चतुष्कोणीय प्रिज्म: ऊंचाई, विकर्ण, क्षेत्रफल

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

ठोस ज्यामिति के स्कूली पाठ्यक्रम में, तीन स्थानिक अक्षों के साथ गैर-शून्य आयामों वाली सबसे सरल आकृतियों में से एक चतुर्भुज प्रिज्म है। लेख में विचार करें कि यह किस प्रकार की आकृति है, इसमें कौन से तत्व हैं, और यह भी कि आप इसके सतह क्षेत्र और आयतन की गणना कैसे कर सकते हैं।

प्रिज्म की अवधारणा

ज्यामिति में, एक प्रिज्म एक स्थानिक आकृति होती है, जो दो समान आधारों और इन आधारों के पक्षों को जोड़ने वाली पार्श्व सतहों से बनती है। ध्यान दें कि कुछ वेक्टर द्वारा समानांतर अनुवाद के संचालन का उपयोग करके दोनों आधार एक दूसरे में परिवर्तित हो जाते हैं। प्रिज्म का यह नियतन इस तथ्य की ओर ले जाता है कि इसके सभी पक्ष हमेशा समांतर चतुर्भुज होते हैं।

आधार की भुजाओं की संख्या तीन से शुरू होकर मनमानी हो सकती है। जब यह संख्या अनंत तक जाती है, तो प्रिज्म सुचारू रूप से एक सिलेंडर में बदल जाता है, क्योंकि इसका आधार एक वृत्त बन जाता है, और पार्श्व समांतर चतुर्भुज, जुड़कर, एक बेलनाकार सतह बनाते हैं।

किसी भी बहुफलक की तरह, एक प्रिज्म की विशेषता होती हैपक्ष (आकृति को बांधने वाले विमान), किनारों (खंड जिसके साथ कोई भी दो पक्ष प्रतिच्छेद करते हैं) और कोने (तीन पक्षों के मिलन बिंदु, एक प्रिज्म के लिए उनमें से दो पार्श्व हैं, और तीसरा आधार है)। आकृति के नामित तीन तत्वों की मात्राएँ निम्नलिखित व्यंजक द्वारा परस्पर जुड़ी हुई हैं:

पी=सी + बी - 2

यहाँ P, C और B क्रमशः किनारों, भुजाओं और शीर्षों की संख्या है। यह व्यंजक यूलर के प्रमेय का गणितीय संकेतन है।

उपरोक्त तस्वीर दो प्रिज्म दिखाती है। उनमें से एक के आधार पर (ए) एक नियमित षट्भुज है, और पक्ष पक्ष आधारों के लंबवत हैं। चित्रा बी एक और प्रिज्म दिखाता है। इसकी भुजाएँ अब आधारों के लंबवत नहीं हैं, और आधार एक नियमित पंचभुज है।

चतुष्कोणीय प्रिज्म क्या है?

जैसा कि ऊपर दिए गए विवरण से स्पष्ट है, प्रिज्म का प्रकार मुख्य रूप से आधार बनाने वाले बहुभुज के प्रकार से निर्धारित होता है (दोनों आधार समान हैं, इसलिए हम उनमें से एक के बारे में बात कर सकते हैं)। यदि यह बहुभुज एक समांतर चतुर्भुज है, तो हमें एक चतुर्भुज प्रिज्म प्राप्त होता है। इस प्रकार, इस प्रकार के प्रिज्म की सभी भुजाएँ समांतर चतुर्भुज होती हैं। एक चतुर्भुज प्रिज्म का अपना नाम होता है - एक समानांतर चतुर्भुज।

एक समान्तर चतुर्भुज की भुजाओं की संख्या छह होती है, और प्रत्येक भुजा इसके समान्तर समान होती है। चूँकि बॉक्स के आधार दो भुजाएँ हैं, शेष चार पार्श्व हैं।

समांतर चतुर्भुज के शीर्षों की संख्या आठ है, जिसे देखना आसान है यदि हम याद रखें कि प्रिज्म के शीर्ष केवल आधार बहुभुज (4x2=8) के शीर्षों पर बनते हैं। यूलर प्रमेय को लागू करने पर, हमें किनारों की संख्या प्राप्त होती है:

पी=सी + बी - 2=6 + 8 - 2=12

12 पसलियों में से केवल 4 भुजाओं से स्वतंत्र रूप से बनती हैं। शेष 8 आकृति के आधारों के तलों में स्थित हैं।

आगे लेख में हम केवल चतुर्भुज प्रिज्म के बारे में बात करेंगे।

समानांतर चतुर्भुज के प्रकार

पहला प्रकार का वर्गीकरण अंतर्निहित समांतर चतुर्भुज की विशेषताएं हैं। यह इस तरह दिख सकता है:

नियमित, जिनके कोण 90^o;

के बराबर नहीं हैं

आयत;
एक वर्ग एक नियमित चतुर्भुज है।

दूसरे प्रकार का वर्गीकरण वह कोण है जिस पर भुजा आधार को काटती है। यहां दो अलग-अलग मामले संभव हैं:

