पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें: आधार, भुजा और पूर्ण?

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

गणित में परीक्षा की तैयारी करते समय, छात्रों को बीजगणित और ज्यामिति के अपने ज्ञान को व्यवस्थित करना होता है। मैं सभी ज्ञात जानकारी को जोड़ना चाहता हूं, उदाहरण के लिए, पिरामिड के क्षेत्र की गणना कैसे करें। इसके अलावा, बेस और साइड फेस से शुरू होकर पूरे सतह क्षेत्र तक। यदि भुजाओं के फलकों के साथ स्थिति स्पष्ट है, क्योंकि वे त्रिभुज हैं, तो आधार हमेशा भिन्न होता है।

पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

यह बिल्कुल किसी भी आकार का हो सकता है: एक मनमाना त्रिभुज से एक n-gon तक। और यह आधार, कोणों की संख्या में अंतर के अलावा, एक नियमित आंकड़ा या गलत हो सकता है। स्कूली बच्चों के हित के यूएसई कार्यों में, आधार पर सही आंकड़ों के साथ ही कार्य होते हैं। इसलिए हम उनके बारे में ही बात करेंगे।

नियमित त्रिभुज

वह समबाहु है। एक जिसमें सभी भुजाएँ समान हैं और "a" अक्षर से निरूपित होती हैं। इस मामले में, पिरामिड के आधार के क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस=(ए23) / 4.

वर्ग

इसके क्षेत्रफल की गणना का सूत्र सबसे सरल है,यहाँ "ए" फिर से पक्ष है:

एस=ए2.

मनमाना नियमित एन-गॉन

बहुभुज की भुजा का पदनाम समान होता है। कोनों की संख्या के लिए लैटिन अक्षर n का प्रयोग किया जाता है।

एस=(एनए2) / (4टीजी (180º/एन))।

पार्श्व और कुल सतह क्षेत्र की गणना कैसे करें?

चूंकि आधार एक नियमित आकृति है, पिरामिड की सभी भुजाएं समान हैं। इसके अलावा, उनमें से प्रत्येक एक समद्विबाहु त्रिभुज है, क्योंकि किनारे बराबर हैं। फिर, पिरामिड के पार्श्व क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको समान मोनोमियल के योग से युक्त एक सूत्र की आवश्यकता होती है। पदों की संख्या आधार की भुजाओं की संख्या से निर्धारित होती है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना उस सूत्र द्वारा की जाती है जिसमें आधार के आधे गुणन को ऊंचाई से गुणा किया जाता है। पिरामिड में इस ऊंचाई को एपोथेम कहा जाता है। इसका पदनाम "ए" है। पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए सामान्य सूत्र है:

S=½ PA, जहां P पिरामिड के आधार की परिधि है।

ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब आधार की भुजाएँ ज्ञात नहीं होती हैं, लेकिन भुजाएँ (c) और इसके शीर्ष पर समतल कोण (α) दिए जाते हैं। फिर पिरामिड के पार्श्व क्षेत्र की गणना करने के लिए इस सूत्र का उपयोग करना चाहिए:

S=n/2में2 पाप α.

समस्या 1

हालत। पिरामिड का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि इसका आधार एक समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा 4 सेमी है और एपोथेम √3 सेमी है।

निर्णय। उसकाआपको आधार की परिधि की गणना करके शुरू करने की आवश्यकता है। चूंकि यह एक नियमित त्रिकोण है, तो पी \u003d 34 \u003d 12 सेमी। चूंकि एपोथेम ज्ञात है, आप तुरंत पूरे पार्श्व सतह के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं: ½123=6 √3 सेमी 2.

आधार पर एक त्रिभुज के लिए, आपको निम्नलिखित क्षेत्रफल मान मिलता है: (4²√3) / 4=4√3 सेमी^2.

