डमी के लिए गॉस विधि: समाधान के उदाहरण

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

इस लेख में, विधि को रैखिक समीकरणों (SLAE) के सिस्टम को हल करने का एक तरीका माना जाता है। विधि विश्लेषणात्मक है, अर्थात यह आपको एक सामान्य समाधान एल्गोरिथ्म लिखने की अनुमति देती है, और फिर वहां विशिष्ट उदाहरणों से मूल्यों को प्रतिस्थापित करती है। मैट्रिक्स विधि या क्रैमर के सूत्रों के विपरीत, गॉस विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय, आप उन लोगों के साथ भी काम कर सकते हैं जिनके पास असीम रूप से कई समाधान हैं। या बिल्कुल न लें।

गॉस विधि से हल करने का क्या अर्थ है?

सबसे पहले, हमें अपने समीकरणों के सिस्टम को एक मैट्रिक्स के रूप में लिखना होगा। यह इस तरह दिख रहा है। सिस्टम लिया जाता है:

गुणांक एक तालिका के रूप में लिखे जाते हैं, और दाईं ओर एक अलग कॉलम में - मुक्त सदस्य। मुक्त सदस्यों वाले कॉलम को सुविधा के लिए लंबवत बार द्वारा अलग किया जाता है। एक मैट्रिक्स जिसमें यह कॉलम शामिल होता है, उसे विस्तारित कहा जाता है।

अगला, गुणांक वाले मुख्य मैट्रिक्स को ऊपरी त्रिकोणीय आकार में कम किया जाना चाहिए। यह गॉस विधि द्वारा प्रणाली को हल करने का मुख्य बिंदु है। सीधे शब्दों में कहें, कुछ जोड़तोड़ के बाद, मैट्रिक्स इस तरह दिखना चाहिए, ताकि इसके निचले बाएं हिस्से में केवल शून्य हों:

फिर, यदि आप समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में फिर से नया मैट्रिक्स लिखते हैं, तो आप देखेंगे कि अंतिम पंक्ति में पहले से ही एक मूल का मान होता है, जिसे बाद में उपरोक्त समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, एक और रूट पाया जाता है, और इसी तरह।

यह सबसे सामान्य शब्दों में गाऊसी समाधान का विवरण है। और क्या होगा अगर अचानक सिस्टम के पास कोई समाधान नहीं है? या उनमें से एक अनंत संख्या है? इन और कई अन्य प्रश्नों के उत्तर के लिए गॉस विधि द्वारा समाधान में प्रयुक्त सभी तत्वों पर अलग से विचार करना आवश्यक है।

मैट्रिसेस, उनके गुण

मैट्रिक्स में कोई छिपा हुआ अर्थ नहीं है। यह बाद के संचालन के लिए डेटा रिकॉर्ड करने का एक सुविधाजनक तरीका है। स्कूली बच्चों को भी इनसे नहीं डरना चाहिए।

मैट्रिक्स हमेशा आयताकार होता है क्योंकि यह अधिक सुविधाजनक होता है। यहां तक कि गॉस विधि में, जहां सब कुछ एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स के निर्माण के लिए उबलता है, एक आयत प्रविष्टि में दिखाई देती है, केवल उस स्थान पर शून्य के साथ जहां कोई संख्या नहीं है। शून्य को छोड़ा जा सकता है, लेकिन वे निहित हैं।

मैट्रिक्स का आकार है। इसकी "चौड़ाई" पंक्तियों की संख्या (एम) है, इसकी "लंबाई" स्तंभों की संख्या (एन) है। फिर मैट्रिक्स ए का आकार (कैपिटल लैटिन अक्षरों को आमतौर पर उनके पदनाम के लिए उपयोग किया जाता है) को ए _m×n के रूप में दर्शाया जाएगा। यदि m=n, तो यह आव्यूह वर्गाकार है, औरएम=एन - इसका क्रम। तदनुसार, आव्यूह A के किसी भी अवयव को उसकी पंक्ति और स्तंभ की संख्या से निरूपित किया जा सकता है: a_xy; x - पंक्ति संख्या, परिवर्तन [1, m], y - स्तंभ संख्या, परिवर्तन [1, n]।

