एक और कई चर के विभेदक कलन कार्य

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2024-01-02 17:47

कैलकुलस कलन की एक शाखा है जो किसी फ़ंक्शन के अध्ययन में व्युत्पन्न, अंतर और उनके उपयोग का अध्ययन करती है।

उपस्थिति का इतिहास

डिफरेंशियल कैलकुलस 17वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में एक स्वतंत्र अनुशासन के रूप में उभरा, न्यूटन और लाइबनिज के काम के लिए धन्यवाद, जिन्होंने डिफरेंशियल कैलकुलस में बुनियादी प्रावधानों को तैयार किया और एकीकरण और भेदभाव के बीच संबंध पर ध्यान दिया। उस क्षण से, इंटीग्रल के कैलकुलस के साथ अनुशासन विकसित हुआ है, इस प्रकार गणितीय विश्लेषण का आधार बनता है। इन कलन की उपस्थिति ने गणितीय दुनिया में एक नए आधुनिक काल की शुरुआत की और विज्ञान में नए विषयों के उद्भव का कारण बना। इसने प्राकृतिक विज्ञान और प्रौद्योगिकी में गणितीय विज्ञान को लागू करने की संभावना का भी विस्तार किया।

बुनियादी अवधारणा

डिफरेंशियल कैलकुलस गणित की मूलभूत अवधारणाओं पर आधारित है। वे हैं: वास्तविक संख्या, निरंतरता, कार्य और सीमा। समय के साथ, उन्होंने इंटीग्रल और डिफरेंशियल कैलकुलस की बदौलत एक आधुनिक रूप धारण किया।

निर्माण प्रक्रिया

एप्लाइड के रूप में डिफरेंशियल कैलकुलस का गठन, और फिर एक वैज्ञानिक पद्धति एक दार्शनिक सिद्धांत के उद्भव से पहले हुई, जिसे कूसा के निकोलस द्वारा बनाया गया था। उनके कार्यों को प्राचीन विज्ञान के निर्णयों से एक विकासवादी विकास माना जाता है। इस तथ्य के बावजूद कि दार्शनिक स्वयं गणितज्ञ नहीं थे, गणितीय विज्ञान के विकास में उनका योगदान निर्विवाद है। कुज़ांस्की सबसे पहले गणित को विज्ञान का सबसे सटीक क्षेत्र मानने से पीछे हटने वालों में से एक थे, जिसने उस समय के गणित को संदेह में डाल दिया था।

प्राचीन गणितज्ञों ने इकाई को सार्वभौमिक मानदंड के रूप में इस्तेमाल किया, जबकि दार्शनिक ने सटीक संख्या के बजाय अनंत को एक नए उपाय के रूप में प्रस्तावित किया। इस संबंध में, गणितीय विज्ञान में परिशुद्धता का प्रतिनिधित्व उलटा है। उनके अनुसार, वैज्ञानिक ज्ञान को तर्कसंगत और बौद्धिक में विभाजित किया गया है। दूसरा अधिक सटीक है, वैज्ञानिक के अनुसार, क्योंकि पहला केवल एक अनुमानित परिणाम देता है।

विचार

डिफरेंशियल कैलकुलस में मुख्य विचार और अवधारणा कुछ बिंदुओं के छोटे पड़ोस में एक फ़ंक्शन से संबंधित है। ऐसा करने के लिए, एक फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए गणितीय उपकरण बनाना आवश्यक है जिसका व्यवहार स्थापित बिंदुओं के एक छोटे से पड़ोस में बहुपद या रैखिक कार्य के व्यवहार के करीब है। यह एक व्युत्पन्न और एक अंतर की परिभाषा पर आधारित है।

व्युत्पत्ति की अवधारणा की उपस्थिति प्राकृतिक विज्ञान और गणित से बड़ी संख्या में समस्याओं के कारण हुई थी,जिसके कारण एक ही प्रकार की सीमा के मान ज्ञात हुए।

हाई स्कूल से शुरू होने वाली मुख्य समस्याओं में से एक उदाहरण के रूप में एक सीधी रेखा के साथ चलने वाले बिंदु की गति निर्धारित करना और इस वक्र के लिए एक स्पर्श रेखा का निर्माण करना है। अंतर इसी से संबंधित है, क्योंकि रेखीय फलन के विचारित बिंदु के एक छोटे से पड़ोस में फलन का अनुमान लगाना संभव है।

