सीधे प्रिज्म का सतह क्षेत्र: सूत्र और समस्या का एक उदाहरण

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-02 17:47

आयतन और सतह क्षेत्र किसी भी पिंड की दो महत्वपूर्ण विशेषताएं हैं जिनके त्रि-आयामी अंतरिक्ष में परिमित आयाम हैं। इस लेख में, हम पॉलीहेड्रा - प्रिज्म के एक प्रसिद्ध वर्ग पर विचार करते हैं। विशेष रूप से, एक सीधे प्रिज्म के सतह क्षेत्र का पता लगाने का सवाल सामने आएगा।

प्रिज्म क्या है?

एक प्रिज्म कोई भी पॉलीहेड्रॉन है जो कई समांतर चतुर्भुज और समानांतर विमानों में स्थित दो समान बहुभुजों से घिरा होता है। इन बहुभुजों को आकृति का आधार माना जाता है, और इसके समांतर चतुर्भुज भुजाएँ हैं। आधार की भुजाओं (कोनों) की संख्या आकृति के नाम को निर्धारित करती है। उदाहरण के लिए, नीचे दिया गया चित्र एक पंचकोणीय प्रिज्म दिखाता है।

आधारों के बीच की दूरी को आकृति की ऊंचाई कहते हैं। यदि ऊँचाई किसी किनारे के किनारे की लंबाई के बराबर है, तो ऐसा प्रिज्म सीधा होगा। एक सीधे प्रिज्म के लिए दूसरी पर्याप्त विशेषता यह है कि इसकी सभी भुजाएँ आयत या वर्ग हैं। अगर, हालांकियदि एक भुजा एक सामान्य समांतर चतुर्भुज है, तो आकृति झुकी हुई होगी। नीचे आप देख सकते हैं कि कैसे चतुष्कोणीय आकृतियों के उदाहरण पर सीधे और तिरछे प्रिज्म दृष्टिगत रूप से भिन्न होते हैं।

सीधे प्रिज्म का पृष्ठीय क्षेत्रफल

यदि एक ज्यामितीय आकृति का n-गोनल आधार है, तो इसमें n+2 फलक होते हैं, जिनमें से n आयत होते हैं। आइए आधार की भुजाओं की लंबाई को a_i के रूप में निरूपित करें, जहां i=1, 2, …, n, और आकृति की ऊंचाई को निरूपित करें, जो कि लंबाई के बराबर है साइड एज, एच के रूप में। सभी फलकों की सतह का क्षेत्रफल (S) निर्धारित करने के लिए, प्रत्येक आधार का क्षेत्रफल S_{o और भुजाओं (आयतों) के सभी क्षेत्रों को जोड़ें। इस प्रकार, सामान्य रूप में S का सूत्र इस प्रकार लिखा जा सकता है:}

एस=2एस_ओ+ एस_बी

जहां S_{b पार्श्व सतह क्षेत्र है।}

चूंकि एक सीधे प्रिज्म का आधार बिल्कुल समतल बहुभुज हो सकता है, तो S_{oकी गणना के लिए एक एकल सूत्र नहीं दिया जा सकता है, और इस मान को सामान्य रूप से निर्धारित करने के लिए मामले में, ज्यामितीय विश्लेषण किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि आधार ए के साथ एक नियमित एन-गॉन है, तो इसके क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:}

एस_ओ=n/4ctg(pi/n)a²

जहां तक S_{b का मान है, इसकी गणना के लिए व्यंजक दिया जा सकता है। एक सीधे प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल है:}

एस_बी=एच∑_i=1(एक_मैं)

अर्थात मूल्यS_{b की गणना आकृति की ऊंचाई और उसके आधार की परिधि के गुणनफल के रूप में की जाती है।}

समस्या समाधान का उदाहरण

आइए अर्जित ज्ञान को निम्नलिखित ज्यामितीय समस्या को हल करने के लिए लागू करें। एक प्रिज्म दिया गया है, जिसका आधार 5 सेमी और 7 सेमी के समकोण पर भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज है। आकृति की ऊंचाई 10 सेमी है। एक समकोण त्रिभुजाकार प्रिज्म का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना आवश्यक है।

पहले, आइए त्रिभुज के कर्ण की गणना करें। यह बराबर होगा:

c=√(5²+ 7^{2)=8.6 सेमी}

अब एक और प्रारंभिक गणितीय संक्रिया करते हैं - आधार की परिधि की गणना करें। यह होगा:

पी=5 + 7 + 8.6=20.6 सेमी

आकृति की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना मान P और ऊँचाई h=10 सेमी के गुणनफल के रूप में की जाती है, अर्थात S_b=206 सेमी ^2.

पूरी सतह का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, दो आधार क्षेत्रों को पाया गया मान में जोड़ा जाना चाहिए। चूँकि एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल टाँगों के आधे गुणनफल से निर्धारित होता है, हम पाते हैं:

2S_o=257/2=35cm²

तब हम पाते हैं कि एक सीधे त्रिभुजाकार प्रिज्म का पृष्ठीय क्षेत्रफल 35 + 206=241 सेमी2 है।