कुल क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए, आपको दो परिणामी मान जोड़ने होंगे: 6√3 + 4√3=10√3 सेमी2।

जवाब। 10√3cm2।

समस्या 2

हालत। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड है। आधार के किनारे की लंबाई 7 मिमी है, किनारे का किनारा 16 मिमी है। आपको इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल जानना होगा।

निर्णय। चूँकि बहुफलक चतुर्भुज और नियमित है, तो इसका आधार एक वर्ग है। आधार और पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों को जानने के बाद, पिरामिड के क्षेत्र की गणना करना संभव होगा। वर्ग का सूत्र ऊपर दिया गया है। और भुजाओं के फलकों पर त्रिभुज की सभी भुजाएँ ज्ञात होती हैं। इसलिए, आप उनके क्षेत्रों की गणना करने के लिए हीरोन के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

पहली गणना सरल है और इस संख्या तक ले जाती है: 49 मिमी²। दूसरे मान के लिए, आपको अर्ध-परिधि की गणना करने की आवश्यकता होगी: (7 + 162): 2=19.5 मिमी। अब आप समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं: √(19.5(19.5-7)(19.5-16)²)=√2985.9375=54.644 मिमी ^{2। ऐसे केवल चार त्रिभुज हैं, इसलिए अंतिम संख्या की गणना करते समय, आपको इसे 4 से गुणा करना होगा।}

यह निकला: 49 + 454, 644=267, 576 मिमी2।

जवाब। वांछित मूल्य 267, 576मिमी2.

समस्या 3

हालत। एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के लिए, आपको क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है। यह वर्ग की भुजा - 6 सेमी और ऊँचाई - 4 सेमी जानता है।

निर्णय। परिधि और एपोथेम के उत्पाद के साथ सूत्र का उपयोग करना सबसे आसान तरीका है। पहला मूल्य खोजना आसान है। दूसरा थोड़ा और कठिन है।

हमें पाइथागोरस प्रमेय को याद रखना होगा और एक समकोण त्रिभुज पर विचार करना होगा। यह पिरामिड और एपोथेम की ऊंचाई से बनता है, जो कर्ण है। दूसरा पैर वर्ग के आधे भाग के बराबर है, क्योंकि पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई इसके बीच में आती है।

इच्छित एपोथेम (एक समकोण त्रिभुज का कर्ण) है √(3² + 4^{2)=5 (सेमी).}

अब आप आवश्यक मान की गणना कर सकते हैं: ½(46)5+6²=96 (देखें²⁾

जवाब। 96 सेमी2.

समस्या 4

हालत। एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड दिया गया है। इसके आधार की भुजाएँ 22 मिमी, पार्श्व पसलियाँ 61 मिमी हैं। इस बहुफलक का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कितना है?

निर्णय। इसमें तर्क वही है जो समस्या संख्या 2 में वर्णित है। केवल आधार पर एक वर्ग के साथ एक पिरामिड दिया गया था, और अब यह एक षट्भुज है।

सबसे पहले, आधार के क्षेत्रफल की गणना उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके की जाती है: (622²) / (4tg (180º/6))=726/(tg30º)=726 √3 सेमी^2।

अब आपको एक समद्विबाहु त्रिभुज का अर्ध-परिधि ज्ञात करना है, जो कि भुजा का फलक है। (22 + 612): 2 \u003d 72 सेमी। यह ऐसे प्रत्येक के क्षेत्र की गणना करने के लिए बनी हुई हैत्रिकोण, और फिर इसे छह से गुणा करें और इसे उस आधार पर जोड़ दें जो आधार के लिए निकला था।

बगुला के सूत्र द्वारा गणना: √(72(72-22)(72-61)²)=√435600=660 सेमी^{2. गणना जो पार्श्व सतह क्षेत्र देगी: 6606=3960 सेमी}2^{। पूरी सतह का पता लगाने के लिए उन्हें जोड़ना बाकी है: 5217, 47≈5217 सेमी}2^।

जवाब। आधार - 726√3cm², पार्श्व सतह - 3960cm², कुल क्षेत्रफल - 5217cm^2.