इंटीग्रल की अवधारणा का उद्भव इसके व्युत्पन्न द्वारा एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन को खोजने की आवश्यकता के साथ-साथ काम की मात्रा, जटिल आंकड़ों के क्षेत्र, यात्रा की गई दूरी, के साथ निर्धारित करने के कारण हुआ था। गैर-रेखीय सूत्रों द्वारा वर्णित वक्रों द्वारा उल्लिखित पैरामीटर।
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और भौतिकी जानती है कि कार्य बल और दूरी के गुणनफल के बराबर है। यदि सभी गति एक स्थिर गति से होती है या एक ही बल के प्रयोग से दूरी दूर हो जाती है, तो सब कुछ स्पष्ट है, आपको बस उन्हें गुणा करने की आवश्यकता है। एक स्थिरांक का अभिन्न अंग क्या है? यह y=kx+c के रूप का एक रैखिक फलन है।
लेकिन कार्य के दौरान बल बदल सकता है, और किसी प्रकार की प्राकृतिक निर्भरता में। यदि गति स्थिर नहीं है तो तय की गई दूरी की गणना के साथ भी यही स्थिति होती है।
तो, यह स्पष्ट है कि इंटीग्रल किस लिए है। तर्क की एक असीम वृद्धि द्वारा फ़ंक्शन मानों के उत्पादों के योग के रूप में इसकी परिभाषा पूरी तरह से इस अवधारणा के मुख्य अर्थ को फ़ंक्शन की रेखा से ऊपर से बंधे एक आकृति के क्षेत्र के रूप में वर्णित करती है, और पर परिभाषा की सीमाओं से किनारों।
जीन गैस्टन डारबौक्स, फ्रांसीसी गणितज्ञ, XIX की दूसरी छमाही मेंसदी ने बहुत स्पष्ट रूप से समझाया कि एक अभिन्न क्या है। उन्होंने इतना स्पष्ट कर दिया कि सामान्य तौर पर एक जूनियर हाई स्कूल के छात्र के लिए भी इस मुद्दे को समझना मुश्किल नहीं होगा।
मान लें कि किसी भी जटिल रूप का एक कार्य है। वाई-अक्ष, जिस पर तर्क के मूल्यों को प्लॉट किया जाता है, छोटे अंतराल में विभाजित होता है, आदर्श रूप से वे असीम रूप से छोटे होते हैं, लेकिन चूंकि अनंत की अवधारणा बल्कि अमूर्त है, यह केवल छोटे खंडों की कल्पना करने के लिए पर्याप्त है, मान जिनमें से आमतौर पर ग्रीक अक्षर (डेल्टा) द्वारा निरूपित किया जाता है।
समारोह छोटी ईंटों में "काट" निकला।
प्रत्येक तर्क मान y-अक्ष पर एक बिंदु से मेल खाता है, जिस पर संबंधित फ़ंक्शन मान प्लॉट किए जाते हैं। लेकिन चूंकि चयनित क्षेत्र की दो सीमाएँ हैं, इसलिए फ़ंक्शन के दो मान भी कम और अधिक होंगे।
वृद्धि द्वारा बड़े मूल्यों के उत्पादों के योग को बड़ा डारबौक्स योग कहा जाता है, और इसे एस के रूप में दर्शाया जाता है। तदनुसार, सीमित क्षेत्र में छोटे मान, Δ से गुणा, सभी एक साथ एक छोटा Darboux sum s बनाएं। यह खंड अपने आप में एक आयताकार समलम्बाकार जैसा दिखता है, क्योंकि इसके अतिसूक्ष्म वृद्धि के साथ फलन की रेखा की वक्रता की उपेक्षा की जा सकती है। इस तरह की ज्यामितीय आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सबसे आसान तरीका है कि फ़ंक्शन के बड़े और छोटे मान के उत्पादों को -increment द्वारा जोड़ा जाए और दो से विभाजित किया जाए, अर्थात इसे अंकगणित माध्य के रूप में निर्धारित किया जाए।
डारबौक्स इंटीग्रल यही है:
s=Σf(x) Δ एक छोटी राशि है;
एस=Σf(x+Δ)Δ एक बड़ी राशि है।
तो एक अभिन्न क्या है? फ़ंक्शन लाइन और परिभाषा सीमाओं से घिरा क्षेत्र होगा:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
अर्थात, बड़े और छोटे Darboux sums.c का अंकगणितीय माध्य एक स्थिर मान है जो विभेदन के दौरान शून्य पर सेट होता है।
इस अवधारणा की ज्यामितीय अभिव्यक्ति के आधार पर समाकलन का भौतिक अर्थ स्पष्ट हो जाता है। आकृति का क्षेत्रफल, गति फ़ंक्शन द्वारा उल्लिखित, और भुज अक्ष के साथ समय अंतराल द्वारा सीमित, यात्रा किए गए पथ की लंबाई होगी।
L=∫f(x)dx t1 से t2,
के अंतराल पर
कहां
f(x) - स्पीड फंक्शन, यानी वह फॉर्मूला जिसके द्वारा यह समय के साथ बदलता है;
एल - पथ की लंबाई;
t1 - प्रारंभ समय;
t2 - यात्रा का अंत समय।
बिल्कुल उसी सिद्धांत के अनुसार, कार्य की मात्रा निर्धारित की जाती है, केवल दूरी को भुज के साथ प्लॉट किया जाएगा, और प्रत्येक विशेष बिंदु पर लगाए गए बल की मात्रा को ऑर्डिनेट के साथ प्लॉट किया जाएगा।
