उलटा त्रिकोणमितीय कार्य पारंपरिक रूप से स्कूली बच्चों के लिए मुश्किलें पैदा करते हैं। किसी संख्या के चाप स्पर्शरेखा की गणना करने की क्षमता की आवश्यकता USE कार्यों में प्लेनीमेट्री और स्टीरियोमेट्री में हो सकती है। एक समीकरण और एक पैरामीटर के साथ एक समस्या को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको चाप स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के गुणों की समझ होनी चाहिए।
परिभाषा
किसी संख्या x की चाप स्पर्श रेखा एक संख्या y है जिसकी स्पर्श रेखा x है। यह गणितीय परिभाषा है।
आर्कटेंजेंट फ़ंक्शन को y=arctg x के रूप में लिखा जाता है।
आम तौर पर: y=Carctg (kx + a).
गणना
आर्कटेंजेंट का व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य कैसे काम करता है, यह समझने के लिए, आपको सबसे पहले यह याद रखना होगा कि किसी संख्या की स्पर्शरेखा का मान कैसे निर्धारित किया जाता है। आइए करीब से देखें।
x की स्पर्श रेखा x की ज्या का x की कोज्या से अनुपात है। यदि इन दो राशियों में से कम से कम एक राशि ज्ञात हो, तो दूसरी का मापांक मूल त्रिकोणमितीय पहचान से प्राप्त किया जा सकता है:
पाप2 x + क्योंकि2 x=1.
जाहिर है, मॉड्यूल को अनलॉक करने के लिए एक आकलन की आवश्यकता होगी।
अगरसंख्या स्वयं ज्ञात है, न कि इसकी त्रिकोणमितीय विशेषताओं, तो ज्यादातर मामलों में ब्रैडिस तालिका का हवाला देकर संख्या के स्पर्शरेखा का लगभग अनुमान लगाना आवश्यक है।
अपवाद तथाकथित मानक मान हैं।
उन्हें निम्न तालिका में प्रस्तुत किया गया है:
उपरोक्त के अलावा, ½πк (к - कोई पूर्णांक,=3, 14) की संख्या जोड़कर डेटा से प्राप्त किसी भी मान को मानक माना जा सकता है।
चाप स्पर्शरेखा के लिए भी यही सच है: अक्सर अनुमानित मूल्य तालिका से देखा जा सकता है, लेकिन केवल कुछ ही मान निश्चित रूप से ज्ञात हैं:
व्यवहार में, स्कूली गणित की समस्याओं को हल करते समय, एक व्यंजक के रूप में उत्तर देने की प्रथा है जिसमें चाप स्पर्शरेखा होती है, न कि इसका अनुमानित अनुमान। उदाहरण के लिए, आर्कटिक 6, आर्कटग (-¼).
ग्राफ प्लॉट करना
चूंकि स्पर्शरेखा कोई भी मान ले सकती है, चाप स्पर्शरेखा फलन का प्रांत पूर्ण संख्या रेखा है। आइए विस्तार से बताते हैं।
एक ही स्पर्शरेखा अनंत संख्या में तर्कों से मेल खाती है। उदाहरण के लिए, न केवल शून्य की स्पर्शरेखा शून्य के बराबर होती है, बल्कि π k के रूप की किसी भी संख्या की स्पर्शरेखा भी होती है, जहाँ k एक पूर्णांक है। इसलिए, गणितज्ञ -½ से ½ तक के अंतराल से चाप स्पर्शरेखा के लिए मान चुनने पर सहमत हुए। इसे इस प्रकार समझना चाहिए। चाप स्पर्शरेखा फलन का परिसर अंतराल (-½; ½) है। अंतराल के सिरों को शामिल नहीं किया गया है, क्योंकि स्पर्शरेखा -½p और ½p मौजूद नहीं हैं।
निर्दिष्ट अंतराल पर, स्पर्शरेखा निरंतर होती हैबढ़ती है। इसका अर्थ यह है कि चाप स्पर्शरेखा का प्रतिलोम फलन भी संपूर्ण संख्या रेखा पर लगातार बढ़ रहा है, लेकिन ऊपर और नीचे से घिरा हुआ है। नतीजतन, इसके दो क्षैतिज अनंतस्पर्शी हैं: y=-½ और y=½.
इस स्थिति में, tg 0=0, भुज अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के अन्य बिंदु, (0;0) को छोड़कर, ग्राफ में वृद्धि के कारण नहीं हो सकता है।
स्पर्शरेखा फलन की समता से निम्नानुसार है, चाप स्पर्शरेखा का गुण समान होता है।
ग्राफ बनाने के लिए, मानक मानों में से कई बिंदु लें:
किसी भी बिंदु पर फंक्शन y=arctg x का व्युत्पन्न सूत्र द्वारा परिकलित किया जाता है:
ध्यान दें कि इसका व्युत्पन्न हर जगह सकारात्मक है। यह फ़ंक्शन की निरंतर वृद्धि के बारे में पहले किए गए निष्कर्ष के अनुरूप है।
आर्कटेंजेंट का दूसरा व्युत्पन्न बिंदु 0 पर गायब हो जाता है, तर्क के सकारात्मक मूल्यों के लिए नकारात्मक है, और इसके विपरीत।
इसका मतलब है कि चाप स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ में शून्य पर एक विभक्ति बिंदु होता है और अंतराल पर नीचे की ओर उत्तल होता है (-∞; 0] और अंतराल पर ऊपर की ओर उत्तल होता है [0; +∞).