एक वास्तविक चर के एक समारोह के व्युत्पन्न की अवधारणा की तुलना में, अंतर की परिभाषा केवल एक सामान्य प्रकृति के एक समारोह के लिए गुजरती है, विशेष रूप से, एक यूक्लिडियन स्थान की छवि को दूसरे पर।

डेरिवेटिव

बिन्दु को ओए-अक्ष की दिशा में चलने दें, उस समय के लिए हम x लेते हैं, जिसे पल की एक निश्चित शुरुआत से गिना जाता है। इस तरह की गति को फ़ंक्शन y=f(x) द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसे स्थानांतरित किए जा रहे बिंदु के निर्देशांक के प्रत्येक समय क्षण x को सौंपा जाता है। यांत्रिकी में, इस कार्य को गति का नियम कहा जाता है। गति की मुख्य विशेषता, विशेष रूप से असमान, तात्कालिक गति है। जब एक बिंदु यांत्रिकी के नियम के अनुसार ओए अक्ष के साथ चलता है, तो यादृच्छिक समय क्षण x पर, यह निर्देशांक f (x) प्राप्त करता है। समय पर x + x, जहाँ Δx समय की वृद्धि को दर्शाता है, इसका निर्देशांक f(x + x) होगा। इस प्रकार सूत्र Δy \u003d f (x + x) - f (x) बनता है, जिसे फ़ंक्शन की वृद्धि कहा जाता है। यह x से x + x तक बिंदु द्वारा तय किए गए पथ का प्रतिनिधित्व करता है।

इसके उभरने के कारणसमय पर वेग, व्युत्पन्न पेश किया जाता है। एक मनमाना कार्य में, एक निश्चित बिंदु पर व्युत्पन्न को सीमा कहा जाता है (यह मानते हुए कि यह मौजूद है)। इसे कुछ प्रतीकों द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है:

f'(x), y',, df/dx, dy/dx, Df(x).

व्युत्पत्ति की गणना करने की प्रक्रिया को विभेदीकरण कहा जाता है।

कई वेरिएबल वाले फंक्शन का डिफरेंशियल कैलकुलस

इस कैलकुलस मेथड का उपयोग कई वेरिएबल वाले फंक्शन की जांच करते समय किया जाता है। दो चर x और y की उपस्थिति में, बिंदु A पर x के संबंध में आंशिक अवकलज को x के संबंध में निश्चित y के साथ इस फलन का अवकलज कहा जाता है।

निम्नलिखित वर्णों द्वारा दर्शाया जा सकता है:

f'(x)(x, y), u'(x), ∂u/∂x या ∂f(x, y)'/∂x.

आवश्यक कौशल

सफलतापूर्वक अध्ययन करने और डिफ्यूज़ को हल करने में सक्षम होने के लिए एकीकरण और भेदभाव में कौशल की आवश्यकता होती है। अवकल समीकरणों को समझना आसान बनाने के लिए, आपको अवकलज के विषय और अनिश्चित समाकलन की अच्छी समझ होनी चाहिए। यह सीखने में भी कोई हर्ज नहीं है कि किसी दिए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को कैसे खोजा जाए। यह इस तथ्य के कारण है कि अध्ययन की प्रक्रिया में अभिन्न और विभेदन का अक्सर उपयोग करना होगा।

डिफरेंशियल इक्वेशन के प्रकार

प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों से संबंधित लगभग सभी परीक्षण पत्रों में, 3 प्रकार के समीकरण होते हैं: सजातीय, वियोज्य चर के साथ, रैखिक अमानवीय।

समीकरणों की दुर्लभ किस्में भी हैं: कुल अंतर के साथ, बर्नौली के समीकरण और अन्य।

निर्णय की मूल बातें

सबसे पहले, आपको स्कूल के पाठ्यक्रम से बीजगणितीय समीकरण याद रखना चाहिए। उनमें चर और संख्याएँ होती हैं। एक साधारण समीकरण को हल करने के लिए, आपको संख्याओं का एक ऐसा समूह खोजने की आवश्यकता है जो किसी दी गई शर्त को पूरा करता हो। एक नियम के रूप में, ऐसे समीकरणों की एक जड़ थी, और शुद्धता की जांच करने के लिए, किसी को केवल इस मान को अज्ञात के लिए स्थानापन्न करना था।

