लियोनहार्ड यूलर (1707-1783) - प्रसिद्ध स्विस और रूसी गणितज्ञ, सेंट पीटर्सबर्ग एकेडमी ऑफ साइंसेज के सदस्य, ने अपना अधिकांश जीवन रूस में बिताया। गणितीय विश्लेषण, सांख्यिकी, कंप्यूटर विज्ञान और तर्क में सबसे प्रसिद्ध यूलर सर्कल (यूलर-वेन आरेख) है, जिसका उपयोग अवधारणाओं और तत्वों के सेट के दायरे को दर्शाने के लिए किया जाता है।
जॉन वेन (1834-1923) - अंग्रेजी दार्शनिक और तर्कशास्त्री, यूलर-वेन आरेख के सह-लेखक।
संगत और असंगत अवधारणाएं
तर्क के तहत अवधारणा का अर्थ है सोच का एक रूप जो सजातीय वस्तुओं के एक वर्ग की आवश्यक विशेषताओं को दर्शाता है। उन्हें एक या शब्दों के समूह द्वारा दर्शाया जाता है: "विश्व मानचित्र", "प्रमुख पांचवें-सातवें राग", "सोमवार", आदि।
मामले में जब एक अवधारणा के दायरे के तत्व पूरी तरह या आंशिक रूप से दूसरे के दायरे से संबंधित होते हैं, तो कोई संगत अवधारणाओं की बात करता है। यदि, हालांकि, एक निश्चित अवधारणा के दायरे का कोई तत्व दूसरे के दायरे से संबंधित नहीं है, तो हमारे पास असंगत अवधारणाएं हैं।
बदले में, प्रत्येक प्रकार की अवधारणा के संभावित संबंधों का अपना सेट होता है। संगत अवधारणाओं के लिए, ये हैं:
- मात्रा की पहचान (समतुल्यता);
- क्रॉसिंग (आंशिक मैच)वॉल्यूम;
- अधीनता (अधीनता)।
असंगत के लिए:
- अधीनता (समन्वय);
- विपरीत (विपरीत);
- विरोधाभास (विरोधाभास)।
योजनाबद्ध रूप से, तर्क में अवधारणाओं के बीच संबंधों को आमतौर पर यूलर-वेन सर्कल का उपयोग करके दर्शाया जाता है।
समतुल्य संबंध
इस मामले में, अवधारणाओं का मतलब एक ही विषय है। तदनुसार, इन अवधारणाओं के खंड पूरी तरह से समान हैं। उदाहरण के लिए:
ए - सिगमंड फ्रायड;
B मनोविश्लेषण के संस्थापक हैं।
या:
A एक वर्ग है;
B एक समबाहु आयत है;
C एक समकोणिक समचतुर्भुज है।
पूरी तरह से मेल खाने वाले यूलर सर्कल का उपयोग पदनाम के लिए किया जाता है।
चौराहे (आंशिक मैच)
इस श्रेणी में ऐसी अवधारणाएं शामिल हैं जिनमें सामान्य तत्व हैं जो क्रॉसिंग के संबंध में हैं। अर्थात्, एक अवधारणा का आयतन दूसरे के आयतन में आंशिक रूप से शामिल है:
ए - शिक्षक;
बी एक संगीत प्रेमी है।
जैसा कि इस उदाहरण से देखा जा सकता है, अवधारणाओं की मात्रा आंशिक रूप से मेल खाती है: शिक्षकों का एक निश्चित समूह संगीत प्रेमी हो सकता है, और इसके विपरीत - संगीत प्रेमियों के बीच शिक्षण पेशे के प्रतिनिधि हो सकते हैं। इसी तरह का रवैया उस स्थिति में होगा जब अवधारणा ए, उदाहरण के लिए, एक "नागरिक" है, और बी एक "चालक" है।
अधीनता (अधीनता)
विभिन्न पैमानों के यूलर सर्कल के रूप में योजनाबद्ध रूप से निरूपित। रिश्तेइस मामले में अवधारणाओं के बीच इस तथ्य की विशेषता है कि अधीनस्थ अवधारणा (मात्रा में छोटा) पूरी तरह से अधीनस्थ (मात्रा में बड़ा) में शामिल है। उसी समय, अधीनस्थ अवधारणा अधीनस्थ को पूरी तरह से समाप्त नहीं करती है।
उदाहरण के लिए:
ए - पेड़;
बी - पाइन।
कॉन्सेप्ट बी अवधारणा ए के अधीन होगा। चूंकि पाइन पेड़ों से संबंधित है, इस उदाहरण में अवधारणा ए अधीनस्थ बन जाती है, अवधारणा बी के दायरे को "अवशोषित" करती है।
समन्वय (समन्वय)