गाऊसी पद्धति में, मैट्रिक्स समाधान का मुख्य बिंदु नहीं है। सिद्धांत रूप में, सभी ऑपरेशन सीधे समीकरणों के साथ किए जा सकते हैं, हालांकि, अंकन अधिक बोझिल होगा, और इसमें भ्रमित होना बहुत आसान होगा।

क्वालीफायर

मैट्रिक्स में एक निर्धारक भी होता है। यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण विशेषता है। इसका अर्थ खोजना अब इसके लायक नहीं है, आप बस यह दिखा सकते हैं कि इसकी गणना कैसे की जाती है, और फिर बताएं कि यह मैट्रिक्स के कौन से गुण निर्धारित करता है। सारणिक खोजने का सबसे आसान तरीका विकर्णों के माध्यम से है। मैट्रिक्स में काल्पनिक विकर्ण खींचे जाते हैं; उनमें से प्रत्येक पर स्थित तत्वों को गुणा किया जाता है, और फिर परिणामी उत्पादों को जोड़ा जाता है: दाईं ओर ढलान वाले विकर्ण - "प्लस" चिह्न के साथ, बाईं ओर ढलान के साथ - "माइनस" चिह्न के साथ।

यह ध्यान रखना अत्यंत महत्वपूर्ण है कि निर्धारक की गणना केवल एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए की जा सकती है। एक आयताकार मैट्रिक्स के लिए, आप निम्न कार्य कर सकते हैं: पंक्तियों की संख्या और स्तंभों की संख्या में से सबसे छोटा चुनें (इसे k होने दें), और फिर मैट्रिक्स में k कॉलम और k पंक्तियों को यादृच्छिक रूप से चिह्नित करें। चयनित कॉलम और पंक्तियों के चौराहे पर स्थित तत्व एक नया वर्ग मैट्रिक्स बनाएंगे। यदि ऐसे मैट्रिक्स का निर्धारक शून्य के अलावा कोई अन्य संख्या है, तो इसे मूल आयताकार मैट्रिक्स का मूल नाबालिग कहा जाएगा।

पहलेगॉस विधि द्वारा समीकरणों की एक प्रणाली को कैसे हल करना शुरू करें, यह निर्धारक की गणना करने में कोई दिक्कत नहीं करता है। यदि यह शून्य हो जाता है, तो हम तुरंत कह सकते हैं कि मैट्रिक्स में या तो अनंत संख्या में समाधान हैं, या कोई भी नहीं हैं। ऐसे दुखद मामले में, आपको आगे जाकर मैट्रिक्स के रैंक के बारे में जानने की जरूरत है।

सिस्टम का वर्गीकरण

मैट्रिक्स की रैंक जैसी कोई चीज होती है। यह इसके गैर-शून्य निर्धारक का अधिकतम क्रम है (आधार नाबालिग को याद करते हुए, हम कह सकते हैं कि मैट्रिक्स का रैंक आधार नाबालिग का क्रम है)।

जिस तरह से चीजें रैंक के साथ हैं, SLOW को इसमें विभाजित किया जा सकता है:

• संयुक्त। संयुक्त प्रणालियों के लिए, मुख्य मैट्रिक्स (केवल गुणांक से मिलकर) की रैंक विस्तारित एक (मुक्त शर्तों के कॉलम के साथ) के रैंक के साथ मेल खाती है। इस तरह की प्रणालियों का एक समाधान है, लेकिन जरूरी नहीं कि एक, इसलिए, संयुक्त प्रणालियों को अतिरिक्त रूप से विभाजित किया गया है:
• - निश्चित - एक अनूठा समाधान होना। कुछ प्रणालियों में, मैट्रिक्स की रैंक और अज्ञात की संख्या बराबर होती है (या स्तंभों की संख्या, जो एक ही बात है);
• - अनिश्चितकालीन - अनंत समाधान के साथ। ऐसी प्रणालियों में मैट्रिसेस की रैंक अज्ञात की संख्या से कम होती है।
• असंगत। ऐसी प्रणालियों के लिए, मुख्य और विस्तारित मैट्रिक्स के रैंक मेल नहीं खाते हैं। असंगत सिस्टम का कोई समाधान नहीं है।

