संवेग और कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम: समस्या को हल करने का एक उदाहरण

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-02 17:47

जब आपको वस्तुओं की गति पर भौतिकी में समस्याओं को हल करना होता है, तो यह अक्सर संवेग के संरक्षण के नियम को लागू करने के लिए उपयोगी साबित होता है। शरीर के रैखिक और वृत्ताकार गति के लिए गति क्या है, और इस मूल्य के संरक्षण के नियम का सार क्या है, इस पर लेख में चर्चा की गई है।

रैखिक गति की अवधारणा

ऐतिहासिक आंकड़ों से पता चलता है कि 17वीं शताब्दी की शुरुआत में गैलीलियो गैलीली द्वारा उनके वैज्ञानिक कार्यों में पहली बार इस मूल्य पर विचार किया गया था। इसके बाद, आइजैक न्यूटन अंतरिक्ष में वस्तुओं की गति के शास्त्रीय सिद्धांत में गति की अवधारणा (संवेग के लिए एक अधिक सही नाम) को सामंजस्यपूर्ण रूप से एकीकृत करने में सक्षम था।

संवेग को p¯ के रूप में निरूपित करें, फिर इसकी गणना का सूत्र इस प्रकार लिखा जाएगा:

पी¯=एमवी¯।

यहाँ m द्रव्यमान है, v¯ गति की गति (सदिश मान) है। यह समानता दर्शाती है कि गति की मात्रा किसी वस्तु की वेग विशेषता है, जहाँ द्रव्यमान गुणन कारक की भूमिका निभाता है। आंदोलन की संख्याएक सदिश राशि है जो वेग के समान दिशा में इंगित करती है।

सहजता से गति की गति और शरीर का द्रव्यमान जितना अधिक होता है, उसे रोकना उतना ही कठिन होता है, अर्थात उसकी गतिज ऊर्जा उतनी ही अधिक होती है।

आंदोलन की मात्रा और उसका परिवर्तन

आप अनुमान लगा सकते हैं कि पिंड के p¯ मान को बदलने के लिए, आपको कुछ बल लगाने की आवश्यकता है। मान लीजिए कि बल F¯ समय अंतराल t के दौरान कार्य करता है, तो न्यूटन का नियम हमें समानता लिखने की अनुमति देता है:

F¯t=ma¯t; इसलिए F¯t=mΔv¯=p¯.

समय अंतराल t और बल F¯ के गुणनफल के बराबर मान को इस बल का आवेग कहा जाता है। चूंकि यह संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है, बाद वाले को अक्सर केवल संवेग कहा जाता है, यह सुझाव देते हुए कि कुछ बाहरी बल F¯ ने इसे बनाया है।

अत: संवेग में परिवर्तन का कारण बाह्य बल का संवेग है। p¯ का मान p¯ के मान में वृद्धि कर सकता है यदि F¯ और p¯ के बीच का कोण न्यून हो, और यदि यह कोण अधिक हो तो p¯ के मापांक में कमी हो सकती है। सबसे सरल मामले हैं शरीर का त्वरण (F¯ और p¯ के बीच का कोण शून्य है) और इसका मंदी (वैक्टर F¯ और p¯ के बीच का कोण 180o है)।

जब संवेग संरक्षित हो: कानून

अगर शरीर का सिस्टम नहीं हैबाहरी बल कार्य करते हैं, और इसमें सभी प्रक्रियाएं केवल इसके घटकों के यांत्रिक संपर्क द्वारा सीमित होती हैं, फिर गति का प्रत्येक घटक मनमाने ढंग से लंबे समय तक अपरिवर्तित रहता है। यह पिंडों के संवेग के संरक्षण का नियम है, जिसे गणितीय रूप से इस प्रकार लिखा जाता है:

p¯=∑_ip_{i¯=const या}

∑_मैंp_ix=const; ∑_ip_iy=const; _मैंp_iz=const.

सबस्क्रिप्ट i एक पूर्णांक है जो सिस्टम के ऑब्जेक्ट की गणना करता है, और सूचकांक x, y, z कार्टेशियन आयताकार प्रणाली में समन्वय अक्षों में से प्रत्येक के लिए गति घटकों का वर्णन करता है।

व्यवहार में, प्रारंभिक स्थितियों को ज्ञात होने पर, निकायों के टकराव के लिए एक-आयामी समस्याओं को हल करना अक्सर आवश्यक होता है, और प्रभाव के बाद सिस्टम की स्थिति का निर्धारण करना आवश्यक होता है। इस मामले में, गति हमेशा संरक्षित होती है, जिसे गतिज ऊर्जा के बारे में नहीं कहा जा सकता है। प्रभाव से पहले और बाद में केवल एक ही मामले में अपरिवर्तित रहेगा: जब एक बिल्कुल लोचदार बातचीत होती है। v₁ और v_{2,वेग से गतिमान दो पिंडों के टकराने की स्थिति के लिए संवेग संरक्षण सूत्र का रूप लेगा:}

म₁ वी₁ + एम₂ वी ₂=एम₁ यू₁ + एम₂ यू 2_.

यहाँ, वेग u₁ और u_{2 प्रभाव के बाद पिंडों की गति को दर्शाते हैं। ध्यान दें कि संरक्षण कानून के इस रूप में, वेगों के संकेत को ध्यान में रखना आवश्यक है: यदि वे एक दूसरे की ओर निर्देशित हैं, तो एक को लिया जाना चाहिएसकारात्मक और दूसरा नकारात्मक।}

एक पूरी तरह से बेलोचदार टक्कर के लिए (दो पिंड प्रभाव के बाद आपस में चिपक जाते हैं), संवेग के संरक्षण के नियम का रूप है:

म₁ वी₁ + एम₂ वी ₂=(एम₁+ एम_2)यू.