संबंध दो या दो से अधिक अवधारणाओं की विशेषता है जो एक दूसरे को बाहर करते हैं, लेकिन एक निश्चित सामान्य सामान्य सर्कल से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए:
ए - शहनाई;
बी - गिटार;
सी - वायलिन;
डी एक वाद्य यंत्र है।
अवधारणाएं ए, बी, सी एक दूसरे के संबंध में प्रतिच्छेद नहीं कर रही हैं, हालांकि, वे सभी संगीत वाद्ययंत्र (अवधारणा डी) की श्रेणी से संबंधित हैं।
विपरीत (विपरीत)
अवधारणाओं के बीच विपरीत संबंधों का अर्थ है कि ये अवधारणाएं एक ही वंश की हैं। उसी समय, अवधारणाओं में से एक में कुछ गुण (विशेषताएं) होते हैं, जबकि दूसरा उन्हें अस्वीकार करता है, उन्हें प्रकृति में विपरीत लोगों के साथ बदल देता है। इस प्रकार, हम विलोम के साथ काम कर रहे हैं। उदाहरण के लिए:
A एक बौना है;
बी एक विशालकाय है।
यूलर सर्कल अवधारणाओं के बीच विपरीत संबंधों के साथतीन खंडों में बांटा गया है, जिनमें से पहला अवधारणा ए से मेल खाता है, दूसरा अवधारणा बी से, और तीसरा अन्य सभी संभावित अवधारणाओं से मेल खाता है।
विरोधाभास (विरोधाभास)
इस मामले में, दोनों अवधारणाएं एक ही जीनस की प्रजातियां हैं। जैसा कि पिछले उदाहरण में, अवधारणाओं में से एक कुछ गुणों (विशेषताओं) को इंगित करता है, जबकि दूसरा उन्हें नकारता है। हालांकि, विरोधों के संबंध के विपरीत, दूसरी, विपरीत अवधारणा अस्वीकृत गुणों को अन्य, वैकल्पिक लोगों के साथ प्रतिस्थापित नहीं करती है। उदाहरण के लिए:
ए एक मुश्किल काम है;
B एक आसान काम है (नहीं-A).
इस तरह की अवधारणाओं की मात्रा को व्यक्त करते हुए, यूलर सर्कल को दो भागों में विभाजित किया गया है - इस मामले में तीसरा, मध्यवर्ती लिंक मौजूद नहीं है। इस प्रकार, अवधारणाएं भी विलोम हैं। उसी समय, उनमें से एक (ए) सकारात्मक हो जाता है (कुछ विशेषता की पुष्टि करता है), और दूसरा (बी या गैर-ए) नकारात्मक हो जाता है (संबंधित विशेषता को नकारते हुए): "श्वेत पत्र" - "श्वेत पत्र नहीं", " राष्ट्रीय इतिहास" - "विदेशी इतिहास", आदि।
इस प्रकार, एक दूसरे के संबंध में अवधारणाओं की मात्रा का अनुपात एक प्रमुख विशेषता है जो यूलर सर्कल को परिभाषित करता है।
सेट्स के बीच संबंध
तत्वों और सेटों की अवधारणाओं के बीच अंतर करना भी आवश्यक है, जिसका आयतन यूलर सर्कल द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। समुच्चय की अवधारणा गणितीय विज्ञान से ली गई है और इसका काफी व्यापक अर्थ है। तर्क और गणित के उदाहरण इसे वस्तुओं के एक निश्चित समूह के रूप में प्रदर्शित करते हैं। वस्तुएं स्वयं हैंइस सेट के तत्व। "कई एक के रूप में कई विचार हैं" (जॉर्ज कांतोर, सेट थ्योरी के संस्थापक)।
सेट बड़े अक्षरों में निर्दिष्ट हैं: ए, बी, सी, डी… आदि, सेट के तत्वों को लोअरकेस अक्षरों में नामित किया गया है: ए, बी, सी, डी… आदि। एक सेट के उदाहरण छात्र हो सकते हैं जो एक कक्षा में हैं, एक निश्चित शेल्फ पर किताबें (या, उदाहरण के लिए, एक निश्चित पुस्तकालय में सभी किताबें), एक डायरी में पृष्ठ, जंगल समाशोधन में जामुन, आदि।
बदले में, यदि किसी निश्चित सेट में एक भी तत्व नहीं है, तो इसे खाली कहा जाता है और इसे Ø चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, समांतर रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का समुच्चय, समीकरण x2=-5.