गॉस विधि अच्छी है क्योंकि यह आपको या तो सिस्टम की असंगति का एक स्पष्ट प्रमाण प्राप्त करने की अनुमति देती है (बिना बड़े मैट्रिक्स के निर्धारकों की गणना के) या अनंत समाधान वाले सिस्टम के लिए एक सामान्य समाधान।

प्राथमिक परिवर्तन

पहलेसिस्टम के समाधान के लिए सीधे कैसे आगे बढ़ें, आप इसे कम बोझिल और गणना के लिए अधिक सुविधाजनक बना सकते हैं। यह प्राथमिक परिवर्तनों के माध्यम से प्राप्त किया जाता है - जैसे कि उनका कार्यान्वयन किसी भी तरह से अंतिम उत्तर को नहीं बदलता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपरोक्त में से कुछ प्राथमिक परिवर्तन केवल मैट्रिसेस के लिए मान्य हैं, जिसका स्रोत ठीक SLAE था। यहाँ इन परिवर्तनों की एक सूची है:

1. स्ट्रिंग बदलें। यह स्पष्ट है कि यदि हम सिस्टम रिकॉर्ड में समीकरणों के क्रम को बदलते हैं, तो यह किसी भी तरह से समाधान को प्रभावित नहीं करेगा। इसलिए, इस प्रणाली के मैट्रिक्स में पंक्तियों को स्वैप करना भी संभव है, निश्चित रूप से, मुक्त सदस्यों के कॉलम के बारे में नहीं भूलना।
2. एक स्ट्रिंग के सभी तत्वों को किसी कारक से गुणा करना। बहुत उपयोगी! इसके साथ, आप मैट्रिक्स में बड़ी संख्या को कम कर सकते हैं या शून्य को हटा सकते हैं। समाधान का सेट, हमेशा की तरह, नहीं बदलेगा, और आगे के संचालन करने के लिए यह अधिक सुविधाजनक हो जाएगा। मुख्य बात यह है कि गुणांक शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए।
3. आनुपातिक गुणांक वाली रेखाएं हटाएं। यह आंशिक रूप से पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है। यदि मैट्रिक्स में दो या दो से अधिक पंक्तियों में आनुपातिक गुणांक हैं, तो आनुपातिकता गुणांक द्वारा पंक्तियों में से एक को गुणा / विभाजित करते समय, दो (या, फिर से, अधिक) बिल्कुल समान पंक्तियाँ प्राप्त होती हैं, और आप अतिरिक्त को हटा सकते हैं, केवल छोड़कर एक।
4. नल लाइन को डिलीट करें। यदि परिवर्तन के क्रम में एक स्ट्रिंग कहीं प्राप्त होती है जिसमें मुक्त सदस्य सहित सभी तत्व शून्य हैं, तो ऐसी स्ट्रिंग को शून्य कहा जा सकता है और मैट्रिक्स से बाहर फेंक दिया जा सकता है।
5. एक पंक्ति के तत्वों को दूसरे के तत्वों में जोड़ना (के अनुसारसंबंधित कॉलम) को कुछ गुणांक से गुणा किया जाता है। सभी का सबसे अस्पष्ट और सबसे महत्वपूर्ण परिवर्तन। इस पर अधिक विस्तार से ध्यान देने योग्य है।

एक गुणनखंड से गुणा की गई स्ट्रिंग को जोड़ना

समझने में आसानी के लिए, इस प्रक्रिया को चरणबद्ध तरीके से अलग करना उचित है। मैट्रिक्स से दो पंक्तियाँ ली गई हैं:

a₁₁ a₁₂ … ए_1n | बी1

a₂₁ a₂₂ … a_2n | बी₂

मान लें कि आपको पहले वाले को गुणांक "-2" से गुणा करके दूसरे में जोड़ना होगा।

a'₂₁ =a₂₁ + -2×a₁₁

a'₂₂ =a₂₂ + -2×a₁₂

a'_2n =a_2n + -2×a_1n

फिर मैट्रिक्स में दूसरी पंक्ति को एक नए के साथ बदल दिया जाता है, जबकि पहली पंक्ति अपरिवर्तित रहती है।