डिफरेंशियल इक्वेशन इसी तरह का होता है। सामान्य तौर पर, इस तरह के पहले क्रम के समीकरण में शामिल हैं:

• स्वतंत्र चर।
• पहले फ़ंक्शन का व्युत्पन्न।
• एक फ़ंक्शन या आश्रित चर।

कुछ मामलों में, अज्ञात में से एक, x या y गायब हो सकता है, लेकिन यह इतना महत्वपूर्ण नहीं है, क्योंकि पहले व्युत्पन्न की उपस्थिति, उच्च क्रम डेरिवेटिव के बिना, समाधान और अंतर के लिए आवश्यक है पथरी सही होना।

डिफरेंशियल इक्वेशन को हल करने का मतलब है दिए गए एक्सप्रेशन से मेल खाने वाले सभी फंक्शन्स का सेट ढूंढना। फ़ंक्शन के ऐसे सेट को अक्सर DE का सामान्य समाधान कहा जाता है।

इंटीग्रल कैलकुलस

इंटीग्रल कैलकुलस गणितीय विश्लेषण के उन वर्गों में से एक है जो इसकी गणना के अभिन्न, गुणों और विधियों की अवधारणा का अध्ययन करता है।

अक्सर, एक घुमावदार आकृति के क्षेत्र की गणना करते समय अभिन्न की गणना होती है। इस क्षेत्र का अर्थ उस सीमा से है जिस पर किसी दिए गए आकृति में अंकित बहुभुज का क्षेत्रफल उसके पक्ष में क्रमिक वृद्धि के साथ होता है, जबकि इन भुजाओं को पहले से निर्दिष्ट किसी भी मनमाना से कम बनाया जा सकता हैछोटा मूल्य।

एक मनमाना ज्यामितीय आकृति के क्षेत्र की गणना करने में मुख्य विचार एक आयत के क्षेत्रफल की गणना करना है, अर्थात यह साबित करना है कि इसका क्षेत्रफल लंबाई और चौड़ाई के गुणनफल के बराबर है। जब ज्यामिति की बात आती है, तो सभी निर्माण एक शासक और एक कंपास का उपयोग करके किए जाते हैं, और फिर लंबाई से चौड़ाई का अनुपात तर्कसंगत मान होता है। एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करते समय, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि यदि आप उसी त्रिभुज को उसके आगे रखते हैं, तो एक आयत बनता है। एक समांतर चतुर्भुज में, एक आयत और एक त्रिभुज के माध्यम से क्षेत्रफल की गणना एक समान, लेकिन थोड़ी अधिक जटिल विधि द्वारा की जाती है। बहुभुजों में क्षेत्रफल की गणना इसमें शामिल त्रिभुजों द्वारा की जाती है।

मनमाने वक्र के बख्शते का निर्धारण करते समय, यह विधि काम नहीं करेगी। यदि आप इसे एकल वर्गों में तोड़ते हैं, तो रिक्त स्थान होंगे। इस मामले में, कोई ऊपर और नीचे आयतों के साथ दो कवरों का उपयोग करने का प्रयास करता है, परिणामस्वरूप, उनमें फ़ंक्शन का ग्राफ़ शामिल होता है और नहीं। इन आयतों में विभाजन की विधि यहाँ महत्वपूर्ण बनी हुई है। इसके अलावा, अगर हम तेजी से छोटे विभाजन लेते हैं, तो ऊपर और नीचे के क्षेत्र को एक निश्चित मूल्य पर अभिसरण करना चाहिए।

इसे आयतों में विभाजित करने की विधि पर वापस जाना चाहिए। दो लोकप्रिय तरीके हैं।

रीमैन ने लीबनिज और न्यूटन द्वारा एक सबग्राफ के क्षेत्र के रूप में बनाए गए इंटीग्रल की परिभाषा को औपचारिक रूप दिया। इस मामले में, एक निश्चित संख्या में ऊर्ध्वाधर आयतों से मिलकर और विभाजित करके प्राप्त आंकड़ों पर विचार किया गया थाखंड। जब, जैसे-जैसे विभाजन घटता है, एक सीमा होती है जिससे समान आकृति का क्षेत्रफल कम हो जाता है, इस सीमा को दिए गए अंतराल पर फ़ंक्शन का रीमैन इंटीग्रल कहा जाता है।

