प्रिज्म काफी सरल ज्यामितीय त्रि-आयामी आकृति है। फिर भी, कुछ स्कूली बच्चों को इसके मुख्य गुणों को निर्धारित करने में समस्या होती है, जिसका कारण, एक नियम के रूप में, गलत तरीके से इस्तेमाल की जाने वाली शब्दावली से जुड़ा है। इस लेख में, हम विचार करेंगे कि प्रिज्म क्या हैं, उन्हें क्या कहा जाता है, और सही चतुर्भुज प्रिज्म का भी विस्तार से वर्णन करते हैं।
ज्यामिति में प्रिज्म
त्रिविमीय आकृतियों का अध्ययन स्टीरियोमेट्री का कार्य है - स्थानिक ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण भाग। स्टीरियोमेट्री में, एक प्रिज्म को एक ऐसी आकृति के रूप में समझा जाता है, जो अंतरिक्ष में एक निश्चित दूरी पर एक मनमाना फ्लैट बहुभुज के समानांतर अनुवाद द्वारा बनाई जाती है। समानांतर अनुवाद का तात्पर्य एक ऐसी गति से है जिसमें बहुभुज के तल के लंबवत अक्ष के चारों ओर घूमना पूरी तरह से बाहर रखा गया है।
प्रिज्म प्राप्त करने की वर्णित विधि के परिणामस्वरूप, एक आकृति बनती है, जो दो तक सीमित होती हैसमान आयाम वाले बहुभुज, समानांतर विमानों में स्थित हैं, और एक निश्चित संख्या में समांतर चतुर्भुज हैं। उनकी संख्या बहुभुज की भुजाओं (शीर्षों) की संख्या से मेल खाती है। समरूप बहुभुजों को प्रिज्म का आधार कहा जाता है, और उनका सतह क्षेत्र आधारों का क्षेत्रफल होता है। दो आधारों को जोड़ने वाले समांतर चतुर्भुज एक पार्श्व सतह बनाते हैं।
प्रिज्म तत्व और यूलर की प्रमेय
चूंकि विचाराधीन त्रिविमीय आकृति एक बहुफलक है, अर्थात यह प्रतिच्छेदन तलों के एक समुच्चय द्वारा बनाई गई है, यह एक निश्चित संख्या में शीर्षों, किनारों और फलकों की विशेषता है। वे सभी एक प्रिज्म के तत्व हैं।
अठारहवीं शताब्दी के मध्य में, स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर ने एक बहुफलक के मूल तत्वों की संख्या के बीच एक संबंध स्थापित किया। यह संबंध निम्नलिखित सरल सूत्र से लिखा गया है:
किनारों की संख्या=शीर्षों की संख्या + फलकों की संख्या - 2
किसी भी प्रिज्म के लिए यह समानता सत्य है। आइए इसके उपयोग का एक उदाहरण दें। मान लीजिए कि एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म है। वह नीचे चित्रित है।
यह देखा जा सकता है कि इसके लिए शीर्षों की संख्या 8 (प्रत्येक चतुर्भुज आधार के लिए) है। भुजाओं या फलकों की संख्या 6 (2 आधार और 4 भुजा आयत) है। तो इसके किनारों की संख्या होगी:
पसलियों की संख्या=8 + 6 - 2=12
उन सभी को गिना जा सकता है यदि आप एक ही तस्वीर का संदर्भ लें। आठ किनारे आधारों पर स्थित हैं, और चार किनारे इन आधारों के लंबवत हैं।
प्रिज्म का पूर्ण वर्गीकरण
इस वर्गीकरण को समझना महत्वपूर्ण है ताकि आप बाद में शब्दावली में भ्रमित न हों और गणना करने के लिए सही सूत्रों का उपयोग करें, उदाहरण के लिए, सतह क्षेत्र या आंकड़ों का आयतन।
मनमाने आकार के किसी भी प्रिज्म के लिए, 4 विशेषताओं को प्रतिष्ठित किया जा सकता है जो इसकी विशेषता होगी। आइए उन्हें सूचीबद्ध करें:
- आधार पर बहुभुज के कोनों की संख्या से: त्रिकोणीय, पंचकोणीय, अष्टकोणीय और इसी तरह।
- बहुभुज प्रकार। यह सही या गलत हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक समकोण त्रिभुज अनियमित है, लेकिन एक समबाहु त्रिभुज सही है।
- बहुभुज उत्तलता के प्रकार के अनुसार। यह अवतल या उत्तल हो सकता है। उत्तल प्रिज्म सबसे आम हैं।
- आधारों और पार्श्व समांतर चतुर्भुजों के बीच के कोणों पर। यदि ये सभी कोण 90o के बराबर हों, तो वे समकोण प्रिज्म की बात करते हैं, यदि सभी सही नहीं हैं, तो ऐसी आकृति तिरछी कहलाती है।
इन सभी बिंदुओं में से, मैं अंतिम पर ध्यान देना चाहूंगा। एक सीधे प्रिज्म को आयताकार प्रिज्म भी कहा जाता है। यह इस तथ्य के कारण है कि इसके लिए समांतर चतुर्भुज सामान्य स्थिति में आयत होते हैं (कुछ मामलों में वे वर्ग हो सकते हैं)।
उदाहरण के लिए, ऊपर दी गई आकृति एक पंचकोणीय अवतल आयताकार या सीधी आकृति दिखाती है।
नियमित चतुर्भुज प्रिज्म
इस प्रिज्म का आधार एक नियमित चतुर्भुज यानि एक वर्ग है। ऊपर दिया गया चित्र पहले ही दिखा चुका है कि यह प्रिज्म कैसा दिखता है। दो वर्गों के अलावा कि उसेऊपर और नीचे की सीमा, इसमें 4 आयत भी शामिल हैं।
आइए एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के आधार के किनारे को अक्षर a से निरूपित करें, इसके पार्श्व किनारे की लंबाई को अक्षर c द्वारा दर्शाया जाएगा। यह लंबाई भी आकृति की ऊंचाई है। फिर इस प्रिज्म की पूरी सतह का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है:
S=2a2+ 4ac=2a(a + 2c)
यहाँ पहला पद कुल क्षेत्रफल में आधारों के योगदान को दर्शाता है, दूसरा पद पार्श्व सतह का क्षेत्रफल है।
पक्षों की लंबाई के लिए शुरू किए गए पदनामों को ध्यान में रखते हुए, हम प्रश्न में आकृति के आयतन के लिए सूत्र लिखते हैं:
वी=ए2सी
अर्थात आयतन की गणना वर्गाकार आधार के क्षेत्रफल और पार्श्व किनारे की लंबाई के गुणनफल के रूप में की जाती है।
घन आकार
इस आदर्श त्रि-आयामी आकृति को सभी जानते हैं, लेकिन कम ही लोगों ने सोचा कि यह एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म है, जिसकी भुजा वर्गाकार आधार की भुजा की लंबाई के बराबर है, अर्थात c=a.
एक घन के लिए, कुल सतह क्षेत्र और आयतन के सूत्र रूप लेंगे:
एस=6ए2
वी=ए3
चूंकि घन एक प्रिज्म है जिसमें 6 समान वर्ग होते हैं, उनमें से किसी भी समानांतर जोड़ी को आधार माना जा सकता है।
घन एक अत्यधिक सममित आकृति है, जो प्रकृति में कई धातु सामग्री और आयनिक क्रिस्टल के क्रिस्टल जाली के रूप में महसूस की जाती है। उदाहरण के लिए, सोने, चांदी, तांबे और मेज की जालीलवण घन होते हैं।