a₁₁ a₁₂ … ए_1n | बी1

a'₂₁ a'₂₂ … a'_2n | बी₂

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि गुणन कारक को इस तरह से चुना जा सकता है कि, दो तारों को जोड़ने के परिणामस्वरूप, नई स्ट्रिंग के तत्वों में से एक शून्य के बराबर हो। इसलिए, सिस्टम में एक समीकरण प्राप्त करना संभव है जहां एक कम अज्ञात होगा। और अगर आपको दो ऐसे समीकरण मिलते हैं, तो ऑपरेशन फिर से किया जा सकता है और एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं जिसमें पहले से ही दो कम अज्ञात होंगे। और अगर हर बार हम सभी पंक्तियों के लिए शून्य एक गुणांक की ओर मुड़ते हैं जो मूल एक से कम है, तो हम चरणों की तरह, मैट्रिक्स के बहुत नीचे तक जा सकते हैं और एक अज्ञात के साथ एक समीकरण प्राप्त कर सकते हैं। यह कहा जाता हैगॉस विधि का उपयोग करके सिस्टम को हल करें।

आम तौर पर

एक व्यवस्था हो। इसमें m समीकरण और n अज्ञात मूल हैं। आप इसे इस तरह लिख सकते हैं:

मुख्य मैट्रिक्स सिस्टम के गुणांक से संकलित है। मुक्त सदस्यों का एक कॉलम विस्तारित मैट्रिक्स में जोड़ा जाता है और सुविधा के लिए एक बार द्वारा अलग किया जाता है।

अगला:

• मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को गुणांक k=(-a₂₁/a₁₁) से गुणा किया जाता है;
• पहली संशोधित पंक्ति और मैट्रिक्स की दूसरी पंक्ति जोड़ी जाती है;
• दूसरी पंक्ति के बजाय, पिछले पैराग्राफ से जोड़ने का परिणाम मैट्रिक्स में डाला जाता है;
• अब नई दूसरी पंक्ति में पहला गुणांक है₁₁ × (-a₂₁/a_{11) + a}21 _=-a21 _{+ a}21_=0.

अब परिवर्तनों की एक ही श्रृंखला की जाती है, केवल पहली और तीसरी पंक्ति शामिल होती है। तदनुसार, एल्गोरिथम के प्रत्येक चरण में, तत्व a₂₁ को ₃₁ से बदल दिया जाता है। फिर सब कुछ एक ₄₁, … ए_एम1 के लिए दोहराता है। परिणाम एक मैट्रिक्स है जहां पंक्तियों में पहला तत्व [2, एम] शून्य के बराबर है। अब आपको लाइन नंबर एक के बारे में भूलने की जरूरत है और दूसरी लाइन से शुरू होने वाले समान एल्गोरिदम को निष्पादित करना होगा:

• k गुणांक=(-a₃₂/a₂₂);
• दूसरी संशोधित लाइन को "करंट" लाइन में जोड़ा जाता है;
• जोड़ने के परिणाम को तीसरे, चौथे और इसी तरह की पंक्तियों में बदल दिया जाता है, जबकि पहला और दूसरा अपरिवर्तित रहता है;
• मैट्रिक्स की पंक्तियों [3, m] में, पहले दो तत्व पहले से ही शून्य के बराबर हैं।

एल्गोरिदम को तब तक दोहराया जाना चाहिए जब तक कि गुणांक k=(-a_{m, m-1}/a_mm प्रकट न हो जाए)। इसका मतलब है कि एल्गोरिथम आखिरी बार केवल निचले समीकरण के लिए चलाया गया था। अब मैट्रिक्स एक त्रिभुज जैसा दिखता है, या इसमें एक चरणबद्ध आकार होता है। निचली पंक्ति में समीकरण होता है a_mn × x =b_m। गुणांक और मुक्त पद ज्ञात हैं, और उनके द्वारा मूल व्यक्त किया जाता है: x =b_m/a_mn. परिणामी रूट को x_n-1=(b_m-1 - a_{m-1, n खोजने के लिए शीर्ष पंक्ति में प्रतिस्थापित किया जाता है।×(b}m_/amn_))÷am-1, n-1_{. और इसी तरह सादृश्य द्वारा: प्रत्येक अगली पंक्ति में एक नई जड़ होती है, और, सिस्टम के "शीर्ष" पर पहुंचने के बाद, कोई समाधान का एक सेट पा सकता है [x}1_{, … x} ]. यह केवल एक ही होगा।