दूसरी विधि लेब्सग इंटीग्रल का निर्माण है, जिसमें यह तथ्य शामिल है कि परिभाषित क्षेत्र को इंटीग्रैंड के हिस्सों में विभाजित करने के स्थान के लिए और फिर इन भागों में प्राप्त मूल्यों से इंटीग्रल योग को संकलित करना, इसके मूल्यों की श्रेणी को अंतरालों में विभाजित किया जाता है, और फिर इन इंटीग्रल के पूर्व-छवियों के संबंधित उपायों के साथ सारांशित किया जाता है।

आधुनिक लाभ

डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस के अध्ययन के लिए मुख्य मैनुअल में से एक फिखटेनगोल्ट्स द्वारा लिखा गया था - "डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस का कोर्स"। उनकी पाठ्यपुस्तक गणितीय विश्लेषण के अध्ययन के लिए एक मौलिक मार्गदर्शक है, जो कई संस्करणों और अन्य भाषाओं में अनुवाद के माध्यम से चला गया है। विश्वविद्यालय के छात्रों के लिए बनाया गया है और लंबे समय से कई शैक्षणिक संस्थानों में मुख्य अध्ययन एड्स में से एक के रूप में उपयोग किया जाता है। सैद्धांतिक डेटा और व्यावहारिक कौशल देता है। पहली बार 1948 में प्रकाशित हुआ।

कार्य अनुसंधान एल्गोरिदम

डिफरेंशियल कैलकुलस के तरीकों का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन की जांच करने के लिए, आपको पहले से दिए गए एल्गोरिथम का पालन करना चाहिए:

1. फ़ंक्शन का दायरा खोजें।
2. दिए गए समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए।
3. चरम की गणना करें। ऐसा करने के लिए, व्युत्पन्न और उन बिंदुओं की गणना करें जहां यह शून्य के बराबर है।
4. परिणामी मान को समीकरण में बदलें।

विभेदक समीकरणों की किस्में

प्रथम-क्रम नियंत्रण (अन्यथा, अंतरसिंगल वेरिएबल कैलकुलस) और उनके प्रकार:

• वियोज्य समीकरण: f(y)dy=g(x)dx.
• एक चर के फ़ंक्शन का सबसे सरल समीकरण, या डिफरेंशियल कैलकुलस, जिसका सूत्र है: y'=f(x).
• रैखिक अमानवीय प्रथम-क्रम DE: y'+P(x)y=Q(x).
• बर्नौली अंतर समीकरण: y'+P(x)y=Q(x)ya ।
• कुल अंतर के साथ समीकरण: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0.

द्वितीय क्रम अंतर समीकरण और उनके प्रकार:

• अचर गुणांक मानों के साथ रैखिक द्वितीय क्रम सजातीय अंतर समीकरण: y +py'+qy=0 p, q R से संबंधित है।
• स्थिर गुणांकों के साथ रैखिक अमानवीय द्वितीय-क्रम अंतर समीकरण: y +py'+qy=f(x).
• रैखिक सजातीय अंतर समीकरण: y +p(x)y'+q(x)y=0, और अमानवीय द्वितीय क्रम समीकरण: y+p(x)y'+q(x)y=f(x).

उच्च क्रम के अंतर समीकरण और उनके प्रकार:

• डिफरेंशियल इक्वेशन जिसे क्रम में कम किया जा सकता है: F(x, y^(k), y^(k+1),.., वाई^(एन)=0.
• रैखिक उच्च क्रम सजातीय समीकरण: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^{(n- 1)}+…+f₁y'+f₀y=0, और अमानवीय: y⁽ⁿ⁾+f_(n-1)y^(n-1)+…+f_{1 y'+f}0_y=f(x).

डिफरेंशियल इक्वेशन वाली समस्या को हल करने के चरण

रिमोट कंट्रोल की मदद से न केवल गणितीय या भौतिक प्रश्नों को हल किया जाता है, बल्कि विभिन्न समस्याओं को भी हल किया जाता हैजीव विज्ञान, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, आदि। विषयों की विस्तृत विविधता के बावजूद, ऐसी समस्याओं को हल करते समय एक ही तार्किक क्रम का पालन करना चाहिए:

