गणित और प्रसंस्करण में, एक विश्लेषणात्मक संकेत की अवधारणा (संक्षेप में - सी, एसी) एक जटिल कार्य है जिसमें नकारात्मक आवृत्ति घटक नहीं होते हैं। इस घटना के वास्तविक और काल्पनिक भाग हिल्बर्ट परिवर्तन द्वारा एक दूसरे से संबंधित वास्तविक कार्य हैं। एक विश्लेषणात्मक संकेत रसायन विज्ञान में एक काफी सामान्य घटना है, जिसका सार इस अवधारणा की गणितीय परिभाषा के समान है।
प्रदर्शन
एक वास्तविक फ़ंक्शन का विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व एक विश्लेषणात्मक संकेत है जिसमें मूल फ़ंक्शन और उसका हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म होता है। यह प्रतिनिधित्व कई गणितीय जोड़तोड़ की सुविधा देता है। मुख्य विचार यह है कि एक वास्तविक फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण (या स्पेक्ट्रम) के नकारात्मक आवृत्ति घटक ऐसे स्पेक्ट्रम की हर्मिटियन समरूपता के कारण बेमानी हैं। इन नकारात्मक आवृत्ति घटकों को बिना खारिज किया जा सकता हैजानकारी का नुकसान, बशर्ते कि आप इसके बजाय एक जटिल कार्य से निपटना चाहते हैं। यह कुछ विशेषता विशेषताओं को अधिक सुलभ बनाता है और मॉड्यूलेशन और डिमॉड्यूलेशन तकनीकों जैसे SSB को प्राप्त करना आसान बनाता है।
नकारात्मक घटक
जब तक हेरफेर किए जा रहे फ़ंक्शन में कोई नकारात्मक आवृत्ति घटक नहीं हैं (अर्थात यह अभी भी विश्लेषणात्मक है), जटिल से वास्तविक में परिवर्तित करना केवल काल्पनिक भाग को त्यागने का मामला है। विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व एक वेक्टर की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है: जबकि एक वेक्टर एक समय-अपरिवर्तनीय आयाम, चरण और आवृत्ति तक सीमित है, एक विश्लेषणात्मक संकेत का गुणात्मक विश्लेषण समय-भिन्न मापदंडों के लिए अनुमति देता है।
सी की स्थानीय विशेषताओं को मापने और उनका पता लगाने के लिए कुछ अनुप्रयोगों में तात्कालिक आयाम, तात्कालिक चरण और आवृत्ति का उपयोग किया जाता है। विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व का एक अन्य अनुप्रयोग संशोधित संकेतों के डिमोड्यूलेशन से संबंधित है। ध्रुवीय निर्देशांक AM और चरण (या आवृत्ति) मॉडुलन के प्रभावों को आसानी से अलग करते हैं और कुछ प्रकार के प्रभावी ढंग से डिमॉड्यूलेट करते हैं।
फिर वास्तविक गुणांक वाला एक साधारण कम-पास फ़िल्टर ब्याज के हिस्से को काट सकता है। एक अन्य मकसद अधिकतम आवृत्ति को कम करना है, जो गैर-उपनाम नमूने के लिए न्यूनतम आवृत्ति को कम करता है। फ़्रीक्वेंसी शिफ्ट प्रतिनिधित्व की गणितीय उपयोगिता को कम नहीं करता है। इस प्रकार, इस अर्थ में, डाउनकनवर्टेड अभी भी विश्लेषणात्मक है। हालांकि, वास्तविक प्रतिनिधित्व की बहालीअब केवल वास्तविक घटक निकालने का एक साधारण मामला नहीं है। उप-रूपांतरण की आवश्यकता हो सकती है, और यदि संकेत का नमूना लिया जाता है (असतत समय), तो अलियासिंग से बचने के लिए प्रक्षेप (अपसम्पलिंग) की भी आवश्यकता हो सकती है।
चर
अवधारणा एकल चर परिघटनाओं के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है, जो आमतौर पर अस्थायी होती है। यह अस्थायीता कई शुरुआती गणितज्ञों को भ्रमित करती है। दो या दो से अधिक चरों के लिए, विश्लेषणात्मक सी को अलग-अलग तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है, और दो दृष्टिकोण नीचे प्रस्तुत किए गए हैं।
