गणित के बीजगणित और ज्यामिति में विभाजन के साथ, शैक्षिक सामग्री और अधिक कठिन हो जाती है। नए आंकड़े और उनके विशेष मामले सामने आते हैं। सामग्री को अच्छी तरह से समझने के लिए, अवधारणाओं, वस्तुओं के गुणों और संबंधित प्रमेयों का अध्ययन करना आवश्यक है।
सामान्य अवधारणाएं
एक चतुर्भुज का अर्थ है एक ज्यामितीय आकृति। इसमें 4 अंक होते हैं। इसके अलावा, उनमें से 3 एक ही सीधी रेखा पर स्थित नहीं हैं। श्रृंखला में निर्दिष्ट बिंदुओं को जोड़ने वाले खंड हैं।
स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में पढ़े गए सभी चतुर्भुजों को निम्न चित्र में दिखाया गया है। निष्कर्ष: प्रस्तुत आकृति में से किसी भी वस्तु में पिछली आकृति के गुण होते हैं।
एक चतुर्भुज निम्न प्रकार का हो सकता है:
- समांतर चतुर्भुज। इसकी सम्मुख भुजाओं की समांतरता संगत प्रमेयों से सिद्ध होती है।
- ट्रैपेज़। समानांतर आधारों वाला एक चतुर्भुज। अन्य दो दल नहीं हैं।
- आयत। एक आकृति जिसके चारों कोने हैं=90º.
- चतुर्भुज। एक आकृति जिसकी सभी भुजाएँ समान हैं।
- चौकोर। अंतिम दो आंकड़ों के गुणों को जोड़ती है। इसकी सभी भुजाएँ समान हैं और सभी कोण समकोण हैं।
इस विषय की मुख्य परिभाषा एक वृत्त में उत्कीर्ण चतुर्भुज है। इसमें निम्नलिखित शामिल हैं। यह एक आकृति है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया गया है। इसे सभी शीर्षों से गुजरना होगा। एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग 360º होता है।
हर चतुर्भुज को अंकित नहीं किया जा सकता है। यह इस तथ्य के कारण है कि 4 भुजाओं के लम्ब समद्विभाजक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं कर सकते हैं। इससे 4-गॉन को घेरे हुए वृत्त का केंद्र खोजना असंभव हो जाएगा।
विशेष मामले
हर नियम के अपवाद होते हैं। तो, इस विषय में भी विशेष मामले हैं:
- एक समांतर चतुर्भुज, जैसे, एक वृत्त में अंकित नहीं किया जा सकता है। केवल उनका विशेष मामला। यह एक आयत है।
- यदि समचतुर्भुज के सभी शीर्ष परिवृत्त रेखा पर हों, तो वह एक वर्ग होता है।
- समलम्ब चतुर्भुज के सभी शीर्ष वृत्त की सीमा पर हैं। इस मामले में, वे एक समद्विबाहु आकृति की बात करते हैं।
एक वृत्त में एक उत्कीर्ण चतुर्भुज के गुण
किसी दिए गए विषय पर सरल और जटिल समस्याओं को हल करने से पहले, आपको अपने ज्ञान को सत्यापित करने की आवश्यकता है। शैक्षिक सामग्री का अध्ययन किए बिना एक भी उदाहरण हल करना असंभव है।
प्रमेय 1
एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180º होता है।
सबूत
दिया गया है: चतुर्भुज ABCD एक वृत्त में अंकित है। इसका केंद्र बिंदु O है। हमें सिद्ध करना होगा कि <A + <C=180º और < बी + <डी=180º.
प्रस्तुत आंकड़ों पर विचार करने की आवश्यकता है।
- <A बिंदु O पर केंद्रित एक वृत्त में अंकित है। इसे ½ BCD (आधा चाप) से मापा जाता है।
- <C इसी घेरे में अंकित है। इसे ½ BAD (आधा चाप) से मापा जाता है।
- BAD और BCD एक संपूर्ण वृत्त बनाते हैं, अर्थात उनका परिमाण 360º है।
- <A + <C अर्ध-आर्क्स के आधे योग के बराबर हैं।
- इसलिए <A + <C=360º / 2=180º।
इसी तरह <B और <D के लिए प्रूफ। हालाँकि, समस्या का दूसरा समाधान है।
- यह ज्ञात है कि एक चतुर्भुज के आंतरिक कोणों का योग 360º होता है।
- क्योंकि <A + <C=180º। तदनुसार, <B + <D=360º - 180º=180º।
प्रमेय 2
(इसे अक्सर उलटा कहा जाता है) यदि एक चतुर्भुज में <A + <C=180º और <B + <D=180º (यदि वे विपरीत हैं), तो ऐसी आकृति के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।
सबूत
चतुर्भुज ABCD के सम्मुख कोणों का योग 180º के बराबर है। <A + <C=180º, <B +<डी=180º। हमें यह सिद्ध करने की आवश्यकता है कि ABCD के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है।
ज्यामिति पाठ्यक्रम से ज्ञात होता है कि एक चतुर्भुज के 3 बिंदुओं से होकर एक वृत्त खींचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, आप बिंदु A, B, C का उपयोग कर सकते हैं। बिंदु D कहाँ स्थित होगा? 3 अनुमान हैं:
- वह सर्कल के अंदर समाप्त होती है। इस स्थिति में, D रेखा को नहीं छूता है।
- सर्कल के बाहर। वह उल्लिखित रेखा से बहुत आगे निकल जाती है।
- यह एक वृत्त पर निकलता है।
यह मान लेना चाहिए कि डी सर्कल के अंदर है। संकेतित शीर्ष के स्थान पर D´ का कब्जा है। यह चतुर्भुज ABCD निकला।
परिणाम है:<B + <D´=2d.
