प्राथमिक विद्यालय में पहले से ही छात्रों को भिन्नों का सामना करना पड़ रहा है। और फिर वे हर विषय में दिखाई देते हैं। इन नंबरों के साथ क्रियाओं को भूलना असंभव है। इसलिए, आपको साधारण और दशमलव भिन्नों के बारे में सभी जानकारी जानने की आवश्यकता है। ये अवधारणाएं सरल हैं, मुख्य बात सब कुछ क्रम में समझना है।
हमें भिन्नों की आवश्यकता क्यों है?
हमारे चारों ओर की दुनिया पूरी वस्तुओं से बनी है। इसलिए शेयरों की कोई जरूरत नहीं है। लेकिन रोजमर्रा की जिंदगी लगातार लोगों को वस्तुओं और चीजों के हिस्सों के साथ काम करने के लिए प्रेरित करती है।
उदाहरण के लिए, चॉकलेट में कई स्लाइस होते हैं। उस स्थिति पर विचार करें जहां इसकी टाइल बारह आयतों द्वारा बनाई गई है। यदि आप इसे दो भागों में विभाजित करते हैं, तो आपको 6 भाग मिलते हैं। इसे अच्छी तरह से तीन में विभाजित किया जाएगा। लेकिन पाँच को चॉकलेट के पूरे टुकड़े नहीं दिए जा सकते।
वैसे, ये स्लाइस पहले से ही भिन्न हैं। और उनका आगे का विभाजन अधिक जटिल संख्याओं की ओर ले जाता है।
एक "अंश" क्या है?
यह एक संख्या है जिसमें एक के भाग होते हैं। बाह्य रूप से, ऐसा लगता है कि दो संख्याएँ अलग-अलग हैंक्षैतिज या स्लैश। इस विशेषता को भिन्नात्मक कहा जाता है। ऊपर (बाईं ओर) लिखी संख्या को अंश कहते हैं। नीचे वाला (दाईं ओर) हर है।
वास्तव में, भिन्नात्मक बार एक विभाजन चिन्ह बन जाता है। अर्थात् अंश को भाज्य कहा जा सकता है, और हर को भाजक कहा जा सकता है।
कौन से भिन्न मौजूद हैं?
गणित में इनके केवल दो प्रकार होते हैं: साधारण और दशमलव भिन्न। स्कूली बच्चे प्राथमिक ग्रेड में पहले वाले से परिचित होते हैं, उन्हें बस "अंश" कहते हैं। दूसरा 5वीं कक्षा में पढ़ता है। तभी ये नाम सामने आते हैं।
साधारण भिन्न - वे सभी जो एक बार द्वारा अलग की गई दो संख्याओं के रूप में लिखी जाती हैं। उदाहरण के लिए, 4/7। दशमलव एक संख्या है जिसमें भिन्नात्मक भाग में स्थितीय संकेतन होता है और पूर्णांक से अल्पविराम से अलग होता है। उदाहरण के लिए, 4, 7. छात्रों को स्पष्ट होना चाहिए कि दिए गए दो उदाहरण पूरी तरह से अलग संख्याएं हैं।
प्रत्येक साधारण भिन्न को दशमलव के रूप में लिखा जा सकता है। यह कथन लगभग हमेशा उल्टा भी सच होता है। ऐसे नियम हैं जो आपको दशमलव भिन्न को साधारण भिन्न के रूप में लिखने की अनुमति देते हैं।
इस प्रकार के भिन्नों में कौन से उपप्रकार होते हैं?
कालानुक्रमिक क्रम में बेहतर शुरुआत के रूप में उनका अध्ययन किया जा रहा है। सामान्य अंश पहले आते हैं। उनमें से, 5 उप-प्रजातियों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।
- सही। इसका अंश हर से हमेशा छोटा होता है।
- गलत। उसका अंश हर से बड़ा या उसके बराबर है।
- रेड्यूसिबल/इरेड्यूसिबल। वह जैसी हो सकती हैसही और गलत। एक और बात महत्वपूर्ण है, क्या अंश और हर के समान गुणनखंड हैं। यदि हैं, तो वे भिन्न के दोनों भागों को विभाजित करने वाले हैं, अर्थात इसे कम करने के लिए।
- मिश्रित। एक पूर्णांक को उसके सामान्य सही (गलत) भिन्नात्मक भाग के लिए नियत किया जाता है। और यह हमेशा बाईं ओर खड़ा होता है।
- समग्र। यह एक दूसरे में विभाजित दो अंशों से बनता है। यानी इसमें एक साथ तीन भिन्नात्मक विशेषताएं होती हैं।
दशमलव भिन्न के केवल दो उपप्रकार होते हैं:
- अंतिम, अर्थात्, जिसका भिन्नात्मक भाग सीमित है (जिसका अंत है);
- अनंत - एक संख्या जिसके दशमलव बिंदु के बाद के अंक समाप्त नहीं होते (उन्हें अंतहीन लिखा जा सकता है)।
दशमलव को सामान्य भिन्न में कैसे बदलें?
