हम में से प्रत्येक ने आकाश में पत्थर फेंके और उनके गिरने की गति को देखा। यह हमारे ग्रह के गुरुत्वाकर्षण बल के क्षेत्र में एक कठोर पिंड की गति का सबसे सामान्य उदाहरण है। इस लेख में, हम उन सूत्रों पर विचार करेंगे जो एक कोण पर क्षितिज पर फेंके गए पिंड के मुक्त संचलन पर समस्याओं को हल करने के लिए उपयोगी हो सकते हैं।
एक कोण पर क्षितिज की ओर बढ़ने की अवधारणा
जब किसी ठोस वस्तु को प्रारंभिक गति दी जाती है, और वह ऊंचाई हासिल करना शुरू कर देता है, और फिर, फिर से जमीन पर गिर जाता है, तो आमतौर पर यह स्वीकार किया जाता है कि शरीर एक परवलयिक प्रक्षेपवक्र के साथ चलता है। वास्तव में, इस प्रकार की गति के लिए समीकरणों के समाधान से पता चलता है कि हवा में शरीर द्वारा वर्णित रेखा एक दीर्घवृत्त का हिस्सा है। हालांकि, व्यावहारिक उपयोग के लिए, परवलयिक सन्निकटन काफी सुविधाजनक साबित होता है और सटीक परिणाम देता है।
क्षैतिज के कोण पर फेंके गए पिंड की गति के उदाहरण तोप के थूथन से एक प्रक्षेप्य निकाल रहे हैं, एक गेंद को लात मार रहे हैं, और यहां तक कि पानी की सतह ("टॉड") पर कंकड़ कूद रहे हैं, जो हैं आयोजितअंतरराष्ट्रीय प्रतियोगिताएं।
कोण पर गति के प्रकार का अध्ययन बैलिस्टिक द्वारा किया जाता है।
माना गया आंदोलन प्रकार के गुण
पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के क्षेत्र में किसी पिंड के प्रक्षेपवक्र पर विचार करते समय, निम्नलिखित कथन सत्य हैं:
- क्षितिज की प्रारंभिक ऊंचाई, गति और कोण को जानने से आप संपूर्ण प्रक्षेपवक्र की गणना कर सकते हैं;
- प्रस्थान कोण पिंड के आपतन कोण के बराबर है, बशर्ते कि प्रारंभिक ऊंचाई शून्य हो;
- ऊर्ध्वाधर गति को क्षैतिज गति से स्वतंत्र माना जा सकता है;
ध्यान दें कि ये गुण मान्य हैं यदि शरीर की उड़ान के दौरान घर्षण बल नगण्य है। बैलिस्टिक में, प्रक्षेप्य की उड़ान का अध्ययन करते समय, घर्षण सहित कई अलग-अलग कारकों को ध्यान में रखा जाता है।
परवलयिक गति के प्रकार
जिस ऊंचाई से आंदोलन शुरू होता है, वह किस ऊंचाई पर समाप्त होता है, और प्रारंभिक गति कैसे निर्देशित होती है, इसके आधार पर निम्न प्रकार के परवलयिक आंदोलन प्रतिष्ठित होते हैं:
- पूर्ण परवलय। इस मामले में, शरीर को पृथ्वी की सतह से फेंक दिया जाता है, और यह एक पूर्ण परवलय का वर्णन करते हुए इस सतह पर गिरता है।
- एक परवलय का आधा। शरीर की गति का ऐसा ग्राफ तब देखा जाता है जब इसे एक निश्चित ऊंचाई h से फेंका जाता है, जो वेग v को क्षितिज के समानांतर निर्देशित करता है, अर्थात कोण पर θ=0o.
- एक परवलय का हिस्सा। इस तरह के प्रक्षेपवक्र तब उत्पन्न होते हैं जब किसी पिंड को किसी कोण पर फेंका जाता है 0o, और अंतरप्रारंभ और अंत की ऊंचाई भी शून्य नहीं है (h-h0≠0)। अधिकांश वस्तु गति प्रक्षेप पथ इसी प्रकार के होते हैं। उदाहरण के लिए, एक पहाड़ी पर खड़ी तोप से एक शॉट, या एक बास्केटबॉल खिलाड़ी एक टोकरी में गेंद फेंक रहा है।
एक पूर्ण परवलय के अनुरूप पिंड की गति का ग्राफ ऊपर दिखाया गया है।
गणना के लिए आवश्यक सूत्र
आइए क्षितिज पर एक कोण पर फेंके गए पिंड की गति का वर्णन करने के लिए सूत्र दें। घर्षण बल की उपेक्षा करते हुए, और केवल गुरुत्वाकर्षण बल को ध्यान में रखते हुए, हम किसी वस्तु की गति के लिए दो समीकरण लिख सकते हैं:
vx=वी0cos(θ)
vy=v0पाप(θ) - जीटी
चूंकि गुरुत्वाकर्षण लंबवत नीचे की ओर निर्देशित है, यह वेग vx के क्षैतिज घटक को नहीं बदलता है, इसलिए पहली समानता में कोई समय निर्भरता नहीं है। vy घटक, बदले में, गुरुत्वाकर्षण से प्रभावित होता है, जो g को जमीन की ओर निर्देशित शरीर को त्वरण देता है (इसलिए सूत्र में ऋण चिह्न)।
अब एक कोण पर फेंके गए पिंड के निर्देशांक को क्षितिज पर बदलने के लिए सूत्र लिखते हैं:
x=x0+v0cos(θ)t
y=y0+ वी0पाप(θ)t - gt2 /2
निर्देशांक प्रारंभ करना x0अक्सर शून्य मान लिया जाता है। निर्देशांक y0 और कुछ नहीं बल्कि ऊँचाई h है जिससे शरीर को फेंका जाता है (y0=h)।
अब पहली अभिव्यक्ति से समय t व्यक्त करते हैं और इसे दूसरे में प्रतिस्थापित करते हैं, हमें मिलता है:
y=h + tg(θ)x - g /(2v02cos 2(θ))x2
ज्यामिति में यह व्यंजक एक परवलय से मेल खाता है जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित होती हैं।
उपरोक्त समीकरण इस प्रकार के आंदोलन की किसी भी विशेषता को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त हैं। तो, उनका समाधान इस तथ्य की ओर जाता है कि अधिकतम उड़ान सीमा प्राप्त की जाती है यदि=45o, जबकि अधिकतम ऊंचाई जिस तक फेंका गया शरीर उठता है वह तब प्राप्त होता है जब=90ओ.