जब कोई समाधान न हो

यदि मैट्रिक्स पंक्तियों में से एक में मुक्त पद को छोड़कर सभी तत्व शून्य के बराबर हैं, तो इस पंक्ति के अनुरूप समीकरण 0=बी जैसा दिखता है। इसका कोई समाधान नहीं है। और चूंकि इस तरह के समीकरण को सिस्टम में शामिल किया जाता है, तो पूरे सिस्टम के समाधान का सेट खाली होता है, यानी यह पतित होता है।

जब समाधान की अनंत संख्या हो

यह पता चल सकता है कि कम त्रिकोणीय मैट्रिक्स में एक तत्व के साथ कोई पंक्तियाँ नहीं हैं - समीकरण का गुणांक, और एक - एक मुक्त सदस्य। केवल स्ट्रिंग्स हैं, जो फिर से लिखे जाने पर, दो या दो से अधिक चर वाले समीकरण की तरह दिखाई देंगे। इसका मतलब है कि सिस्टम के पास अनंत संख्या में समाधान हैं। इस मामले में, उत्तर एक सामान्य समाधान के रूप में दिया जा सकता है। इसे कैसे करें?

सभीमैट्रिक्स में चर बुनियादी और मुक्त में विभाजित हैं। मूल - ये वे हैं जो चरणबद्ध मैट्रिक्स में पंक्तियों के "किनारे पर" खड़े होते हैं। बाकी फ्री हैं। सामान्य समाधान में, मूल चर मुक्त चर के रूप में लिखे जाते हैं।

सुविधा के लिए, मैट्रिक्स को पहले समीकरणों की प्रणाली में फिर से लिखा जाता है। फिर उनमें से अंतिम में, जहां केवल एक मूल चर रहता है, वह एक तरफ रहता है, और बाकी सब कुछ दूसरे में स्थानांतरित हो जाता है। यह प्रत्येक समीकरण के लिए एक मूल चर के साथ किया जाता है। फिर, शेष समीकरणों में, जहाँ संभव हो, मूल चर के बजाय, इसके लिए प्राप्त व्यंजक को प्रतिस्थापित किया जाता है। यदि परिणाम फिर से एक अभिव्यक्ति है जिसमें केवल एक मूल चर होता है, तो इसे फिर से वहां से व्यक्त किया जाता है, और इसी तरह, जब तक कि प्रत्येक मूल चर को मुक्त चर के साथ अभिव्यक्ति के रूप में नहीं लिखा जाता है। यह SLAE का सामान्य समाधान है।

आप सिस्टम का मूल समाधान भी पा सकते हैं - मुक्त चर को कोई भी मान दें, और फिर इस विशेष मामले के लिए मूल चर के मूल्यों की गणना करें। असीम रूप से कई विशेष समाधान हैं।

विशिष्ट उदाहरणों के साथ समाधान

यहाँ समीकरणों की एक प्रणाली है।

सुविधा के लिए, इसका मैट्रिक्स तुरंत बनाना बेहतर है

यह ज्ञात है कि गॉस विधि द्वारा हल करते समय, परिवर्तन के अंत में पहली पंक्ति के अनुरूप समीकरण अपरिवर्तित रहेगा। इसलिए, यह अधिक लाभदायक होगा यदि मैट्रिक्स का ऊपरी बायां तत्व सबसे छोटा है - तो पहले तत्वसंचालन के बाद शेष पंक्तियां शून्य हो जाएंगी। इसका मतलब है कि संकलित मैट्रिक्स में पहली पंक्ति के स्थान पर दूसरी पंक्ति लगाना फायदेमंद होगा।