के समाधान का समुच्चय
समस्या का समाधान
यूलर मंडल बड़ी संख्या में समस्याओं को हल करने के लिए सक्रिय रूप से उपयोग किए जाते हैं। तर्क में उदाहरण तार्किक संचालन और सेट सिद्धांत के बीच संबंध को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करते हैं। इस मामले में, अवधारणाओं की सत्य सारणी का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, A लेबल वाला वृत्त सत्य क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है। तो सर्कल के बाहर का क्षेत्र झूठ का प्रतिनिधित्व करेगा। तार्किक संचालन के लिए आरेख के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए, आपको उन क्षेत्रों को छायांकित करना चाहिए जो यूलर सर्कल को परिभाषित करते हैं, जिसमें तत्वों ए और बी के लिए इसके मान सत्य होंगे।
यूलर सर्कल के उपयोग ने विभिन्न उद्योगों में व्यापक व्यावहारिक अनुप्रयोग पाया है। उदाहरण के लिए, पेशेवर पसंद वाली स्थिति में। यदि विषय भविष्य के पेशे की पसंद के बारे में चिंतित है, तो उसे निम्नलिखित मानदंडों द्वारा निर्देशित किया जा सकता है:
डब्ल्यू - मुझे क्या करना पसंद है?
डी - मैं क्या कर रहा हूँ?
प- मैं अच्छा पैसा कैसे कमा सकता हूँ?
आइए इसे एक आरेख के रूप में बनाते हैं: यूलर सर्कल (तर्क में उदाहरण - प्रतिच्छेदन संबंध):
परिणाम उन व्यवसायों का होगा जो तीनों मंडलों के चौराहे पर होंगे।
यूलर-वेन सर्कल संयोजन और गुणों की गणना करते समय गणित (सेट सिद्धांत) में एक अलग स्थान पर कब्जा कर लेते हैं। तत्वों के समुच्चय के यूलर वृत्त एक आयत के प्रतिबिम्ब में संलग्न हैं जो सार्वत्रिक समुच्चय (U) को निरूपित करते हैं। मंडलियों के बजाय, अन्य बंद आकृतियों का भी उपयोग किया जा सकता है, लेकिन इसका सार नहीं बदलता है। समस्या की स्थितियों (सबसे सामान्य स्थिति में) के अनुसार आंकड़े एक दूसरे के साथ प्रतिच्छेद करते हैं। साथ ही, इन आंकड़ों को तदनुसार लेबल किया जाना चाहिए। विचाराधीन सेट के तत्व आरेख के विभिन्न खंडों के अंदर स्थित बिंदु हो सकते हैं। इसके आधार पर, आप विशिष्ट क्षेत्रों को छायांकित कर सकते हैं, जिससे नए बने सेटों को नामित किया जा सकता है।
इन सेटों के साथ बुनियादी गणितीय संचालन करना संभव है: जोड़ (तत्वों के सेट का योग), घटाव (अंतर), गुणा (उत्पाद)। इसके अलावा, यूलर-वेन आरेखों के लिए धन्यवाद, उनमें शामिल तत्वों की संख्या से सेट की तुलना करना संभव है, उन्हें गिनना नहीं।