इस घटना के वास्तविक और काल्पनिक भाग एक वेक्टर-मूल्यवान मोनोजेनिक सिग्नल के दो तत्वों से मेल खाते हैं, जैसा कि एक चर के साथ समान घटना के लिए परिभाषित किया गया है। हालांकि, मोनोजेनिक को एक सरल तरीके से मनमाने ढंग से चरों की संख्या तक बढ़ाया जा सकता है, जिससे n-चर संकेतों के मामले में एक (n + 1)-आयामी वेक्टर फ़ंक्शन का निर्माण होता है।
सिग्नल रूपांतरण
आप एक काल्पनिक (क्यू) घटक जोड़कर एक वास्तविक संकेत को विश्लेषणात्मक में बदल सकते हैं, जो वास्तविक घटक का हिल्बर्ट रूपांतरण है।
वैसे, इसकी डिजिटल प्रोसेसिंग के लिए यह कोई नई बात नहीं है। सिंगल साइडबैंड (एसएसबी) एएम उत्पन्न करने के पारंपरिक तरीकों में से एक, चरणबद्ध विधि, एक एनालॉग प्रतिरोधी-संधारित्र नेटवर्क में एक ऑडियो सिग्नल के हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म उत्पन्न करके सिग्नल बनाना शामिल है। चूँकि इसमें केवल धनात्मक आवृत्तियाँ होती हैं, इसलिए इसे केवल एक साइडबैंड के साथ मॉड्युलेटेड RF सिग्नल में बदलना आसान होता है।
परिभाषा सूत्र
एनालिटिकल सिग्नल एक्सप्रेशन ऊपरी कॉम्प्लेक्स हाफ-प्लेन की सीमा पर परिभाषित एक होलोमोर्फिक कॉम्प्लेक्स फंक्शन है। ऊपरी अर्ध-तल की सीमा यादृच्छिक के साथ मेल खाती है, इसलिए सी को मानचित्रण द्वारा दिया जाता है एफए: आर → सी। पिछली शताब्दी के मध्य से, जब डेनिस गैबर ने 1946 में निरंतर आयाम और चरण का अध्ययन करने के लिए इस घटना का उपयोग करने का प्रस्ताव रखा था।, सिग्नल को कई अनुप्रयोग मिले हैं। इस घटना की ख़ासियत पर जोर दिया गया था [Vak96], जहां यह दिखाया गया था कि विश्लेषणात्मक संकेत का केवल गुणात्मक विश्लेषण आयाम, चरण और आवृत्ति के लिए भौतिक स्थितियों से मेल खाता है।
नवीनतम उपलब्धियां
पिछले कुछ दशकों के दौरान, कई आयामों में सिग्नल के अध्ययन में रुचि रही है, जो छवि / वीडियो प्रसंस्करण से लेकर भौतिकी में बहुआयामी ऑसिलेटरी प्रक्रियाओं जैसे भूकंपीय, विद्युत चुम्बकीय और जैसे क्षेत्रों में उत्पन्न होने वाली समस्याओं से प्रेरित है। गुरुत्वाकर्षण लहरों। यह आम तौर पर स्वीकार किया गया है कि, कई आयामों के मामले में विश्लेषणात्मक सी (गुणात्मक विश्लेषण) को सही ढंग से सामान्यीकृत करने के लिए, किसी को एक बीजीय निर्माण पर भरोसा करना चाहिए जो सामान्य जटिल संख्याओं को सुविधाजनक तरीके से बढ़ाता है। इस तरह के निर्माण को आमतौर पर हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबर [SKE] कहा जाता है।
आखिरकार, हाइपरकॉम्प्लेक्स एनालिटिक सिग्नल fh: Rd → S का निर्माण संभव होना चाहिए, जहां कुछ सामान्य हाइपरकॉम्प्लेक्स बीजीय प्रणाली का प्रतिनिधित्व किया जाता है, जो तात्कालिक आयाम प्राप्त करने के लिए स्वाभाविक रूप से सभी आवश्यक गुणों का विस्तार करता है औरचरण।
अध्ययन
हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या प्रणाली की सही पसंद से संबंधित विभिन्न मुद्दों के लिए कई पेपर समर्पित हैं, तात्कालिक आयाम और चरण का अध्ययन करने के लिए हाइपरकॉम्प्लेक्स फूरियर ट्रांसफॉर्म और फ्रैक्शनल हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म की परिभाषा। इस काम का अधिकांश भाग सीडी, क्वाटरनियंस, क्लियरॉन अल्जेब्रा और केली-डिक्सन निर्माण जैसे विभिन्न स्थानों के गुणों पर आधारित था।
अगला, हम सिग्नल के अध्ययन के लिए समर्पित कुछ कार्यों को कई आयामों में सूचीबद्ध करेंगे। जहाँ तक हम जानते हैं, बहुभिन्नरूपी पद्धति पर पहला काम 1990 के दशक की शुरुआत में प्राप्त किया गया था। इनमें हाइपरकॉम्प्लेक्स ट्रांसफॉर्मेशन पर El का कार्य [Ell92] शामिल है; कई मापों के लिए विश्लेषणात्मक प्रतिक्रिया (विश्लेषणात्मक संकेत) की विधि के सामान्यीकरण पर बुलो का काम [BS01] और मोनोजेनिक संकेतों पर फेल्सबर्ग और सोमर का काम।