अगला, आपको दूसरी और तीसरी पंक्तियों को बदलने की जरूरत है ताकि पहले तत्व शून्य हो जाएं। ऐसा करने के लिए, उन्हें पहले वाले में जोड़ें, गुणांक से गुणा करें:

दूसरी पंक्ति: k=(-a₂₁/a₁₁)=(-3/1)=-3

a'₂₁ =a₂₁ + k×a₁₁=3 + (-3)×1=0

a'₂₂ =a₂₂ + k×a₁₂ =-1 + (- 3)×2=-7

a'₂₃ =a₂₃ + k×a₁₃ =1 + (-3)×4=-11

b'₂ =b₂ + k×b₁=12 + (-3)×12=-24

तीसरी पंक्ति: k=(-a₃₁/a₁₁)=(- 5/1)=-5

a'₃₁ =a_{31+ k×a}11_{=5 + (-5)×1=0}

a'₃₂ =a_{32+ k×a}12 _{=1 + (-5)×2=-9}

a'₃₃ =a₃₃ + k×a₁₃ =2 + (-5)×4=-18

b'₃=b₃ + k×b₁=3 + (-5)×12=-57

अब, भ्रमित न होने के लिए, आपको परिवर्तनों के मध्यवर्ती परिणामों के साथ एक मैट्रिक्स लिखने की आवश्यकता है।

जाहिर है, कुछ ऑपरेशनों की मदद से ऐसे मैट्रिक्स को और अधिक पठनीय बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप प्रत्येक तत्व को "-1" से गुणा करके दूसरी पंक्ति से सभी "माइनस" को हटा सकते हैं।

यह भी ध्यान देने योग्य है कि तीसरी पंक्ति में सभी तत्व तीन के गुणज हैं। तब आप कर सकते होइस संख्या से स्ट्रिंग को काटें, प्रत्येक तत्व को "-1/3" से गुणा करें (ऋणात्मक मानों को हटाने के लिए एक ही समय में ऋणात्मक)।

बहुत अच्छा लग रहा है। अब हमें पहली पंक्ति को अकेला छोड़कर दूसरी और तीसरी के साथ काम करने की आवश्यकता है। कार्य दूसरी पंक्ति को तीसरी पंक्ति में जोड़ने का है, इस तरह के कारक से गुणा किया जाता है कि तत्व a₃₂ शून्य हो जाता है।

k=(-a₃₂/a₂₂)=(-3/7)=-3/7 (यदि कुछ परिवर्तनों के दौरान उत्तर में एक पूर्णांक नहीं निकला, इसे सामान्य अंश के रूप में "जैसा है" छोड़ने की सिफारिश की जाती है, और उसके बाद ही, जब उत्तर प्राप्त होते हैं, तो तय करें कि गोल करना है और दूसरे रूप में परिवर्तित करना है या नहीं संकेतन)

a'₃₂=a₃₂ + k×a₂₂=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0

a'₃₃=a₃₃ + k×a₂₃=6 + (-3 /7)×11=-9/7

b'₃ =b₃ + k×b₂=19 + (-3 /7)×24=-61/7

मैट्रिक्स फिर से नए मानों के साथ लिखा गया है।

1	2	4	12
0	7	11	24
0	0	-9/7	-61/7

जैसा कि आप देख सकते हैं, परिणामी मैट्रिक्स में पहले से ही एक चरणबद्ध रूप है। इसलिए, गॉस विधि द्वारा प्रणाली के और परिवर्तनों की आवश्यकता नहीं है। तीसरी पंक्ति से समग्र गुणांक "-1/7" को हटाने के लिए यहां क्या किया जा सकता है।

अब सबअच्छा। बिंदु छोटा है - समीकरणों की प्रणाली के रूप में मैट्रिक्स को फिर से लिखें और जड़ों की गणना करें

x + 2y + 4z=12 (1)

7y + 11z=24 (2)

9z=61 (3)

जिस एल्गोरिथम से अब मूल ज्ञात होंगे उसे गॉस विधि में रिवर्स मूव कहते हैं। समीकरण (3) में मान है z:

z=61/9

अगला, दूसरे समीकरण पर लौटें:

y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9

और पहला समीकरण आपको x:

खोजने की अनुमति देता है

x=(12 - 4z - 2y)/1=12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3

हमें इस तरह के सिस्टम को जॉइंट कहने का अधिकार है, और यहां तक कि निश्चित, यानी एक अनूठा समाधान है। उत्तर निम्नलिखित रूप में लिखा गया है:

x₁=-2/3, y=-65/9, z=61/9.