1. रिमोट कंट्रोल का संकलन। सबसे कठिन चरणों में से एक जिसमें अधिकतम सटीकता की आवश्यकता होती है, क्योंकि कोई भी गलती पूरी तरह से गलत परिणाम देगी। प्रक्रिया को प्रभावित करने वाले सभी कारकों को ध्यान में रखा जाना चाहिए और प्रारंभिक शर्तों को निर्धारित किया जाना चाहिए। यह तथ्यों और तार्किक निष्कर्षों पर भी आधारित होना चाहिए।
2. तैयार समीकरण का समाधान। यह प्रक्रिया पहले चरण की तुलना में सरल है, क्योंकि इसके लिए केवल सख्त गणितीय गणनाओं की आवश्यकता होती है।
3. परिणामों का विश्लेषण और मूल्यांकन। परिणाम के व्यावहारिक और सैद्धांतिक मूल्य को स्थापित करने के लिए व्युत्पन्न समाधान का मूल्यांकन किया जाना चाहिए।

चिकित्सा में अंतर समीकरणों का उपयोग करने का एक उदाहरण

चिकित्सा के क्षेत्र में रिमोट कंट्रोल का उपयोग महामारी विज्ञान के गणितीय मॉडल का निर्माण करते समय होता है। साथ ही यह नहीं भूलना चाहिए कि ये समीकरण जीव विज्ञान और रसायन विज्ञान में भी पाए जाते हैं, जो दवा के करीब हैं, क्योंकि मानव शरीर में विभिन्न जैविक आबादी और रासायनिक प्रक्रियाओं का अध्ययन इसमें महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

महामारी के उपरोक्त उदाहरण में हम एक अलग समाज में संक्रमण के प्रसार पर विचार कर सकते हैं। निवासियों को तीन प्रकारों में बांटा गया है:

• संक्रमित, संख्या x(t), व्यक्तियों से मिलकर, संक्रमण के वाहक, जिनमें से प्रत्येक संक्रामक है (ऊष्मायन अवधि कम है)।
• दूसरे प्रकार में शामिल हैंअतिसंवेदनशील व्यक्ति y(t) संक्रमित व्यक्तियों के संपर्क में आने से संक्रमित होने में सक्षम हैं।
• तीसरी प्रजाति में शामिल हैं प्रतिरक्षित व्यक्ति z(t) जो प्रतिरक्षित हैं या रोग के कारण मर चुके हैं।

व्यक्तियों की संख्या स्थिर है, जन्म, प्राकृतिक मृत्यु और प्रवास का हिसाब नहीं रखा जाता है। मूल में दो परिकल्पनाएँ होंगी।

एक निश्चित समय बिंदु पर घटना का प्रतिशत x(t)y(t) है (इस सिद्धांत के आधार पर कि मामलों की संख्या बीमार और अतिसंवेदनशील प्रतिनिधियों के बीच चौराहों की संख्या के समानुपाती होती है, जो पहले सन्निकटन x(t)y(t) के समानुपाती होगा, इस संबंध में, मामलों की संख्या बढ़ जाती है, और अतिसंवेदनशील की संख्या उस दर से घट जाती है जिसकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है ax(t)y(t) (ए > 0).

प्रतिरक्षित व्यक्तियों की संख्या जो प्रतिरक्षित हो गए हैं या उनकी मृत्यु हो गई है, वे उस दर से बढ़ रहे हैं जो मामलों की संख्या के समानुपाती है, bx(t) (b > 0)।

परिणामस्वरूप, आप तीनों संकेतकों को ध्यान में रखते हुए समीकरणों की एक प्रणाली बना सकते हैं और उसके आधार पर निष्कर्ष निकाल सकते हैं।

अर्थशास्त्र का उदाहरण

डिफरेंशियल कैलकुलस का उपयोग अक्सर आर्थिक विश्लेषण में किया जाता है। आर्थिक विश्लेषण में मुख्य कार्य अर्थव्यवस्था से मात्राओं का अध्ययन करना है, जो एक फलन के रूप में लिखे जाते हैं। इसका उपयोग करों में वृद्धि के तुरंत बाद आय में परिवर्तन, कर्तव्यों की शुरूआत, कंपनी के राजस्व में परिवर्तन जैसी समस्याओं को हल करते समय किया जाता है जब उत्पादन की लागत में परिवर्तन होता है, किस अनुपात में सेवानिवृत्त श्रमिकों को नए उपकरणों से बदला जा सकता है। ऐसे मुद्दों को हल करने के लिए, यह आवश्यक हैइनपुट वेरिएबल्स से एक कनेक्शन फ़ंक्शन बनाएं, जो तब डिफरेंशियल कैलकुलस का उपयोग करके अध्ययन किया जाता है।

