एक मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजना न केवल रैखिक बीजगणित के लिए एक महत्वपूर्ण क्रिया है: उदाहरण के लिए, अर्थशास्त्र में, इस गणना का उपयोग करके, कई अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल किया जाता है, जो व्यापक रूप से आर्थिक समस्याओं में उपयोग किए जाते हैं.
निर्धारक अवधारणा
एक मैट्रिक्स का निर्धारक, या निर्धारक, उसकी पंक्ति या स्तंभ वैक्टर पर निर्मित समानांतर चतुर्भुज के आयतन के बराबर मान होता है। इस मान की गणना केवल एक वर्ग मैट्रिक्स के लिए की जा सकती है, जिसमें पंक्तियों और स्तंभों की संख्या समान होती है। यदि मैट्रिक्स के सदस्य संख्याएं हैं, तो निर्धारक भी एक संख्या होगी।
निर्धारकों की गणना
यह याद रखना चाहिए कि ऐसे कई नियम हैं जो इस तरह की गणना को बहुत सुविधाजनक बना सकते हैं।
इसलिए एक सदस्य वाले मैट्रिक्स का निर्धारक उसके एकमात्र तत्व के बराबर होता है। दूसरे क्रम के निर्धारक की गणना करना मुश्किल नहीं है, इसके लिए मुख्य विकर्ण के सदस्यों के उत्पाद से द्वितीयक विकर्ण पर स्थित तत्वों के उत्पाद को घटाना पर्याप्त है।
तीसरे क्रम के निर्धारक की गणना करना सबसे आसान हैत्रिकोण नियम के अनुसार। ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित क्रियाएं करें:
- इसके मुख्य एक पर स्थित मैट्रिक्स के तीन सदस्यों का गुणनफल खोजें
- त्रिभुजों पर स्थित तीन पदों से गुणा करें जिनके आधार मुख्य विकर्ण के समानांतर हैं।
- द्वितीयक विकर्ण के लिए पहली और दूसरी क्रिया दोहराएं।
- पिछली गणनाओं में प्राप्त सभी मानों का योग ज्ञात कीजिए, जबकि तीसरे पैराग्राफ में प्राप्त संख्याओं को ऋण चिह्न के साथ लिया जाता है।
विकर्ण।
चौथे क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारक और साथ ही उच्च आयामों को आसानी से खोजने के लिए, उन गुणों पर विचार करना आवश्यक है जो सभी निर्धारकों के पास हैं:
- सारणिक का मान मैट्रिक्स स्थानान्तरण के बाद नहीं बदलता है।
- दो आसन्न पंक्तियों या स्तंभों की स्थिति बदलने से सारणिक के चिन्ह में परिवर्तन होता है।
- यदि मैट्रिक्स में दो समान पंक्तियाँ या स्तंभ हैं, या स्तंभ (पंक्ति) के सभी तत्व शून्य हैं, तो इसका सारणिक शून्य के बराबर है।
- किसी मैट्रिक्स की संख्या को किसी भी संख्या से गुणा करने पर उसके सारणिक में उतनी ही संख्या में वृद्धि होती है।
उपरोक्त गुणों का उपयोग करने से किसी भी क्रम के मैट्रिक्स के निर्धारक को आसानी से खोजने में मदद मिलती है। उदाहरण के लिए, इसके लिए ऑर्डर रिडक्शन मेथड का उपयोग करना, जिसमें सारणिक का विस्तार पंक्ति (कॉलम) के तत्वों द्वारा बीजीय पूरक द्वारा गुणा किया जाता है।
एक और तरीका जो निर्धारक को ढूंढना बहुत आसान बनाता है
मैट्रिक्स को त्रिकोणीय रूप में लाना है, जब मुख्य विकर्ण के नीचे के सभी तत्व शून्य के बराबर हों। इस मामले में, मैट्रिक्स निर्धारक की गणना इस विकर्ण पर स्थित संख्याओं के गुणनफल के रूप में की जाती है।
और अंत में, मैं यह नोट करना चाहूंगा कि निर्धारकों की गणना, हालांकि इसमें प्रतीत होने वाली सरल गणितीय गणनाएं शामिल हैं, हालांकि, इसके लिए काफी सावधानी और दृढ़ता की आवश्यकता होती है।