अनिश्चित प्रणाली का उदाहरण

गॉस विधि द्वारा एक निश्चित प्रणाली को हल करने के प्रकार का विश्लेषण किया गया है, अब इस मामले पर विचार करना आवश्यक है यदि प्रणाली अनिश्चित है, अर्थात इसके लिए असीम रूप से कई समाधान मिल सकते हैं।

x₁ + x₂ + x₃ + x _{4+ x}5_{=7 (1)}

3x₁ + 2x₂ + x₃ + x _{4- 3x}5_{=-2 (2)}

x₂ + 2x₃ + 2x₄ + 6x ₅ =23 (3)

5x₁ + 4x₂ + 3x₃ + 3x ₄ - x₅=12 (4)

सिस्टम का बहुत ही रूप पहले से ही खतरनाक है, क्योंकि अज्ञात की संख्या n=5 है, और सिस्टम मैट्रिक्स की रैंक पहले से ही इस संख्या से बिल्कुल कम है, क्योंकि पंक्तियों की संख्या m=है 4, अर्थात् वर्ग सारणिक का सबसे बड़ा क्रम 4 है। अतः,समाधान की अनंत संख्या है, और हमें इसके सामान्य रूप की तलाश करनी चाहिए। रैखिक समीकरणों के लिए गॉस विधि आपको ऐसा करने की अनुमति देती है।

पहले, हमेशा की तरह, संवर्धित मैट्रिक्स संकलित है।

दूसरी पंक्ति: गुणांक k=(-a₂₁/a₁₁)=-3. तीसरी पंक्ति में, पहला तत्व परिवर्तनों से पहले है, इसलिए आपको कुछ भी छूने की ज़रूरत नहीं है, आपको इसे वैसे ही छोड़ने की ज़रूरत है। चौथी पंक्ति: k=(-a₄₁/a₁₁)=-5

पहली पंक्ति के तत्वों को उनके प्रत्येक गुणांक से गुणा करना और उन्हें आवश्यक पंक्तियों में जोड़ना, हमें निम्नलिखित रूप का एक मैट्रिक्स मिलता है:

जैसा कि आप देख सकते हैं, दूसरी, तीसरी और चौथी पंक्तियों में एक दूसरे के समानुपाती तत्व होते हैं। दूसरे और चौथे आम तौर पर समान होते हैं, इसलिए उनमें से एक को तुरंत हटाया जा सकता है, और बाकी को गुणांक "-1" से गुणा किया जाता है और लाइन नंबर 3 प्राप्त होता है। और फिर, दो समान पंक्तियों में से एक को छोड़ दें।

परिणाम ऐसा मैट्रिक्स है। सिस्टम को अभी तक लिखा नहीं गया है, यहां बुनियादी चर निर्धारित करना आवश्यक है - गुणांक पर खड़े एक ₁₁=1 और एक ₂₂=1, और मुफ़्त - बाकी सब।

दूसरे समीकरण में केवल एक मूल चर है - x₂। इसलिए, इसे वहां से व्यक्त किया जा सकता है, चर के माध्यम से x₃, x₄, x₅, जो मुफ़्त हैं।

परिणामी व्यंजक को पहले समीकरण में रखें।

यह एक ऐसा समीकरण निकला जिसमेंएकमात्र मूल चर x₁ है। आइए इसके साथ भी ऐसा ही करें जैसे x₂.

सभी बुनियादी चर, जिनमें से दो हैं, तीन मुक्त के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, अब आप सामान्य रूप में उत्तर लिख सकते हैं।

आप सिस्टम के किसी विशेष समाधान को भी निर्दिष्ट कर सकते हैं। ऐसे मामलों के लिए, एक नियम के रूप में, शून्य को मुक्त चर के लिए मान के रूप में चुना जाता है। तो उत्तर होगा:

-16, 23, 0, 0, 0.