यह कोण सीधा नहीं है तो प्रिज्म को तिरछा या तिरछा कहते हैं;
कोण 90^o है, तो ऐसा प्रिज्म आयताकार या सीधा होता है।

तीसरे प्रकार का वर्गीकरण प्रिज्म की ऊंचाई से संबंधित है। यदि प्रिज्म आयताकार है, और आधार या तो वर्ग या आयत है, तो इसे घनाभ कहा जाता है। यदि आधार पर एक वर्ग है, प्रिज्म आयताकार है, और इसकी ऊंचाई वर्ग की भुजा की लंबाई के बराबर है, तो हमें प्रसिद्ध घन आकृति मिलती है।

प्रिज्म की सतह और क्षेत्र

एक प्रिज्म के दो आधारों पर स्थित सभी बिंदुओं का समुच्चय(समांतर चतुर्भुज) और इसके किनारों पर (चार समांतर चतुर्भुज) आकृति की सतह बनाते हैं। इस सतह के क्षेत्रफल की गणना आधार के क्षेत्रफल और पार्श्व सतह के लिए इस मान की गणना करके की जा सकती है। तब उनका योग वांछित मूल्य देगा। गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

एस=2एस_ओ+ एस_बी

यहाँ S_o और S_b क्रमशः आधार और पार्श्व सतह का क्षेत्रफल हैं। S_o से पहले नंबर 2 दिखाई देता है क्योंकि दो आधार होते हैं।

ध्यान दें कि लिखित सूत्र किसी भी प्रिज्म के लिए मान्य है, न कि केवल एक चतुर्भुज प्रिज्म के क्षेत्रफल के लिए।

यह याद रखना उपयोगी है कि समांतर चतुर्भुज S_p का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा परिकलित किया जाता है:

एस_पी=एएच

जहां प्रतीक ए और एच क्रमशः इसकी एक भुजा की लंबाई और इस तरफ खींची गई ऊंचाई को दर्शाते हैं।

एक वर्गाकार आधार वाले आयताकार प्रिज्म का क्षेत्रफल

एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म में, आधार एक वर्ग है। निश्चितता के लिए, हम इसके पक्ष को अक्षर a से निरूपित करते हैं। एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, आपको इसकी ऊंचाई पता होनी चाहिए। इस राशि की परिभाषा के अनुसार, यह एक आधार से दूसरे आधार पर गिराए गए लंब की लंबाई के बराबर है, अर्थात उनके बीच की दूरी के बराबर है। आइए इसे अक्षर h से निरूपित करें। चूँकि सभी पार्श्व फलक विचाराधीन प्रिज्म के प्रकार के आधारों के लंबवत हैं, एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म की ऊँचाई उसके पार्श्व किनारे की लंबाई के बराबर होगी।

बीकिसी प्रिज्म के पृष्ठीय क्षेत्रफल का सामान्य सूत्र दो पद होते हैं। इस मामले में आधार के क्षेत्र की गणना करना आसान है, यह इसके बराबर है:

एस_ओ=ए²

पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए, हम इस प्रकार तर्क देते हैं: यह सतह 4 समान आयतों से बनी है। इसके अलावा, उनमें से प्रत्येक की भुजाएँ a और h के बराबर हैं। इसका मतलब है कि S_b का क्षेत्रफल बराबर होगा:

एस_बी=4एएच

ध्यान दें कि गुणन 4a वर्गाकार आधार का परिमाप है। यदि हम इस व्यंजक को एक मनमाना आधार के मामले में सामान्यीकृत करते हैं, तो एक आयताकार प्रिज्म के लिए पार्श्व सतह की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

एस_बी=पी_ओएच

जहाँ P_o आधार का परिमाप है।

एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के क्षेत्रफल की गणना की समस्या पर लौटते हुए, हम अंतिम सूत्र लिख सकते हैं:

S=2S_o+ S_b=2a²+ 4 एएच=2ए(ए+2एच)

तिरछी समानांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल

आयताकार की तुलना में इसकी गणना करना कुछ अधिक कठिन है। इस मामले में, एक चतुर्भुज प्रिज्म के आधार क्षेत्र की गणना उसी सूत्र का उपयोग करके की जाती है जैसे कि समांतर चतुर्भुज के लिए। परिवर्तन पार्श्व सतह क्षेत्र के निर्धारण के तरीके से संबंधित हैं।

ऐसा करने के लिए, परिधि के माध्यम से उसी सूत्र का उपयोग करें जैसा कि ऊपर पैराग्राफ में दिया गया है। केवल अब इसमें थोड़े अलग गुणक होंगे। तिरछे प्रिज्म के मामले में S_b के लिए सामान्य सूत्र है:

