रकार की गति का वर्णन कैसे किया जाता है, इसके लिए किन सूत्रों और समीकरणों का उपयोग किया जाता है, इन और अन्य मुद्दों को इस लेख में शामिल किया गया है।
रोटेशन क्या है?
हम में से प्रत्येक सहज रूप से कल्पना करता है कि हम किस तरह के आंदोलन के बारे में बात कर रहे हैं। घूर्णन एक ऐसी प्रक्रिया है जिसमें कोई पिंड या भौतिक बिंदु किसी अक्ष के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ पर गति करता है। ज्यामितीय दृष्टिकोण से, एक कठोर शरीर के घूर्णन की धुरी एक सीधी रेखा है, जिसकी दूरी आंदोलन के दौरान अपरिवर्तित रहती है। इस दूरी को घूर्णन त्रिज्या कहते हैं। निम्नलिखित में, हम इसे r अक्षर से निरूपित करेंगे। यदि घूर्णन की धुरी पिंड के द्रव्यमान के केंद्र से होकर गुजरती है, तो इसे अपनी धुरी कहा जाता है। अपनी धुरी के चारों ओर घूमने का एक उदाहरण सौर मंडल के ग्रहों की संगत गति है।
घूर्णन होने के लिए अभिकेंद्रीय त्वरण होना चाहिए, जो के कारण होता हैकेन्द्राभिमुख शक्ति। यह बल पिंड के द्रव्यमान के केंद्र से घूर्णन अक्ष की ओर निर्देशित होता है। अभिकेन्द्र बल की प्रकृति बहुत भिन्न हो सकती है। तो, एक ब्रह्मांडीय पैमाने पर, गुरुत्वाकर्षण अपनी भूमिका निभाता है, यदि शरीर को एक धागे से तय किया जाता है, तो उत्तरार्द्ध का तनाव बल अभिकेन्द्रित होगा। जब कोई पिंड अपनी धुरी के चारों ओर घूमता है, तो सेंट्रिपेटल बल की भूमिका शरीर को बनाने वाले तत्वों (अणुओं, परमाणुओं) के बीच आंतरिक विद्युत रासायनिक संपर्क द्वारा निभाई जाती है।
यह समझना चाहिए कि केन्द्राभिमुख बल की उपस्थिति के बिना, शरीर एक सीधी रेखा में गति करेगा।
घूर्णन का वर्णन करने वाली भौतिक राशियाँ
पहला, यह गतिशील विशेषताएं हैं। इनमें शामिल हैं:
- गति एल;
- जड़ता का क्षण I;
- बल का क्षण एम.
दूसरा, ये गतिज विशेषताएँ हैं। आइए उन्हें सूचीबद्ध करें:
- घूर्णन कोण θ;
- कोणीय गति ω;
- कोणीय त्वरण α.
आइए इनमें से प्रत्येक राशि का संक्षेप में वर्णन करें।
कोणीय संवेग सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है:
एल=पीआर=एमवीआर
जहां p रैखिक संवेग है, m भौतिक बिंदु का द्रव्यमान है, v इसका रैखिक वेग है।
एक भौतिक बिंदु की जड़ता के क्षण की गणना अभिव्यक्ति का उपयोग करके की जाती है:
मैं=एमआर2
जटिल आकार के किसी भी निकाय के लिए, I के मान की गणना भौतिक बिंदुओं की जड़ता के क्षणों के अभिन्न योग के रूप में की जाती है।
बल एम के क्षण की गणना इस प्रकार की जाती है:
एम=एफडी
यहाँ एफ -बाह्य बल, d - इसके अनुप्रयोग के बिंदु से घूर्णन अक्ष तक की दूरी।
सभी राशियों का भौतिक अर्थ, जिसके नाम में "पल" शब्द मौजूद है, संबंधित रैखिक मात्राओं के अर्थ के समान है। उदाहरण के लिए, बल का आघूर्ण घूर्णन पिंडों की एक प्रणाली को कोणीय त्वरण प्रदान करने के लिए एक लागू बल की क्षमता को दर्शाता है।
गतिज विशेषताओं को गणितीय रूप से निम्नलिखित सूत्रों द्वारा परिभाषित किया गया है:
ω=डीθ/डीटी;
α=dω/dt.
जैसा कि आप इन अभिव्यक्तियों से देख सकते हैं, कोणीय विशेषताएँ रैखिक वाले (वेग v और त्वरण a) के अर्थ में समान हैं, केवल वे एक वृत्ताकार प्रक्षेपवक्र पर लागू होते हैं।
रोटेशन डायनामिक्स
भौतिकी में, एक कठोर शरीर की घूर्णी गति का अध्ययन यांत्रिकी की दो शाखाओं की सहायता से किया जाता है: गतिकी और गतिकी। आइए गतिकी से शुरू करें।
गतिकी घूर्णन पिंडों की प्रणाली पर कार्य करने वाली बाहरी शक्तियों का अध्ययन करती है। आइए हम तुरंत एक दृढ़ पिंड की घूर्णी गति के समीकरण को लिख लें, और फिर, हम इसके घटक भागों का विश्लेषण करेंगे। तो यह समीकरण इस तरह दिखता है:
एम=मैंα
बल का क्षण, जो एक प्रणाली पर जड़ता के क्षण के साथ कार्य करता है, कोणीय त्वरण α की उपस्थिति का कारण बनता है। I का मान जितना छोटा होगा, एक निश्चित क्षण M की मदद से सिस्टम को कम समय के अंतराल में उच्च गति तक स्पिन करना उतना ही आसान होगा। उदाहरण के लिए, एक धातु की छड़ को अपनी धुरी पर लंबवत घुमाने की तुलना में घुमाना आसान होता है। हालांकि, एक ही छड़ को उसके लंबवत अक्ष के चारों ओर घुमाना और उसके अंत से द्रव्यमान के केंद्र से गुजरना आसान होता है।
संरक्षण कानूनमान एल
यह मान ऊपर दिया गया था, इसे कोणीय संवेग कहते हैं। पिछले पैराग्राफ में प्रस्तुत एक कठोर शरीर के घूर्णन गति के समीकरण को अक्सर एक अलग रूप में लिखा जाता है:
एमडीटी=डीएल
यदि बाह्य बल M का आघूर्ण dt समय के दौरान निकाय पर कार्य करता है, तो यह dL द्वारा निकाय के कोणीय संवेग में परिवर्तन का कारण बनता है। तदनुसार, यदि बलों का क्षण शून्य के बराबर है, तो एल=स्थिरांक। यह मान L के संरक्षण का नियम है। इसके लिए, रैखिक और कोणीय वेग के बीच संबंध का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं:
एल=एमवीआर=एमωआर2=मैंω.