आगे की संभावनाएं
हाइपरकॉम्प्लेक्स सिग्नल से उन सभी उपयोगी गुणों का विस्तार होने की उम्मीद है जो हमारे पास 1D मामले में हैं। सबसे पहले, हमें तात्कालिक आयाम और चरण को मापने के लिए निकालने और सामान्य करने में सक्षम होना चाहिए। दूसरा, एक जटिल विश्लेषणात्मक संकेत का फूरियर स्पेक्ट्रम केवल सकारात्मक आवृत्तियों पर बनाए रखा जाता है, इसलिए हम उम्मीद करते हैं कि हाइपरकंपलेक्स फूरियर का अपना हाइपरवैल्यूड स्पेक्ट्रम होगा, जिसे केवल हाइपरकंपलेक्स स्पेस के कुछ सकारात्मक चतुर्थांश में बनाए रखा जाएगा। क्योंकि यह बहुत जरूरी है।
तीसरा, एक जटिल अवधारणा के भागों को संयुग्मित करनाविश्लेषणात्मक संकेत के हिल्बर्ट परिवर्तन से संबंधित हैं, और हम उम्मीद कर सकते हैं कि हाइपरकॉम्प्लेक्स अंतरिक्ष में संयुग्म घटकों को भी हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म के कुछ संयोजन से संबंधित होना चाहिए। और अंत में, वास्तव में, एक हाइपरकॉम्प्लेक्स सिग्नल को हाइपरकॉम्प्लेक्स स्पेस में किसी रूप की सीमा पर परिभाषित कई हाइपरकॉम्प्लेक्स चर के कुछ हाइपरकॉम्प्लेक्स होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के विस्तार के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिए।
हम इन मुद्दों को क्रमिक क्रम में संबोधित कर रहे हैं। सबसे पहले, हम फूरियर इंटीग्रल फॉर्मूला को देखकर शुरू करते हैं और दिखाते हैं कि हिल्बर्ट को 1-डी में बदलना संशोधित फूरियर इंटीग्रल फॉर्मूला से संबंधित है। यह तथ्य हमें हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या प्रणालियों और होलोमोर्फिक कार्यों के संदर्भ के बिना तात्कालिक आयाम, चरण और आवृत्ति को परिभाषित करने की अनुमति देता है।
इंटीग्रल में संशोधन
हम संशोधित फूरियर अभिन्न सूत्र को कई आयामों तक विस्तारित करके जारी रखते हैं, और सभी आवश्यक चरण-स्थानांतरित घटकों को निर्धारित करते हैं जिन्हें हम तात्कालिक आयाम और चरण में एकत्र कर सकते हैं। दूसरा, हम कई हाइपरकॉम्प्लेक्स चरों के होलोमोर्फिक कार्यों के अस्तित्व के प्रश्न की ओर मुड़ते हैं। [Sch93] के बाद यह पता चलता है कि अण्डाकार (e2i=-1) जनरेटर के एक सेट द्वारा उत्पन्न कम्यूटेटिव और साहचर्य हाइपरकॉम्प्लेक्स बीजगणित एक हाइपरकॉम्प्लेक्स एनालिटिक सिग्नल को जीने के लिए एक उपयुक्त स्थान है, हम ऐसे हाइपरकॉम्प्लेक्स बीजगणित को शेफर्स स्पेस कहते हैं और निरूपित करते हैं यहएसडी
इसलिए, विश्लेषणात्मक संकेतों के हाइपरकॉम्प्लेक्स को कुछ हाइपरकॉम्प्लेक्स स्पेस में पॉलीडिस्क / प्लेन के ऊपरी आधे हिस्से की सीमा पर एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे हम सामान्य शेफ़र्स स्पेस कहते हैं, और एसडी द्वारा निरूपित किया जाता है। फिर हम फंक्शन Sd → Sd के लिए कॉची इंटीग्रल फॉर्मूला की वैधता का निरीक्षण करते हैं, जो Sd में एक पॉलीडिस्क के अंदर एक हाइपरसर्फेस पर गणना की जाती है और संबंधित भिन्नात्मक हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म को प्राप्त करती है जो हाइपरकंपलेक्स संयुग्म घटकों से संबंधित होती है। अंत में, यह पता चला है कि शेफर्स स्पेस में मूल्यों के साथ फूरियर रूपांतरण केवल गैर-नकारात्मक आवृत्तियों पर समर्थित है। इस लेख के लिए धन्यवाद, आपने सीखा है कि एक विश्लेषणात्मक संकेत क्या है।