एस_बी=पी_एसआरसी

यहाँ c आकृति के किनारे के किनारे की लंबाई है।मान P_sr आयताकार स्लाइस की परिधि है। यह वातावरण इस प्रकार बनाया गया है: सभी पक्षों के चेहरों को एक विमान के साथ काटना आवश्यक है ताकि यह उन सभी के लंबवत हो। परिणामी आयत वांछित कट होगा।

उपरोक्त आंकड़ा एक तिरछे बॉक्स का एक उदाहरण दिखाता है। इसका क्रॉस-हैचेड सेक्शन पक्षों के साथ समकोण बनाता है। खंड की परिधि P_sr है। यह पार्श्व समांतर चतुर्भुज की चार ऊँचाइयों से बनता है। इस चतुर्भुज प्रिज्म के लिए, पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके की जाती है।

घनाभ के विकर्ण की लंबाई

एक समांतर चतुर्भुज का विकर्ण एक ऐसा खंड है जो दो शीर्षों को जोड़ता है जिनमें उभयनिष्ठ भुजाएँ नहीं होती हैं जो उन्हें बनाती हैं। किसी भी चतुष्कोणीय प्रिज्म में केवल चार विकर्ण होते हैं। एक घनाभ के लिए जिसके आधार पर एक आयत है, सभी विकर्णों की लंबाई एक दूसरे के बराबर होती है।

नीचे दिया गया आंकड़ा इसी आंकड़े को दर्शाता है। लाल खंड इसका विकर्ण है।

अगर आपको पाइथागोरस प्रमेय याद है तो इसकी लंबाई की गणना करना बहुत आसान है। प्रत्येक छात्र को वांछित सूत्र मिल सकता है। इसका निम्न रूप है:

डी=(ए²+ बी² + सी²)

यहाँ D विकर्ण की लंबाई है। शेष वर्ण बॉक्स के किनारों की लंबाई हैं।

कई लोग समांतर चतुर्भुज के विकर्ण को उसकी भुजाओं के विकर्णों के साथ भ्रमित करते हैं। नीचे एक तस्वीर है जहां रंगीनखंड आकृति के पक्षों के विकर्णों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

एक समानांतर चतुर्भुज के पक्षों के विकर्ण

इनमें से प्रत्येक की लंबाई भी पाइथागोरस प्रमेय द्वारा निर्धारित की जाती है और संगत भुजा की लंबाई के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर होती है।

प्रिज्म वॉल्यूम

एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म या अन्य प्रकार के प्रिज्मों के क्षेत्रफल के अलावा कुछ ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए उनका आयतन भी जानना चाहिए। किसी भी प्रिज्म के लिए यह मान निम्न सूत्र द्वारा परिकलित किया जाता है:

वी=एस_ओएच

यदि प्रिज्म आयताकार है, तो यह उसके आधार के क्षेत्रफल की गणना करने और आकृति का आयतन प्राप्त करने के लिए किनारे के किनारे की लंबाई से गुणा करने के लिए पर्याप्त है।

यदि प्रिज्म एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म है, तो इसका आयतन होगा:

वी=ए²एच.

यह देखना आसान है कि यह सूत्र घन के आयतन के लिए एक व्यंजक में परिवर्तित हो जाता है यदि किनारे के किनारे की लंबाई h आधार की भुजा के बराबर हो।

घनाभ के साथ समस्या

पठित सामग्री को समेकित करने के लिए, हम निम्नलिखित समस्या को हल करेंगे: एक आयताकार समांतर चतुर्भुज है जिसकी भुजाएँ 3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी हैं। इसकी सतह क्षेत्र, विकर्ण लंबाई और आयतन की गणना करना आवश्यक है।

निश्चितता के लिए, हम मानेंगे कि आकृति का आधार एक आयत है जिसकी भुजाएँ 3 सेमी और 4 सेमी हैं, तो इसका क्षेत्रफल 12 सेमी² है, और आवर्त 14 सेमी है। प्रिज्म के सतह क्षेत्र के लिए सूत्र का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

S=2S_o+ S_b=212 + 514=24 + 70=94cm 2

विकर्ण की लंबाई और आकृति का आयतन निर्धारित करने के लिए, आप सीधे उपरोक्त भावों का उपयोग कर सकते हैं:

डी=√(3²+4²+5²)=7 071 सेमी;

वी=345=60 सेमी³।

तिरछी समानांतर चतुर्भुज के साथ समस्या

नीचे दिए गए चित्र में एक तिरछा प्रिज्म दिखाया गया है। इसकी भुजाएँ बराबर हैं: a=10 cm, b=8 cm, c=12 cm आपको इस आकृति का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

पहले, आइए आधार का क्षेत्रफल निर्धारित करें। चित्र से पता चलता है कि न्यून कोण 50^o है। तो इसका क्षेत्रफल है:

S_o=ha=sin(50^o)ba

पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको छायांकित आयत का परिमाप ज्ञात करना चाहिए। इस आयत की भुजाएँ हैं asin(45^o) और bsin(60^o)। तब इस आयत का परिमाप है: