प्लानिमेट्री ज्यामिति की एक शाखा है जो समतल आकृतियों के गुणों का अध्ययन करती है। इनमें न केवल प्रसिद्ध त्रिभुज, वर्ग, आयत, बल्कि सीधी रेखाएँ और कोण भी शामिल हैं। प्लानिमेट्री में, एक वृत्त में कोण जैसी अवधारणाएँ भी होती हैं: केंद्रीय और खुदा हुआ। लेकिन उनका क्या मतलब है?
केंद्रीय कोण क्या है?
केंद्रीय कोण क्या है, यह समझने के लिए आपको एक वृत्त को परिभाषित करने की आवश्यकता है। एक वृत्त किसी दिए गए बिंदु (वृत्त का केंद्र) से समान दूरी पर स्थित सभी बिंदुओं का एक संग्रह है।
इसे सर्कल से अलग करना बहुत जरूरी है। यह याद रखना चाहिए कि एक वृत्त एक बंद रेखा है, और एक वृत्त एक समतल का एक भाग है जो इससे घिरा है। एक वृत्त में एक बहुभुज या एक कोण अंकित किया जा सकता है।
केन्द्रीय कोण वह कोण होता है जिसका शीर्ष वृत्त के केंद्र से संपाती होता है और जिसकी भुजाएँ वृत्त को दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं। वह चाप, जिसे कोण प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा सीमित करता है, वह चाप कहलाता है जिस पर दिया गया कोण टिका होता है।
उदाहरण 1 पर विचार करें।
चित्र में, कोण AOB केंद्रीय है, क्योंकि कोण का शीर्ष और वृत्त का केंद्र एक बिंदु O है। यह चाप AB पर टिकी हुई है, जिसमें बिंदु C नहीं है।
एक खुदा हुआ कोण केंद्रीय कोण से कैसे भिन्न होता है?
हालांकि, केंद्रीय के अलावा, खुदा हुआ कोण भी हैं। उनका अंतर क्या है? केंद्रीय की तरह, एक वृत्त में अंकित कोण एक निश्चित चाप पर टिका होता है। लेकिन इसका शीर्ष वृत्त के केंद्र से मेल नहीं खाता, बल्कि उस पर स्थित होता है।
निम्नलिखित उदाहरण लेते हैं।
कोण ACB बिंदु O पर केन्द्रित वृत्त में अंकित कोण कहलाता है। बिंदु C वृत्त का है, अर्थात उस पर स्थित है। कोण चाप AB पर टिका हुआ है।
केंद्रीय कोण क्या है
ज्यामिति में समस्याओं का सफलतापूर्वक सामना करने के लिए, उत्कीर्ण और केंद्रीय कोणों के बीच अंतर करने में सक्षम होना पर्याप्त नहीं है। एक नियम के रूप में, उन्हें हल करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि एक वृत्त में केंद्रीय कोण कैसे खोजा जाए, और डिग्री में इसके मान की गणना करने में सक्षम हो।
तो, केंद्रीय कोण उस चाप के डिग्री माप के बराबर है जिस पर वह टिकी हुई है।
चित्र में, कोण AOB चाप AB पर 66° के बराबर है। अतः कोण AOB भी 66° के बराबर है।
इस प्रकार, समान चापों पर आधारित केंद्रीय कोण बराबर होते हैं।
आकृति में चाप DC, चाप AB के बराबर है। अतः कोण AOB कोण DOC के बराबर है।
एक खुदा हुआ कोण कैसे खोजें
ऐसा लग सकता है कि वृत्त में खुदा हुआ कोण केंद्रीय कोण के बराबर है,जो एक ही चाप पर निर्भर करता है। हालाँकि, यह एक घोर गलती है। वास्तव में, यहाँ तक कि केवल आरेखण को देखने और इन कोणों की एक दूसरे से तुलना करने पर भी, आप देख सकते हैं कि उनके डिग्री मापों के अलग-अलग मान होंगे। तो वृत्त में अंकित कोण क्या है?
एक खुदा हुआ कोण का डिग्री माप उस चाप का आधा होता है जिस पर वह टिका होता है, या आधा केंद्रीय कोण होता है यदि वे एक ही चाप पर भरोसा करते हैं।
आइए एक उदाहरण लेते हैं। कोण ACB 66° के चाप पर आधारित है।
तो कोण DIA=66°: 2=33°
आइए इस प्रमेय के कुछ परिणामों पर विचार करें।
- अंकित कोण, यदि वे एक ही चाप, जीवा या समान चाप पर आधारित हों, बराबर होते हैं।
- यदि उत्कीर्ण कोण एक ही जीवा पर आधारित हों, लेकिन उनके शीर्ष इसके विपरीत पक्षों पर स्थित हों, तो ऐसे कोणों के डिग्री मापों का योग 180° होता है, क्योंकि इस स्थिति में दोनों कोण चापों पर आधारित होते हैं, जिसका कुल अंश माप 360° (संपूर्ण वृत्त) है, 360°: 2=180°
- यदि अंकित कोण दिए गए वृत्त के व्यास पर आधारित है, तो इसकी डिग्री माप 90° है, क्योंकि व्यास 180°, 180°: 2=90° के बराबर चाप को अंतरित करता है।
- यदि एक वृत्त में केंद्रीय और खुदा हुआ कोण एक ही चाप या जीवा पर आधारित हों, तो खुदा हुआ कोण केंद्रीय कोण के आधे के बराबर होता है।
इस विषय पर समस्याएं कहां मिल सकती हैं? उनके प्रकार और समाधान
चूंकि वृत्त और उसके गुण ज्यामिति के सबसे महत्वपूर्ण वर्गों में से एक हैं, विशेष रूप से ग्रहमिति, वृत्त में उत्कीर्ण और केंद्रीय कोण एक ऐसा विषय है जो व्यापक रूप से और विस्तार से हैस्कूल के पाठ्यक्रम में अध्ययन किया। उनकी संपत्तियों के लिए समर्पित कार्य मुख्य राज्य परीक्षा (ओजीई) और एकीकृत राज्य परीक्षा (यूएसई) में पाए जाते हैं। एक नियम के रूप में, इन समस्याओं को हल करने के लिए, आपको वृत्त पर कोणों को अंशों में खोजना चाहिए।
एक ही चाप पर आधारित कोण
इस प्रकार की समस्या शायद सबसे आसान में से एक है, क्योंकि इसे हल करने के लिए आपको केवल दो सरल गुणों को जानने की आवश्यकता है: यदि दोनों कोण खुदे हुए हैं और एक ही जीवा पर झुके हैं, तो वे बराबर हैं, यदि उनमें से एक है केंद्रीय, तो संबंधित खुदा कोण इसके आधे के बराबर है। हालांकि, उन्हें हल करते समय, किसी को बेहद सावधान रहना चाहिए: कभी-कभी इस संपत्ति को नोटिस करना मुश्किल होता है, और छात्र, ऐसी सरल समस्याओं को हल करते समय, एक मृत अंत में आते हैं। एक उदाहरण पर विचार करें।
समस्या 1
बिन्दु O पर केन्द्रित एक वृत्त दिया गया है। कोण AOB 54° है। कोण DIA का अंश माप ज्ञात कीजिए।
यह कार्य एक चरण में हल किया जाता है। इसका उत्तर जल्दी से खोजने के लिए आपको केवल एक चीज की आवश्यकता है, यह ध्यान देना है कि जिस चाप पर दोनों कोने टिके हैं वह एक सामान्य है। इसे देखकर आप पहले से ही परिचित संपत्ति को लागू कर सकते हैं। कोण ACB कोण AOB का आधा है। तो
1) एओबी=54°: 2=27°।
उत्तर: 54°.
एक ही वृत्त के विभिन्न चापों पर आधारित कोण
कभी-कभी चाप का आकार जिस पर आवश्यक कोण टिका होता है, समस्या की स्थितियों में सीधे निर्दिष्ट नहीं होता है। इसकी गणना करने के लिए, आपको इन कोणों के परिमाण का विश्लेषण करने और वृत्त के ज्ञात गुणों के साथ उनकी तुलना करने की आवश्यकता है।
समस्या 2
O पर केंद्रित वृत्त में, कोण AOC120° है, और कोण AOB 30° है। आप कोना खोजें।
शुरू में, यह कहने योग्य है कि समद्विबाहु त्रिभुजों के गुणों का उपयोग करके इस समस्या को हल करना संभव है, लेकिन इसके लिए अधिक गणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता होगी। इसलिए, यहां हम एक वृत्त में केंद्रीय और उत्कीर्ण कोणों के गुणों का उपयोग करके समाधान का विश्लेषण करेंगे।
तो, कोण AOC चाप AC पर टिका हुआ है और केंद्रीय है, जिसका अर्थ है कि चाप AC, कोण AOC के बराबर है।
एसी=120°
इसी प्रकार, कोण AOB चाप AB पर टिका होता है।
AB=30°।
इसे और पूरे वृत्त (360°) की डिग्री माप को जानकर आप आसानी से चाप BC का परिमाण ज्ञात कर सकते हैं।
BC=360° - AC - AB
BC=360° - 120° - 30°=210°
कोण CAB का शीर्ष, बिंदु A, वृत्त पर स्थित है। अत: कोण CAB खुदा हुआ है और चाप CB के आधे के बराबर है।
कैब कोण=210°: 2=110°
उत्तर: 110°
चाप अनुपात पर आधारित समस्या
कुछ समस्याओं में कोणों पर डेटा बिल्कुल भी नहीं होता है, इसलिए उन्हें केवल ज्ञात प्रमेयों और वृत्त के गुणों के आधार पर खोजने की आवश्यकता होती है।
समस्या 1
एक वृत्त में अंकित कोण ज्ञात कीजिए जो दिए गए वृत्त की त्रिज्या के बराबर एक जीवा द्वारा समर्थित है।
यदि आप मानसिक रूप से खंड के सिरों को वृत्त के केंद्र से जोड़ने वाली रेखाएँ खींचते हैं, तो आपको एक त्रिभुज मिलता है। इसकी जाँच करने पर, आप देख सकते हैं कि ये रेखाएँ वृत्त की त्रिज्याएँ हैं, जिसका अर्थ है कि त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान हैं। हम जानते हैं कि एक समबाहु त्रिभुज के सभी कोण60° के बराबर है। अत: त्रिभुज का शीर्ष वाला चाप AB 60° के बराबर है। यहाँ से हम चाप AB पाते हैं, जिस पर वांछित कोण आधारित होता है।
AB=360° - 60°=300°
कोण ABC=300°: 2=150°
उत्तर: 150°
समस्या 2
बिन्दु O पर केन्द्रित एक वृत्त में, चाप 3:7 के रूप में संबंधित हैं। छोटा खुदा हुआ कोण ज्ञात कीजिए।
समाधान के लिए, हम एक भाग को X के रूप में निरूपित करते हैं, फिर एक चाप 3X के बराबर होता है, और दूसरा क्रमशः 7X होता है। यह जानते हुए कि एक वृत्त की डिग्री माप 360° है, हम एक समीकरण लिख सकते हैं।
3X + 7X=360°
10X=360°
X=36°
शर्त के अनुसार, आपको एक छोटा कोण खोजने की आवश्यकता है। स्पष्ट रूप से, यदि कोण का मान उस चाप के समानुपाती होता है जिस पर वह टिका होता है, तो आवश्यक (छोटा) कोण 3X के बराबर चाप के संगत होता है।
तो छोटा कोण है (36°3): 2=108°: 2=54°
उत्तर: 54°
समस्या 3
बिन्दु O पर केन्द्रित एक वृत्त में, कोण AOB 60° है और छोटे चाप की लंबाई 50 है। बड़े चाप की लंबाई की गणना करें।
बड़े चाप की लंबाई की गणना करने के लिए, आपको एक अनुपात बनाने की आवश्यकता है - छोटा चाप बड़े चाप से कैसे संबंधित है। ऐसा करने के लिए, हम डिग्री में दोनों चापों के परिमाण की गणना करते हैं। छोटा चाप उस कोण के बराबर होता है जो उस पर टिका होता है। इसकी डिग्री माप 60° है। बड़ा चाप वृत्त के डिग्री माप के बीच के अंतर के बराबर है (यह अन्य डेटा की परवाह किए बिना 360° के बराबर है) और छोटा चाप।
बड़ा चाप 360° - 60°=300° है।
चूंकि 300°: 60°=5, बड़ा चाप छोटे चाप का 5 गुना है।
बिग आर्क=505=250
उत्तर: 250
तो, ज़ाहिर है, कुछ और भी हैंसमान समस्याओं को हल करने के लिए दृष्टिकोण, लेकिन वे सभी किसी न किसी तरह केंद्रीय और खुदा कोणों, त्रिभुजों और वृत्तों के गुणों पर आधारित होते हैं। उन्हें सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको ड्राइंग का सावधानीपूर्वक अध्ययन करने और समस्या के डेटा के साथ इसकी तुलना करने की आवश्यकता है, साथ ही साथ अपने सैद्धांतिक ज्ञान को व्यवहार में लागू करने में सक्षम होना चाहिए।