असंगत प्रणाली का एक उदाहरण

गॉस विधि द्वारा असंगत समीकरण प्रणालियों का समाधान सबसे तेज़ है। यह समाप्त हो जाता है जैसे ही किसी एक चरण में एक समीकरण प्राप्त होता है जिसका कोई हल नहीं होता है। यानी जड़ों की गणना वाली अवस्था, जो काफी लंबी और सुनसान होती है, गायब हो जाती है। निम्नलिखित प्रणाली पर विचार किया जा रहा है:

x + y - z=0 (1)

2x - y - z=-2 (2)

4x + y - 3z=5 (3)

हमेशा की तरह, मैट्रिक्स संकलित है:

1	1	-1	0
2	-1	-1	-2
4	1	-3	5

और एक चरणबद्ध रूप में कम:

k₁ =-2k₂ =-4

1	1	-1	0
0	-3	1	-2
0	0	0	7

पहली ट्रांसफॉर्मेशन के बाद, तीसरी लाइन में फॉर्म का इक्वेशन होता है

0=7, कोई समाधान नहीं। इसलिए, सिस्टमअसंगत है, और उत्तर खाली सेट है।

विधि के फायदे और नुकसान

यदि आप पेन से SLAE को पेपर पर हल करने के लिए कौन सी विधि चुनते हैं, तो इस लेख में जिस विधि पर विचार किया गया था, वह सबसे आकर्षक लगती है। प्राथमिक परिवर्तनों में, यदि आप मैन्युअल रूप से निर्धारक या कुछ मुश्किल उलटा मैट्रिक्स की तलाश करना चाहते हैं, तो ऐसा होने से भ्रमित होना अधिक कठिन होता है। हालाँकि, यदि आप इस प्रकार के डेटा के साथ काम करने के लिए कार्यक्रमों का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, स्प्रेडशीट, तो यह पता चलता है कि ऐसे कार्यक्रमों में पहले से ही मैट्रिक्स के मुख्य मापदंडों की गणना के लिए एल्गोरिदम शामिल हैं - निर्धारक, नाबालिग, उलटा और ट्रांसपोज़्ड मैट्रिसेस, और इसी तरह।. और यदि आप सुनिश्चित हैं कि मशीन इन मूल्यों की गणना स्वयं करेगी और कोई गलती नहीं करेगी, तो मैट्रिक्स विधि या क्रैमर के सूत्रों का उपयोग करना अधिक समीचीन है, क्योंकि उनका आवेदन निर्धारकों और व्युत्क्रम मैट्रिक्स की गणना के साथ शुरू और समाप्त होता है।

आवेदन

चूंकि गाऊसी समाधान एक एल्गोरिथ्म है, और मैट्रिक्स, वास्तव में, एक द्वि-आयामी सरणी है, इसका उपयोग प्रोग्रामिंग में किया जा सकता है। लेकिन चूंकि लेख खुद को "डमी के लिए" एक गाइड के रूप में रखता है, इसलिए यह कहा जाना चाहिए कि इस पद्धति को डालने का सबसे आसान स्थान स्प्रेडशीट है, उदाहरण के लिए, एक्सेल। फिर से, मैट्रिक्स के रूप में तालिका में दर्ज किया गया कोई भी SLAE एक्सेल द्वारा द्वि-आयामी सरणी के रूप में माना जाएगा। और उनके साथ संचालन के लिए, कई अच्छे आदेश हैं: जोड़ (आप केवल एक ही आकार के मैट्रिक्स जोड़ सकते हैं!), एक संख्या से गुणा, मैट्रिक्स गुणा (साथ ही साथ)कुछ प्रतिबंध), व्युत्क्रम और ट्रांसपोज़्ड मैट्रिसेस का पता लगाना और, सबसे महत्वपूर्ण बात, निर्धारक की गणना करना। यदि इस समय लेने वाले कार्य को एकल कमांड द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो मैट्रिक्स के रैंक को निर्धारित करना बहुत तेज़ होता है और इसलिए, इसकी संगतता या असंगतता स्थापित करता है।