यदि हम बिंदु E पर केंद्रित मौजूदा सर्कल के साथ चौराहे पर AD´ जारी रखते हैं और E और C को जोड़ते हैं, तो हमें एक उत्कीर्ण चतुर्भुज ABCE मिलता है। पहले प्रमेय से समानता इस प्रकार है:
ज्यामिति के नियमों के अनुसार, व्यंजक मान्य नहीं है क्योंकि <D´ त्रिभुज CD´E का बाहरी कोना है। तदनुसार, यह <E से अधिक होना चाहिए। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि D या तो वृत्त पर होना चाहिए या उसके बाहर।
इसी प्रकार, तीसरी धारणा गलत साबित हो सकती है जब डी´´ वर्णित आकृति की सीमा से परे चला जाता है।
दो परिकल्पनाओं से केवल एक ही सही निकलता है। वर्टेक्स डी सर्कल लाइन पर स्थित है। दूसरे शब्दों में, D, E से मेल खाता है। यह इस प्रकार है कि चतुर्भुज के सभी बिंदु वर्णित रेखा पर स्थित हैं।
इनसेदो प्रमेय, उपफल अनुसरण करते हैं:
किसी भी आयत को वृत्त में अंकित किया जा सकता है। एक और परिणाम है। किसी भी आयत के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है।
समान कूल्हों वाले समलंब चतुर्भुज को एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, यह इस तरह लगता है: एक समलम्ब चतुर्भुज के चारों ओर समान किनारों वाले एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है।
कई उदाहरण
समस्या 1. चतुर्भुज ABCD एक वृत्त में अंकित है। <एबीसी=105º, <सीएडी=35º। खोजने की जरूरत है <ABD. उत्तर अंशों में लिखा जाना चाहिए।
निर्णय। सबसे पहले, इसका उत्तर खोजना मुश्किल लग सकता है।
1. आपको इस विषय के गुणों को याद रखने की आवश्यकता है। अर्थात्: सम्मुख कोणों का योग=180º.
<एडीसी=180º - <एबीसी=180º - 105º=75º
ज्यामिति में, सिद्धांत पर टिके रहना बेहतर है: वह सब कुछ खोजें जो आप कर सकते हैं। बाद में उपयोगी।
2. अगला चरण: त्रिभुज योग प्रमेय का प्रयोग करें।
<ACD=180º - <CAD - <ADC=180º - 35º - 75º=70º
<ABD और <ACD अंकित हैं। शर्त से, वे एक चाप पर भरोसा करते हैं। तदनुसार, उनके समान मूल्य हैं:
<एबीडी=<एसीडी=70º
उत्तर: <एबीडी=70º।
समस्या 2. बीसीडीई एक वृत्त में एक उत्कीर्ण चतुर्भुज है। <बी=69º, <सी=84º। वृत्त का केंद्र बिंदु E है। खोजें - <E.
निर्णय।
- प्रमेय 1 द्वारा <E खोजने की आवश्यकता है।
<E=180º - <C=180º - 84º=96º
उत्तर: < ई=96º।
समस्या 3. एक वृत्त में अंकित चतुर्भुज दिया गया है। डेटा अंजीर में दिखाया गया है। अज्ञात मान x, y, z खोजना आवश्यक है।
समाधान:
z=180º - 93º=87º (प्रमेय 1 के अनुसार)
x=½(58º + 106º)=82º
y=180º - 82º=98º (प्रमेय 1 के अनुसार)
उत्तर: z=87º, x=82º, y=98º।
समस्या 4. एक वृत्त में एक चतुर्भुज अंकित है। मान चित्र में दिखाए गए हैं। x, y. खोजें
समाधान:
x=180º - 80º=100º
y=180º - 71º=109º
उत्तर: x=100º, y=109º।
स्वतंत्र समाधान के लिए समस्या
उदाहरण 1. एक वृत्त दिया गया है। इसका केंद्र बिंदु O है। AC और BD व्यास हैं। <एसीबी=38º। खोजने की जरूरत है <एओडी। उत्तर अंशों में दिया जाना चाहिए।
उदाहरण 2. एक चतुर्भुज ABCD और उसके चारों ओर एक वृत्त दिया गया है। <एबीसी=110º, <एबीडी=70º। <CAD खोजें। अपना उत्तर अंशों में लिखें।
उदाहरण 3. एक वृत्त और एक उत्कीर्ण चतुर्भुज ABCD दिया गया है। इसके दो कोण हैं 82º तथा58º. आपको शेष कोणों में से सबसे बड़ा कोण ढूंढना होगा और उत्तर को अंशों में लिखना होगा।
उदाहरण 4. चतुर्भुज ABCD दिया गया है। कोण A, B, C 1:2:3 के अनुपात में दिए गए हैं। यदि निर्दिष्ट चतुर्भुज को एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है, तो कोण D ज्ञात करना आवश्यक है। उत्तर अंशों में दिया जाना चाहिए।
उदाहरण 5. चतुर्भुज ABCD दिया गया है। इसकी भुजाएँ परिबद्ध वृत्त की चाप बनाती हैं। डिग्री मान क्रमशः AB, BC, CD और AD हैं: 78˚, 107˚, 39˚, 136˚। आपको दिए गए चतुर्भुज से < ज्ञात कीजिए और उत्तर को अंशों में लिखिए।