प के संरक्षण के नियम पर समस्या का समाधान¯

आइए निम्नलिखित समस्या को हल करते हैं: दो गेंदें एक दूसरे की ओर लुढ़कती हैं। गेंदों का द्रव्यमान समान है, और उनकी गति 5 मीटर/सेकेंड और 3 मीटर/सेकेंड है। यह मानते हुए कि एक बिल्कुल लोचदार टक्कर है, इसके बाद गेंदों की गति का पता लगाना आवश्यक है।

एक-आयामी मामले के लिए गति संरक्षण कानून का उपयोग करना, और यह ध्यान में रखते हुए कि गतिज ऊर्जा प्रभाव के बाद संरक्षित है, हम लिखते हैं:

v_{1 -} v₂=आप₁ + आप _2;

वी₁² + वी₂^2=आप12 ^{+ आप}22^.

यहां हमने गेंदों के द्रव्यमान को उनकी समानता के कारण तुरंत कम कर दिया, और इस तथ्य को भी ध्यान में रखा कि शरीर एक दूसरे की ओर बढ़ते हैं।

यदि आप ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं तो सिस्टम को हल करना जारी रखना आसान है। हमें मिलता है:

5 - 3 - यू₂=यू_1;

5²+ 3²=यू₁²+ यू₂^2.

u_{1 को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:}

2 - आप₂=आप_1;

34=(2 - यू₂)²+यू₂ 2^{=4 - 4u}2 _{+ 2u}22^{; इस तरह,आप}22^{- 2u}2 _{- 15=0.}

हमें क्लासिक द्विघात समीकरण मिला है। हम इसे विवेचक के माध्यम से हल करते हैं, हमें मिलता है:

डी=4 - 4(-15)=64.

u_{2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) एम/सी.}

हमें दो समाधान मिले। यदि हम उन्हें पहले व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं और u₁ परिभाषित करते हैं, तो हमें निम्न मान प्राप्त होता है: u₁=-3 m/s, u ₂=5 मी/से; यू₁=5 मी/से, यू_{2=-3 मी/से. संख्या का दूसरा युग्म समस्या की स्थिति में दिया गया है, इसलिए यह प्रभाव के बाद वेगों के वास्तविक वितरण के अनुरूप नहीं है।}

इस प्रकार, केवल एक ही समाधान रहता है: u₁=-3 m/s, u_{2=5 m/s। इस जिज्ञासु परिणाम का अर्थ है कि एक केंद्रीय लोचदार टक्कर में, समान द्रव्यमान की दो गेंदें अपने वेगों का आदान-प्रदान करती हैं।}

गति का क्षण

उपरोक्त जो कुछ भी कहा गया था वह रैखिक प्रकार के आंदोलन को संदर्भित करता है। हालांकि, यह पता चला है कि एक निश्चित अक्ष के चारों ओर पिंडों के परिपत्र विस्थापन के मामले में भी समान मात्रा का परिचय दिया जा सकता है। कोणीय गति, जिसे कोणीय गति भी कहा जाता है, की गणना वेक्टर के उत्पाद के रूप में की जाती है जो भौतिक बिंदु को रोटेशन की धुरी और इस बिंदु की गति से जोड़ता है। यानी सूत्र होता है:

L¯=r¯p¯, जहाँ p¯=mv¯.

मोमेंटम, जैसे p¯, एक सदिश है जो सदिश r¯ और p¯ पर बने तल के लंबवत निर्देशित होता है।

L¯ का मान घूर्णन प्रणाली की एक महत्वपूर्ण विशेषता है, क्योंकि यह उसमें संग्रहीत ऊर्जा को निर्धारित करता है।

गति का क्षण और संरक्षण कानून

यदि निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य नहीं करता है तो कोणीय संवेग संरक्षित रहता है (आमतौर पर वे कहते हैं कि बलों का कोई क्षण नहीं है)। पिछले पैराग्राफ में अभिव्यक्ति, सरल परिवर्तनों के माध्यम से, अभ्यास के लिए अधिक सुविधाजनक रूप में लिखी जा सकती है:

L¯=I, जहाँ I=mr2 भौतिक बिंदु की जड़ता का क्षण है, ω¯ कोणीय वेग है।

जड़त्व का क्षण I, जो व्यंजक में दिखाई देता है, रोटेशन के लिए बिल्कुल वही अर्थ है जो रैखिक गति के लिए सामान्य द्रव्यमान है।

यदि व्यवस्था में कोई आंतरिक व्यवस्था है, जिसमें मैं परिवर्तन करता हूँ तो भी स्थिर नहीं रहता। इसके अलावा, दोनों भौतिक मात्राओं में परिवर्तन इस तरह से होता है कि नीचे दी गई समानता मान्य रहती है:

मैं₁ ω₁¯=मैं₂ ω _2¯.

यह कोणीय संवेग L¯ के संरक्षण का नियम है। इसकी अभिव्यक्ति हर उस व्यक्ति द्वारा देखी गई जो कम से कम एक बार बैले या फिगर स्केटिंग में भाग लेते थे, जहां एथलीट रोटेशन के साथ समुद्री डाकू करते हैं।