यदि यह एक परिमित संख्या है, तो नियम के आधार पर संघ लागू किया जाता है - जैसा मैं सुनता हूं, वैसा ही लिखता हूं। यही है, आपको इसे सही ढंग से पढ़ने और लिखने की जरूरत है, लेकिन अल्पविराम के बिना, लेकिन एक भिन्नात्मक रेखा के साथ।
आवश्यक हर के संकेत के रूप में, याद रखें कि यह हमेशा एक और कुछ शून्य होता है। बाद वाले को प्रश्न में संख्या के भिन्नात्मक भाग में जितने अंक लिखे जाने चाहिए।
दशमलव भिन्नों को साधारण अंश में कैसे बदलें, यदि उनका पूरा भाग गायब है, अर्थात शून्य के बराबर है? उदाहरण के लिए, 0.9 या 0.05। निर्दिष्ट नियम को लागू करने के बाद, यह पता चलता है कि आपको शून्य पूर्णांक लिखने की आवश्यकता है। लेकिन यह इंगित नहीं किया गया है। यह केवल भिन्नात्मक भागों को लिखना बाकी है। पहले नंबर परभाजक 10 के बराबर होगा, दूसरे में 100 होगा। अर्थात्, संकेतित उदाहरणों में उत्तर के रूप में संख्याएँ होंगी: 9/10, 5/100। इसके अलावा, बाद वाले को 5 से कम किया जा सकता है। इसलिए, इसके लिए परिणाम 1/20 लिखा जाना चाहिए।
एक दशमलव से एक साधारण भिन्न कैसे बनायें यदि उसका पूर्णांक भाग शून्य से भिन्न है? उदाहरण के लिए, 5, 23 या 13, 00108। दोनों उदाहरण पूर्णांक भाग को पढ़ते हैं और उसका मान लिखते हैं। पहले मामले में, यह 5 है, दूसरे में - 13. फिर आपको भिन्नात्मक भाग पर जाने की आवश्यकता है। उनके साथ एक ही ऑपरेशन को अंजाम देना जरूरी है। पहली संख्या 23/100 दिखाई देती है, दूसरी - 108/100000। दूसरे मूल्य को फिर से कम करने की आवश्यकता है। उत्तर मिश्रित भिन्न है: 5 23/100 और 13 27/25000।
अनंत दशमलव को सामान्य भिन्न में कैसे बदलें?
यदि यह गैर-आवधिक है, तो ऐसा ऑपरेशन नहीं किया जा सकता है। यह तथ्य इस तथ्य के कारण है कि प्रत्येक दशमलव अंश हमेशा अंतिम या आवधिक में परिवर्तित होता है।
इस तरह के एक अंश के साथ आप केवल यही कर सकते हैं कि इसे गोल किया जाए। लेकिन तब दशमलव उस अनंत के लगभग बराबर होगा। इसे पहले से ही सामान्य में बदला जा सकता है। लेकिन रिवर्स प्रक्रिया: दशमलव में कनवर्ट करना - प्रारंभिक मूल्य कभी नहीं देगा। अर्थात्, अनंत गैर-आवधिक भिन्नों को साधारण भिन्नों में परिवर्तित नहीं किया जाता है। यह याद रखने वाली बात है।
अनंत आवर्त भिन्न को उभयनिष्ठ भिन्न के रूप में कैसे लिखें?
