क्षितिज के कोण पर शरीर की गति: सूत्र, उड़ान सीमा की गणना और अधिकतम टेकऑफ़ ऊंचाई

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

भौतिकी में यांत्रिक गति का अध्ययन करते समय, वस्तुओं की एकसमान और समान रूप से त्वरित गति से परिचित होने के बाद, वे क्षितिज के कोण पर एक पिंड की गति पर विचार करने के लिए आगे बढ़ते हैं। इस लेख में, हम इस मुद्दे का अधिक विस्तार से अध्ययन करेंगे।

क्षितिज के कोण पर पिंड की गति क्या है?

इस प्रकार की वस्तु की गति तब होती है जब कोई व्यक्ति एक चट्टान को हवा में फेंकता है, एक तोप एक तोप का गोला दागती है, या एक गोलकीपर एक सॉकर बॉल को गोल से बाहर निकालता है। ऐसे सभी मामलों को बैलिस्टिक विज्ञान द्वारा माना जाता है।

हवा में वस्तुओं की उल्लेखनीय प्रकार की गति एक परवलयिक प्रक्षेपवक्र के साथ होती है। सामान्य स्थिति में, संबंधित गणना करना कोई आसान काम नहीं है, क्योंकि हवा के प्रतिरोध, उड़ान के दौरान शरीर के घूमने, अपनी धुरी के चारों ओर पृथ्वी के घूमने और कुछ अन्य कारकों को ध्यान में रखना आवश्यक है।

इस लेख में, हम इन सभी कारकों को ध्यान में नहीं रखेंगे, लेकिन इस मुद्दे पर विशुद्ध रूप से सैद्धांतिक दृष्टिकोण से विचार करेंगे। हालांकि, परिणामी सूत्र काफी अच्छे हैंकम दूरी पर गतिमान पिंडों के प्रक्षेप पथ का वर्णन कर सकेंगे।

माना गया प्रकार के आंदोलन के लिए सूत्र प्राप्त करना

आइए एक कोण पर शरीर को क्षितिज तक ले जाने के लिए सूत्र प्राप्त करते हैं। इस मामले में, हम एक उड़ने वाली वस्तु - गुरुत्वाकर्षण पर अभिनय करने वाले केवल एक ही बल को ध्यान में रखेंगे। चूंकि यह लंबवत नीचे की ओर कार्य करता है (y-अक्ष के समानांतर और इसके विपरीत), फिर, आंदोलन के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों पर विचार करते हुए, हम कह सकते हैं कि पहले में एक समान रेक्टिलिनियर आंदोलन का चरित्र होगा। और दूसरा - त्वरण जी के साथ समान रूप से धीमा (समान रूप से त्वरित) सीधा आंदोलन। अर्थात्, v₀ (प्रारंभिक गति) और θ (शरीर की गति की दिशा का कोण) के माध्यम से वेग घटकों को इस प्रकार लिखा जाएगा:

v_x=वी₀cos(θ)

v_y=v₀पाप(θ)-जीटी

पहला सूत्र (v_x के लिए) हमेशा मान्य होता है। दूसरे के लिए, यहां एक बारीकियों पर ध्यान दिया जाना चाहिए: उत्पाद gt से पहले ऋण चिह्न केवल तभी लगाया जाता है जब लंबवत घटक v₀sin(θ) ऊपर की ओर निर्देशित हो। ज्यादातर मामलों में, ऐसा होता है, हालांकि, यदि आप किसी पिंड को ऊंचाई से नीचे की ओर इशारा करते हुए फेंकते हैं, तो v_y के व्यंजक में आपको g से पहले "+" चिन्ह लगाना चाहिए। टी.

समय के साथ वेग घटकों के लिए सूत्रों को एकीकृत करना, और शरीर की उड़ान की प्रारंभिक ऊंचाई h को ध्यान में रखते हुए, हम निर्देशांक के लिए समीकरण प्राप्त करते हैं:

x=वी₀cos(θ)t

y=एच+वी₀पाप(θ)टी-जीटी²/2

उड़ान सीमा की गणना करें

भौतिकी में व्यावहारिक उपयोग के लिए उपयोगी कोण पर क्षितिज पर किसी पिंड की गति पर विचार करते समय, यह उड़ान सीमा की गणना करने के लिए निकलता है। आइए इसे परिभाषित करें।

चूंकि यह गति बिना त्वरण के एक समान गति है, इसलिए इसमें उड़ान के समय को प्रतिस्थापित करने और वांछित परिणाम प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है। उड़ान सीमा पूरी तरह से एक्स-अक्ष (क्षितिज के समानांतर) के साथ आंदोलन द्वारा निर्धारित की जाती है।

पिंड के हवा में रहने के समय की गणना y निर्देशांक को शून्य के बराबर करके की जा सकती है। हमारे पास है:

0=एच+वी₀पाप(θ)टी-जीटी²/2

यह द्विघात समीकरण विवेचक द्वारा हल किया जाता है, हमें प्राप्त होता है:

D=b²- 4ac=v₀²पाप ²(θ) - 4(-g/2)h=v₀² पाप²(θ) + 2gh, t=(-b±√D)/(2a)=(-v₀sin(θ)±√(v₀ ²पाप²(θ) + 2gh))/(-2g/2)=

=(वी₀पाप(θ)+√(वी₀² पाप²(θ) + 2जीएच))/जी.

अंतिम व्यंजक में, ऋणात्मक चिह्न वाली एक जड़ को उसके महत्वहीन भौतिक मान के कारण छोड़ दिया जाता है। उड़ान समय t को x के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर, हमें उड़ान श्रेणी l:

प्राप्त होती है

l=x=v₀cos(θ)(v₀sin(θ)+√(v ₀²पाप²(θ) + 2gh))/g.

इस अभिव्यक्ति का विश्लेषण करने का सबसे आसान तरीका है यदि प्रारंभिक ऊंचाईशून्य के बराबर है (एच=0), तो हमें एक सरल सूत्र मिलता है:

एल=वी ₀²पाप(2θ)/जी

यह अभिव्यक्ति इंगित करती है कि यदि शरीर को 45^o(sin(245^{o) के कोण पर फेंका जाए तो अधिकतम उड़ान सीमा प्राप्त की जा सकती है।)=m1)।}

शरीर की अधिकतम ऊंचाई

उड़ान रेंज के अलावा, जमीन से ऊपर की ऊंचाई का पता लगाना भी उपयोगी होता है, जिस पर शरीर उठ सकता है। चूंकि इस प्रकार के आंदोलन को एक परवलय द्वारा वर्णित किया जाता है, जिसकी शाखाएं नीचे की ओर निर्देशित होती हैं, अधिकतम उठाने की ऊंचाई इसकी चरम सीमा होती है। उत्तरार्द्ध की गणना y के लिए t के संबंध में व्युत्पन्न के लिए समीकरण को हल करके की जाती है:

dy/dt=d(h+v₀sin(θ)t-gt²/2)/dt=वी₀पाप(θ)-gt=0=>

=>t=वी₀पाप(θ)/जी.

इस बार y के समीकरण में प्रतिस्थापित करें, हमें प्राप्त होता है:

y=h+v₀sin(θ)v₀sin(θ)/g-g(v ₀पाप(θ)/जी)²/2=एच + वी₀ ²पाप²(θ)/(2g).

यह अभिव्यक्ति इंगित करती है कि शरीर अधिकतम ऊंचाई तक उठेगा यदि इसे लंबवत ऊपर की ओर फेंका जाए (पाप²(90^o)=1)।