आर्थिक क्षेत्र में, अक्सर सबसे इष्टतम संकेतक ढूंढना आवश्यक होता है: अधिकतम श्रम उत्पादकता, उच्चतम आय, न्यूनतम लागत, और इसी तरह। ऐसा प्रत्येक संकेतक एक या अधिक तर्कों का एक कार्य है। उदाहरण के लिए, उत्पादन को श्रम और पूंजी इनपुट के कार्य के रूप में देखा जा सकता है। इस संबंध में, एक या अधिक चरों से किसी फ़ंक्शन के अधिकतम या न्यूनतम को खोजने के लिए एक उपयुक्त मान को कम किया जा सकता है।

इस तरह की समस्याएं आर्थिक क्षेत्र में चरम समस्याओं का एक वर्ग बनाती हैं, जिसके समाधान के लिए डिफरेंशियल कैलकुलस की आवश्यकता होती है। जब एक आर्थिक संकेतक को किसी अन्य संकेतक के एक फ़ंक्शन के रूप में कम या अधिकतम करने की आवश्यकता होती है, तो अधिकतम के बिंदु पर, तर्क की वृद्धि शून्य होने पर फ़ंक्शन की वृद्धि का अनुपात शून्य हो जाएगा। अन्यथा, जब ऐसा अनुपात कुछ सकारात्मक या नकारात्मक मान की ओर जाता है, तो निर्दिष्ट बिंदु उपयुक्त नहीं है, क्योंकि तर्क को बढ़ाकर या घटाकर, आप आवश्यक दिशा में आश्रित मान को बदल सकते हैं। डिफरेंशियल कैलकुलस की शब्दावली में, इसका मतलब यह होगा कि किसी फ़ंक्शन के अधिकतम के लिए आवश्यक शर्त उसके व्युत्पन्न का शून्य मान है।

अर्थशास्त्र में, कई चर के साथ एक फ़ंक्शन के चरम को खोजने में अक्सर समस्याएं होती हैं, क्योंकि आर्थिक संकेतक कई कारकों से बने होते हैं। इस तरह के प्रश्न अच्छे हैं।विभेदक गणना के तरीकों को लागू करते हुए, कई चर के कार्यों के सिद्धांत में अध्ययन किया। ऐसी समस्याओं में न केवल अधिकतम और न्यूनतम कार्य शामिल हैं, बल्कि बाधाएं भी शामिल हैं। इस तरह के प्रश्न गणितीय प्रोग्रामिंग से संबंधित हैं, और इन्हें विशेष रूप से विकसित विधियों की सहायता से हल किया जाता है, वह भी विज्ञान की इस शाखा पर आधारित है।

अर्थशास्त्र में प्रयुक्त डिफरेंशियल कैलकुलस की विधियों में से एक महत्वपूर्ण खंड सीमांत विश्लेषण है। आर्थिक क्षेत्र में, यह शब्द उनके सीमांत संकेतकों के विश्लेषण के आधार पर निर्माण, खपत की मात्रा को बदलते समय चर संकेतकों और परिणामों का अध्ययन करने के तरीकों के एक सेट को संदर्भित करता है। सीमित संकेतक कई चर के साथ व्युत्पन्न या आंशिक डेरिवेटिव है।

गणितीय विश्लेषण के क्षेत्र में कई चरों का विभेदक कलन एक महत्वपूर्ण विषय है। विस्तृत अध्ययन के लिए आप उच्च शिक्षा के लिए विभिन्न पाठ्यपुस्तकों का उपयोग कर सकते हैं। सबसे प्रसिद्ध में से एक फिखटेनगोल्ट्स द्वारा बनाया गया था - "डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस का कोर्स"। जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, विभेदक समीकरणों को हल करने के लिए इंटीग्रल के साथ काम करने के कौशल का काफी महत्व है। जब किसी एक चर के फलन का अवकलन होता है, तो समाधान सरल हो जाता है। हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए, यह समान बुनियादी नियमों के अधीन है। डिफरेंशियल कैलकुलस द्वारा व्यवहार में एक फ़ंक्शन का अध्ययन करने के लिए, यह पहले से मौजूद एल्गोरिथम का पालन करने के लिए पर्याप्त है, जो हाई स्कूल में दिया जाता है और नए पेश किए जाने पर केवल थोड़ा जटिल होता है।चर।