इन संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाद हमेशा एक या एक से अधिक अंक आते हैं, जो दोहराए जाते हैं। उन्हें काल कहा जाता है। उदाहरण के लिए, 03(3)। यहाँ अवधि में "3"। उन्हें परिमेय के रूप में वर्गीकृत किया गया है क्योंकि उन्हें साधारण भिन्नों में बदला जा सकता है।
जिन्हें आवधिक भिन्नों का सामना करना पड़ा है, वे जानते हैं कि वे शुद्ध या मिश्रित हो सकते हैं। पहले मामले में, अवधि अल्पविराम से तुरंत शुरू होती है। दूसरे में, भिन्नात्मक भाग किसी भी संख्या से शुरू होता है, और फिर दोहराव शुरू होता है।
जिस नियम के अनुसार आपको अनंत दशमलव को साधारण भिन्न के रूप में लिखने की आवश्यकता होती है, वह इन दो प्रकार की संख्याओं के लिए भिन्न होगा। शुद्ध आवर्त भिन्नों को साधारण भिन्नों के रूप में लिखना काफी आसान है। अंतिम के साथ के रूप में, उन्हें परिवर्तित करने की आवश्यकता है: अवधि को अंश में लिखें, और संख्या 9 हर होगी, जितनी बार अवधि में अंक हों उतनी बार दोहराएं।
उदाहरण के लिए, 0, (5)। संख्या में पूर्णांक भाग नहीं होता है, इसलिए आपको तुरंत भिन्नात्मक भाग पर जाने की आवश्यकता होती है। अंश में 5 और हर में 9 लिखिए।अर्थात अंश 5/9 का उत्तर होगा।
एक साधारण दशमलव आवर्त भिन्न जो मिश्रित हो, लिखने का नियम।
- आवर्त तक के भिन्नात्मक अंक गिनें। वे हर में शून्यों की संख्या का संकेत देंगे।
- अवधि की लंबाई देखें। इतने 9 में एक हर होगा।
- हर लिखो: पहले नौ, फिर शून्य।
- अंश का निर्धारण करने के लिए, आपको दो संख्याओं का अंतर लिखना होगा। दशमलव बिंदु के बाद के सभी अंक, अवधि के साथ घटा दिए जाएंगे। घटाया जा सकता है - यह एक अवधि के बिना है।
उदाहरण के लिए, 0, 5(8) - आवर्त दशमलव भिन्न को उभयनिष्ठ भिन्न के रूप में लिखें। आवर्त से पहले का भिन्नात्मक भाग हैएक अंक। तो शून्य एक होगा। आवर्त में भी केवल एक अंक होता है - 8। अर्थात् केवल एक नौ होता है। यानी हर में आपको 90 लिखना है।
58 से अंश निर्धारित करने के लिए, आपको 5 घटाना होगा। यह 53 निकलता है। उदाहरण के लिए, उत्तर 53/90 लिखना होगा।
आप सामान्य भिन्नों को दशमलव में कैसे बदलते हैं?
सबसे सरल विकल्प एक संख्या है जिसका हर संख्या 10, 100 इत्यादि है। फिर हर को आसानी से हटा दिया जाता है, और भिन्नात्मक और पूर्णांक भागों के बीच एक अल्पविराम लगाया जाता है।
ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब हर आसानी से 10, 100, आदि में बदल जाता है। उदाहरण के लिए, संख्याएँ 5, 20, 25। यह उन्हें क्रमशः 2, 5 और 4 से गुणा करने के लिए पर्याप्त है। केवल हर के लिए ही नहीं, बल्कि अंश के लिए भी उसी संख्या से गुणा करना आवश्यक है।
अन्य सभी मामलों के लिए, एक सरल नियम उपयोगी है: अंश को हर से विभाजित करें। इस मामले में, आपको दो उत्तर मिल सकते हैं: एक अंतिम या एक आवधिक दशमलव अंश।
सामान्य भिन्नों वाली क्रिया
जोड़ और घटाव
छात्र दूसरों से पहले उन्हें जान लेते हैं। और सबसे पहले भिन्नों में समान भाजक होते हैं, और फिर भिन्न होते हैं। इस योजना में सामान्य नियमों को कम किया जा सकता है।
- हरों में से सबसे छोटा सामान्य गुणज ज्ञात कीजिए।
- सभी सामान्य भिन्नों में अतिरिक्त गुणनखंडों को रिकॉर्ड करें।
- अंशों और हरों को उनके लिए परिभाषित गुणनखंडों से गुणा करें।
- अंशों के अंशों को जोड़ें (घटाना), और आम भाजक को बिना छोड़ेपरिवर्तन।
- यदि मिन्यूएंड का अंश सबट्रेंड से कम है, तो आपको यह पता लगाना होगा कि हमारे पास मिश्रित संख्या है या उचित अंश।
- पहले मामले में, पूर्णांक भाग को एक लेना चाहिए। भिन्न के अंश में हर जोड़ें। और फिर घटाव करें।
- सेकंड में - छोटी संख्या से बड़ी संख्या में घटाव का नियम लागू करना आवश्यक है। यानी, सबट्रेंड के मापांक से माइन्यूएंड के मापांक को घटाएं, और प्रतिक्रिया में "-" चिह्न लगाएं।