इस प्रकार, बलों के क्षण की अनुपस्थिति में, कोणीय वेग और जड़ता के क्षण का गुणनफल एक स्थिर मूल्य है। इस भौतिक नियम का उपयोग फिगर स्केटर्स द्वारा अपने प्रदर्शन या कृत्रिम उपग्रहों में किया जाता है जिन्हें बाहरी अंतरिक्ष में अपनी धुरी पर घुमाने की आवश्यकता होती है।
केन्द्रीय त्वरण
ऊपर, किसी दृढ़ पिंड की घूर्णन गति के अध्ययन में, इस मात्रा का वर्णन पहले ही किया जा चुका है। अभिकेंद्री बलों की प्रकृति को भी नोट किया गया था। यहां हम केवल इस जानकारी को पूरक करेंगे और इस त्वरण की गणना के लिए संबंधित सूत्र देंगे। इसे एक c निरूपित करें।
चूंकि अभिकेंद्री बल अक्ष के लंबवत निर्देशित है और इससे होकर गुजरता है, यह एक क्षण का निर्माण नहीं करता है। अर्थात्, इस बल का घूर्णन की गतिज विशेषताओं पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। हालाँकि, यह एक अभिकेन्द्रीय त्वरण बनाता है। हम इसके लिए दो सूत्र देते हैंइसकी परिभाषाएं:
ac=v2/r;
एसी=ω2आर.
इस प्रकार, कोणीय वेग और त्रिज्या जितनी अधिक होगी, पिंड को वृत्ताकार पथ पर रखने के लिए उतना ही अधिक बल लगाना होगा। इस शारीरिक प्रक्रिया का एक महत्वपूर्ण उदाहरण एक मोड़ के दौरान कार का फिसलना है। एक स्किड तब होता है जब अभिकेन्द्र बल, जो घर्षण बल द्वारा खेला जाता है, केन्द्रापसारक बल (जड़त्वीय विशेषता) से कम हो जाता है।
रोटेशन कीनेमेटिक्स
तीन मुख्य गतिज विशेषताओं को लेख में ऊपर सूचीबद्ध किया गया था। एक कठोर पिंड की घूर्णी गति की कीनेमेटीक्स निम्नलिखित सूत्रों द्वारा वर्णित है:
θ=ωt=>ω=स्थिरांक, α=0;
θ=ω0t + αt2/2=> ω=ω0 + αt, α=const.
पहली पंक्ति में एकसमान घुमाव के लिए सूत्र हैं, जो सिस्टम पर कार्य करने वाले बलों के बाहरी क्षण की अनुपस्थिति को मानता है। दूसरी पंक्ति में एक वृत्त में एकसमान त्वरित गति के सूत्र हैं।
ध्यान दें कि रोटेशन न केवल सकारात्मक त्वरण के साथ हो सकता है, बल्कि नकारात्मक त्वरण के साथ भी हो सकता है। इस स्थिति में, दूसरी पंक्ति के सूत्रों में, दूसरे पद से पहले ऋण चिह्न लगाएं।
समस्या समाधान का उदाहरण
1000 Nm के बल का क्षण धातु के शाफ्ट पर 10 सेकंड के लिए कार्य करता है। यह जानते हुए कि शाफ्ट की जड़ता का क्षण है 50kgm2, कोणीय वेग को निर्धारित करना आवश्यक है जो बल के उल्लिखित क्षण ने शाफ्ट को दिया था।
रोटेशन के मूल समीकरण को लागू करते हुए, हम शाफ्ट के त्वरण की गणना करते हैं:
एम=मैंα=>
α=एम/आई.
चूंकि यह कोणीय त्वरण समय t=10 सेकंड के दौरान शाफ्ट पर कार्य करता है, हम कोणीय वेग की गणना के लिए समान रूप से त्वरित गति सूत्र का उपयोग करते हैं:
ω=ω0+ αt=M/It.
यहाँ ω0=0 (बल क्षण एम तक शाफ्ट घूमता नहीं है)।
मात्राओं के संख्यात्मक मानों को समानता में प्रतिस्थापित करें, हमें प्राप्त होता है:
ω=1000/5010=200 रेड/सेक।
इस संख्या को प्रति सेकंड सामान्य क्रांतियों में अनुवाद करने के लिए, आपको इसे 2pi से विभाजित करना होगा। इस क्रिया को पूरा करने के बाद, हम पाते हैं कि शाफ्ट 31.8 आरपीएम की आवृत्ति पर घूमेगा।
