क्या आप भूल गए हैं कि अपूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल किया जाता है?

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-09 16:33

अपूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल करें? यह ज्ञात है कि यह समानता का एक विशेष संस्करण शून्य होगा - एक साथ या अलग से। उदाहरण के लिए, सी=ओ, वी ≠ ओ या इसके विपरीत। हमें द्विघात समीकरण की परिभाषा लगभग याद आ गई।

जांच

द्वितीय अंश का त्रिपद शून्य के बराबर होता है। इसका पहला गुणांक a o, b और c कोई भी मान ले सकता है। चर x का मान तब समीकरण का मूल होगा, जब प्रतिस्थापन पर, यह इसे सही संख्यात्मक समानता में बदल देता है। आइए हम वास्तविक जड़ों पर ध्यान दें, हालांकि जटिल संख्याएं भी समीकरण का समाधान हो सकती हैं। यदि कोई भी गुणांक o के बराबर नहीं है, लेकिन o, o, c o.

एक उदाहरण हल करें, तो समीकरण को पूर्ण कहना प्रथागत है। 2x²-9x-5=ओह, हम पाते हैं

D=81+40=121, D धनात्मक है, इसलिए जड़ें हैं, x1 _{=(9+√121):4=5 और दूसरा x}2 _{=(9-√121):4=-o, 5. जांचना यह सुनिश्चित करने में मदद करेगा कि वे सही हैं।}

यहां द्विघात समीकरण का चरण-दर-चरण समाधान है

विभेदक के माध्यम से, आप किसी भी समीकरण को हल कर सकते हैं, जिसके बाईं ओर एक o के साथ एक ज्ञात वर्ग ट्रिनोमियल है। हमारे उदाहरण में। 2x²-9x-5=0 (कुल्हाड़ी^2+in+s=o)

• सबसे पहले, 2-4ac. में ज्ञात सूत्र का उपयोग करके विवेचक डी को खोजें।
• जाँचना कि D का मान क्या होगा: हमारे पास शून्य से अधिक है, यह शून्य या उससे कम के बराबर हो सकता है।

• हम जानते हैं कि यदि D › o, द्विघात समीकरण के केवल 2 अलग-अलग वास्तविक मूल हैं, तो उन्हें x₁ आमतौर पर और x₂ दर्शाया जाता है।, इस तरह इसकी गणना की गई:

  x₁=(-v+√D):(2a), और दूसरा: x _{2=(-in-√D):(2a).}

• D=o - एक जड़, या, वे कहते हैं, दो बराबर:

  x₁ बराबर x_{2 और बराबर -v:(2a).}

• अंत में, D o का अर्थ है कि समीकरण का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

आइए विचार करें कि दूसरी डिग्री के अधूरे समीकरण क्या हैं

1. कुल्हाड़ी²+में=ओ. मुक्त पद, गुणांक c x⁰ पर, यहाँ o पर शून्य है।

   इस प्रकार के अपूर्ण द्विघात समीकरण को कैसे हल करें? आइए कोष्ठक में से x निकालें। याद रखें जब दो कारकों का गुणनफल शून्य हो।

   x(ax+b)=o, यह तब हो सकता है जब x=o या ax+b=o.

   दूसरा रैखिक समीकरण हल करना;

   x₂ =-बी/ए_।

2. अब x का गुणांक o है और c बराबर नहीं है (≠)ओ.

   x²+एस=ओ. आइए समानता के दाईं ओर से चलते हैं, हमें x² =-с मिलता है। इस समीकरण के केवल वास्तविक मूल हैं जब -c एक धनात्मक संख्या है (c o), x₁ फिर बराबर √(-c), क्रमशः x _{2 ― -√(-एस)। अन्यथा, समीकरण का कोई मूल नहीं है।}

3. अंतिम विकल्प: b=c=o, यानी ah2=o. स्वाभाविक रूप से, ऐसे सरल समीकरण का एक मूल होता है, x=o.

विशेष मामले

अधूरे द्विघात समीकरण को कैसे हल करें, इस पर विचार किया गया, और अब हम किसी भी प्रकार का लेंगे।

पूर्ण द्विघात समीकरण में, x का दूसरा गुणांक एक सम संख्या है।

चलो k=o, 5b। हमारे पास विभेदक और जड़ों की गणना के लिए सूत्र हैं।

D/4=k²-ac, जड़ों की गणना इस तरह की जाती है x_{1, 2=(-k±√(D/4))/a के लिए D › o.}x=-k/a के लिए D=o.

D o के लिए कोई मूल नहीं है।

कम द्विघात समीकरण होते हैं, जब x वर्ग का गुणांक 1 होता है, तो उन्हें आमतौर पर x² +px+ q=o लिखा जाता है। उपरोक्त सभी सूत्र उन पर लागू होते हैं, लेकिन गणना कुछ सरल होती है।+9, D=13.

x¹ =2+√13, x 2 ^{=2-√13 ।}

इसके अलावा, विएटा के प्रमेय को दिए गए प्रमेयों पर आसानी से लागू किया जा सकता है। यह कहता है कि समीकरण के मूलों का योग -p है, दूसरा गुणांक माइनस (अर्थात् विपरीत चिह्न) के साथ है, और इन्हीं मूलों का गुणनफल q, मुक्त पद के बराबर होगा। देखें कि कैसेइस समीकरण की जड़ों को मौखिक रूप से निर्धारित करना आसान होगा। गैर-कम (सभी गैर-शून्य गुणांक के लिए) के लिए, यह प्रमेय निम्नानुसार लागू होता है: 1_x2 _{बराबर/a.}

मुक्त पद c और प्रथम गुणांक a का योग गुणांक b के बराबर होता है। इस स्थिति में, समीकरण में कम से कम एक जड़ होती है (यह साबित करना आसान है), पहला अनिवार्य रूप से -1 के बराबर है, और दूसरा - c / a, यदि यह मौजूद है। अधूरे द्विघात समीकरण को कैसे हल करें, आप इसे स्वयं देख सकते हैं। पाई के रूप में आसान। गुणांक आपस में कुछ अनुपातों में हो सकते हैं

• x²+x=ओ, 7x^2-7=ओ.

• सभी गुणांकों का योग o है।

  ऐसे समीकरण के मूल 1 और c/a हैं। उदाहरण, 2x²-15x+13=o.

  x₁ =1, x_2=13/2.

दूसरी डिग्री के विभिन्न समीकरणों को हल करने के कई अन्य तरीके हैं। यहाँ, उदाहरण के लिए, दिए गए बहुपद से पूर्ण वर्ग निकालने की एक विधि है। कई ग्राफिक तरीके हैं। जब आप अक्सर ऐसे उदाहरणों से निपटते हैं, तो आप उन्हें बीज की तरह "क्लिक" करना सीखेंगे, क्योंकि सभी तरीके अपने आप दिमाग में आ जाते हैं।