- जोड़ (घटाव) के परिणाम को ध्यान से देखें। यदि आपको एक अनुचित अंश मिलता है, तो यह माना जाता है कि यह पूरे भाग का चयन करता है। यानी अंश को हर से भाग दें।
गुणा और भाग
उनके कार्यान्वयन के लिए, भिन्नों को एक सामान्य हर में कम करने की आवश्यकता नहीं है। इससे कार्रवाई करने में आसानी होती है। लेकिन उन्हें अभी भी नियमों का पालन करना है।
- साधारण भिन्नों को गुणा करते समय, अंश और हर में संख्याओं पर विचार करना आवश्यक है। यदि किसी अंश और हर में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड हो, तो उन्हें घटाया जा सकता है।
- अंकों का गुणा करें।
- हरों को गुणा करें।
- यदि परिणाम घटा हुआ अंश है, तो इसे फिर से सरलीकृत किया जाना चाहिए।
- विभाजित करते समय, आपको पहले भाग को गुणा से बदलना होगा, और भाजक (दूसरा अंश) को व्युत्क्रम से बदलना होगा (अंश और हर को स्वैप करें)।
- फिर गुणा की तरह आगे बढ़ें (चरण 1 से शुरू)।
- उन कार्यों में जहां आपको एक पूर्णांक से गुणा (विभाजित) करने की आवश्यकता होती है, अंतिमएक अनुचित अंश के रूप में लिखा जाना चाहिए। यानी 1 के हर के साथ। फिर ऊपर बताए अनुसार आगे बढ़ें।
दशमलव संचालन
जोड़ और घटाव
बेशक, आप हमेशा दशमलव को एक सामान्य भिन्न में बदल सकते हैं। और पहले से वर्णित योजना के अनुसार कार्य करें। लेकिन कभी-कभी इस अनुवाद के बिना कार्य करना अधिक सुविधाजनक होता है। फिर उन्हें जोड़ने और घटाने के नियम बिल्कुल वही होंगे।
- संख्या के भिन्नात्मक भाग में अंकों की संख्या को बराबर करें, अर्थात दशमलव बिंदु के बाद। इसमें लुप्त शून्यों की संख्या निर्दिष्ट करें।
- अंश लिखें ताकि अल्पविराम अल्पविराम के नीचे हो।
- प्राकृत संख्याओं की तरह जोड़ें (घटाना)।
- अल्पविराम हटाएं।
गुणा और भाग
यह महत्वपूर्ण है कि आप यहां शून्य न जोड़ें। अंशों को छोड़ दिया जाना चाहिए जैसा कि उदाहरण में दिया गया है। और फिर योजना के अनुसार जाओ।
- गुणन के लिए, अल्पविरामों को अनदेखा करते हुए भिन्नों को एक के नीचे एक लिखिए।
- प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करें।
- उत्तर में अल्पविराम लगाएं, उत्तर के दाहिने छोर से उतने अंक गिनें जितने वे दोनों कारकों के भिन्नात्मक भागों में हों।
- विभाजित करने के लिए, आपको पहले भाजक को बदलना होगा: इसे एक प्राकृतिक संख्या बनाएं। यानी भाजक के भिन्नात्मक भाग में कितने अंक हैं, इसके आधार पर इसे 10, 100, आदि से गुणा करें।
- लाभांश को उसी संख्या से गुणा करें।
- दशमलव को प्राकृत संख्या से भाग दें।
- उस समय उत्तर में अल्पविराम लगाएं जब पूर्णांक भाग का विभाजन समाप्त हो जाए।
क्या होगा यदि एक उदाहरण में दोनों प्रकार के भिन्न हों?
हाँ, गणित में अक्सर ऐसे उदाहरण होते हैं जिनमें आपको साधारण और दशमलव भिन्नों पर संक्रियाएँ करने की आवश्यकता होती है। इन समस्याओं के दो संभावित समाधान हैं। आपको संख्याओं को निष्पक्ष रूप से तौलना होगा और सबसे अच्छा चुनना होगा।
पहला तरीका: साधारण दशमलव का प्रतिनिधित्व करें
यह उपयुक्त है यदि विभाजन या रूपांतरण के परिणामस्वरूप परिमित अंश हों। यदि कम से कम एक अंक आवधिक भाग देता है, तो यह तकनीक निषिद्ध है। इसलिए, यदि आप साधारण भिन्नों के साथ काम करना पसंद नहीं करते हैं, तो भी आपको उन्हें गिनना होगा।
दूसरा तरीका: दशमलव भिन्न को सामान्य भिन्न के रूप में लिखें
दशमलव बिंदु के बाद 1-2 अंक होने पर यह तकनीक सुविधाजनक है। यदि उनमें से अधिक हैं, तो एक बहुत बड़ा साधारण अंश निकल सकता है और दशमलव प्रविष्टियाँ आपको कार्य को तेज़ी से और आसानी से गणना करने की अनुमति देंगी। इसलिए, आपको हमेशा कार्य का गंभीरता से मूल्यांकन करना चाहिए और सबसे सरल समाधान विधि का चयन करना चाहिए।
