गणित में सीखे गए पहले सूत्रों में से एक यह है कि आयत के क्षेत्रफल की गणना कैसे की जाती है। यह भी सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाता है। आयताकार सतहें हमारे चारों ओर होती हैं, इसलिए हमें अक्सर उनका क्षेत्रफल जानने की आवश्यकता होती है। कम से कम यह पता लगाने के लिए कि क्या उपलब्ध पेंट फर्श को पेंट करने के लिए पर्याप्त है।
क्षेत्र की कौन-सी इकाई है?
अगर हम बात करें जिसकी अंतरराष्ट्रीय मान्यता है तो वह एक वर्ग मीटर होगी। दीवारों, छत या फर्श के क्षेत्रों की गणना करते समय इसका उपयोग करना सुविधाजनक है। वे आवास के क्षेत्र को इंगित करते हैं।
जब छोटी वस्तुओं की बात आती है, तो वर्ग डेसीमीटर, सेंटीमीटर या मिलीमीटर का परिचय दिया जाता है। बाद वाले की जरूरत है अगर आंकड़ा एक नाखून से बड़ा नहीं है।
किसी शहर या देश का क्षेत्रफल नापते समय वर्ग किलोमीटर सबसे उपयुक्त होते हैं। लेकिन ऐसी इकाइयाँ भी हैं जिनका उपयोग क्षेत्र के आकार को इंगित करने के लिए किया जाता है: क्षेत्र और हेक्टेयर। उनमें से पहले को सौ भी कहा जाता है।
यदि आयत की भुजाएँ दी गई हों तो क्या होगा?
आयत के क्षेत्रफल की गणना करने का यह सबसे आसान तरीका है। यह केवल दोनों ज्ञात मानों को गुणा करने के लिए पर्याप्त है: लंबाई और चौड़ाई। सूत्र इस तरह दिखता है: एस=एबी। यहाँ, अक्षर a और b लंबाई और चौड़ाई को दर्शाते हैं।
इसी प्रकार, एक वर्ग का क्षेत्रफल, जो एक आयत का एक विशेष मामला है, की गणना की जाती है। चूँकि इसकी सभी भुजाएँ समान हैं, गुणनफल a अक्षर का वर्ग बन जाता है।
क्या होगा अगर आकृति को चेकर पेपर पर दर्शाया गया है?
इस स्थिति में, आपको आकृति के अंदर कोशिकाओं की संख्या पर भरोसा करने की आवश्यकता है। उनकी संख्या से, एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करना आसान हो सकता है। लेकिन यह तब किया जा सकता है जब आयत की भुजाएँ सेल लाइनों के साथ मेल खाती हों।
अक्सर आयत की ऐसी स्थिति होती है, जिसमें कागज की रेखा के संबंध में इसकी भुजाएँ झुकी होती हैं। तब कोशिकाओं की संख्या निर्धारित करना कठिन होता है, इसलिए आयत के क्षेत्रफल की गणना अधिक जटिल हो जाती है।
आपको सबसे पहले आयत का क्षेत्रफल जानना होगा, जो दिए गए के ठीक आसपास की कोशिकाओं द्वारा खींचा जा सकता है। यह आसान है: ऊंचाई और चौड़ाई गुणा करें। फिर परिणामी मान से सभी समकोण त्रिभुजों का क्षेत्रफल घटाएं। और उनमें से चार हैं। वैसे, उनकी गणना पैरों के आधे उत्पाद के रूप में की जाती है।
अंतिम परिणाम दिए गए आयत का क्षेत्रफल देगा।
यदि भुजाएं अज्ञात हों, लेकिन उसका विकर्ण दिया हो तो क्या करेंऔर विकर्णों के बीच का कोण?
एक आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने से पहले, इस स्थिति में, आपको पहले से ही परिचित सूत्र का उपयोग करने के लिए इसके पक्षों की गणना करने की आवश्यकता है। सबसे पहले आपको इसके विकर्णों की संपत्ति को याद रखना होगा। वे समान हैं और प्रतिच्छेदन बिंदु को समद्विभाजित करते हैं। आप चित्र में देख सकते हैं कि विकर्ण आयत को चार समद्विबाहु त्रिभुजों में विभाजित करते हैं, जो एक दूसरे के जोड़े में बराबर होते हैं।
इन त्रिभुजों की समान भुजाओं को विकर्ण के आधे भाग के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे जाना जाता है। अर्थात् प्रत्येक त्रिभुज में दो भुजाएँ और उनके बीच एक कोण होता है, जो समस्या में दिया गया है। आप कोज्या प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं।
आयत की एक भुजा की गणना एक सूत्र का उपयोग करके की जाएगी जो त्रिभुज की समान भुजाओं और दिए गए कोण की कोज्या का उपयोग करता है। दूसरे मान की गणना करने के लिए, कोज्या को 180 के अंतर और एक ज्ञात कोण के बराबर कोण से लेना होगा।
अब एक आयत के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें की समस्या दो प्राप्त पक्षों के एक साधारण गुणा के लिए नीचे आती है।
यदि समस्या में परिमाप दिया गया हो तो क्या करें?
आमतौर पर, स्थिति लंबाई और चौड़ाई के अनुपात को भी इंगित करती है। इस मामले में, एक आयत के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें, यह प्रश्न एक विशिष्ट उदाहरण के साथ आसान है।
मान लें कि समस्या में एक निश्चित आयत का परिमाप 40 सेमी है। यह भी ज्ञात है कि इसकी लंबाई इसकी चौड़ाई से डेढ़ गुना अधिक है। आपको इसका क्षेत्रफल जानना होगा।
समस्या का समाधान परिधि सूत्र लिखने से शुरू होता है। इसे लंबाई और चौड़ाई के योग के रूप में लिखना अधिक सुविधाजनक है, जिनमें से प्रत्येक को से गुणा किया जाता हैदो अलग से। सिस्टम में हल होने वाला यह पहला समीकरण होगा।
दूसरा स्थिति से ज्ञात पक्षानुपात से संबंधित है। पहला पक्ष, यानी लंबाई, दूसरी (चौड़ाई) और संख्या 1, 5 के गुणनफल के बराबर है। इस समानता को परिधि के सूत्र में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।
यह पता चलता है कि यह दो एकपदी के योग के बराबर है। पहला 2 और एक अज्ञात चौड़ाई का गुणनफल है, दूसरा संख्या 2 और 1, 5 और समान चौड़ाई का गुणनफल है। इस समीकरण में केवल एक अज्ञात है - यह चौड़ाई है। आपको इसे गिनने की जरूरत है, और फिर लंबाई की गणना करने के लिए दूसरी समानता का उपयोग करें। केवल आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए इन दोनों संख्याओं को गुणा करना शेष है।
गणना निम्नलिखित मान देती है: चौड़ाई - 8 सेमी, लंबाई - 12 सेमी, और क्षेत्रफल - 96 सेमी2। अंतिम संख्या मानी गई समस्या का उत्तर है।
