गणित में प्रारम्भ से ही विभिन्न प्रकार की संख्याओं का अध्ययन किया जाता रहा है। बड़ी संख्या में समुच्चय और संख्याओं के उपसमुच्चय होते हैं। उनमें से पूर्णांक, परिमेय, अपरिमेय, प्राकृतिक, सम, विषम, सम्मिश्र और भिन्नात्मक हैं। आज हम अंतिम सेट - भिन्नात्मक संख्याओं के बारे में जानकारी का विश्लेषण करेंगे।
भिन्नों की परिभाषा
अंश वे संख्याएँ होती हैं जिनमें एक पूर्णांक भाग और एक के भिन्न होते हैं। पूर्णांकों की तरह, दो पूर्णांकों के बीच अनंत संख्या में भिन्नात्मक संख्याएँ होती हैं। गणित में, पूर्णांकों और प्राकृत संख्याओं की तरह भिन्नों के साथ संक्रियाएँ की जाती हैं। यह काफी सरल है और इसे कुछ पाठों में सीखा जा सकता है।
लेख दो प्रकार के भिन्नों को प्रस्तुत करता है: साधारण और दशमलव।
साधारण भिन्न
साधारण भिन्न पूर्णांक भाग a और भिन्न रेखा b/c के साथ लिखी गई दो संख्याएँ हैं। यदि भिन्नात्मक भाग को परिमेय दशमलव रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है तो सामान्य भिन्न अत्यंत उपयोगी हो सकते हैं। इसके अलावा, अंकगणितभिन्नात्मक रेखा के माध्यम से संचालन करना अधिक सुविधाजनक है। ऊपर वाले भाग को अंश कहते हैं, निचले भाग को हर कहते हैं।
साधारण भिन्नों वाली क्रियाएं: उदाहरण
एक भिन्न का मुख्य गुण। जब अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा किया जाता है जो शून्य नहीं है, तो परिणाम दी गई संख्या के बराबर होता है। भिन्न का यह गुण एक भाजक को जोड़ने में मदद करता है (इस पर नीचे चर्चा की जाएगी) या भिन्न को कम करने में मदद करता है, जिससे यह गिनती के लिए अधिक सुविधाजनक हो जाता है। ए/बी=एसी/बीसी. उदाहरण के लिए, 36/24=6/4 या 9/13=18/26
एक आम भाजक को कम करना। भिन्न के हर को लाने के लिए, आपको हर को गुणनखंडों के रूप में निरूपित करना होगा, और फिर लुप्त संख्याओं से गुणा करना होगा। उदाहरण के लिए, 7/15 और 12/30; 7/53 और 12/532। हम देखते हैं कि हर दो से भिन्न होता है, इसलिए हम पहली भिन्न के अंश और हर को 2 से गुणा करते हैं। हमें मिलता है: 14/30 और 12/30।
यौगिक भिन्न एक हाइलाइट किए गए पूर्णांक भाग के साथ साधारण भिन्न होते हैं। (A b/c) एक मिश्रित भिन्न को एक सामान्य भिन्न के रूप में दर्शाने के लिए, आपको भिन्न के सामने की संख्या को हर से गुणा करना होगा, और फिर इसे अंश में जोड़ना होगा: (Ac + b)/c.
अंशों के साथ अंकगणितीय संक्रिया
केवल भिन्नात्मक संख्याओं के साथ कार्य करते समय ज्ञात अंकगणितीय संक्रियाओं पर विचार करना अतिश्योक्तिपूर्ण नहीं होगा।
जोड़ और घटाव। भिन्नों को जोड़ना और घटाना पूर्ण संख्याओं की तरह ही आसान है, एक कठिनाई के अपवाद के साथ - एक भिन्नात्मक बार की उपस्थिति। एक ही हर के साथ भिन्नों को जोड़ते समय, दोनों भिन्नों के केवल अंशों को जोड़ना आवश्यक है, भाजक बिना रह जाते हैंपरिवर्तन। उदाहरण के लिए: 5/7 + 1/7=(5+1)/7=6/7
यदि दो भिन्नों के हर अलग-अलग संख्याएं हैं, तो पहले आपको उन्हें एक सामान्य पर लाना होगा (इसे कैसे करें ऊपर चर्चा की गई थी)। 1/8 + 3/2=1/222 + 3/2=1/8 + 34/24=1/8 + 12/8=13/8। घटाव बिल्कुल उसी सिद्धांत का अनुसरण करता है: 8/9 - 2/3=8/9 - 6/9=2/9।
गुणा और भाग। गुणन द्वारा भिन्नों वाली क्रियाएं निम्नलिखित सिद्धांत के अनुसार होती हैं: अंश और हर को अलग-अलग गुणा किया जाता है। सामान्य शब्दों में, गुणन सूत्र इस तरह दिखता है: a/b c/d=ac/bd। इसके अलावा, जैसे ही आप गुणा करते हैं, आप अंश और हर से समान गुणनखंडों को हटाकर भिन्न को कम कर सकते हैं। दूसरी भाषा में, अंश और हर समान संख्या से विभाज्य हैं: 4/16=4/44=1/4.
एक साधारण भिन्न को दूसरे से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक के अंश और हर को बदलना होगा और पहले चर्चा किए गए सिद्धांत के अनुसार दो भिन्नों का गुणन करना होगा: 5/11: 25/11=5/11 11/25=511/1125=1/5
दशमलव
दशमलव भिन्नात्मक संख्याओं का अधिक लोकप्रिय और सामान्य रूप से उपयोग किया जाने वाला संस्करण है। उन्हें एक पंक्ति में लिखना या कंप्यूटर पर प्रस्तुत करना आसान होता है। दशमलव भिन्न की संरचना इस प्रकार है: पहले पूर्ण संख्या लिखी जाती है, और फिर दशमलव बिंदु के बाद भिन्नात्मक भाग लिखा जाता है। उनके मूल में, दशमलव भिन्न मिश्रित भिन्न होते हैं, लेकिन उनके भिन्नात्मक भाग को 10 के गुणज से विभाजित संख्या द्वारा दर्शाया जाता है। इसलिए उनका नाम। दशमलव भिन्न वाले संक्रियाएं पूर्णांकों वाले संक्रियाओं के समान हैं, क्योंकि वे भी हैंदशमलव अंकन में लिखा गया है। साथ ही, साधारण भिन्नों के विपरीत, दशमलव अपरिमेय हो सकते हैं। इसका मतलब है कि वे अनंत हो सकते हैं। वे 7, (3) के रूप में लिखे गए हैं। निम्नलिखित प्रविष्टि पढ़ी जाती है: सात पूरे, अवधि में तीन दसवां।
दशमलव संख्याओं के साथ बुनियादी संचालन
दशमलव भिन्नों का जोड़ और घटाव। भिन्नों के साथ क्रिया करना पूर्ण प्राकृतिक संख्याओं की तुलना में अधिक कठिन नहीं है। नियम ठीक वैसे ही हैं जैसे प्राकृत संख्याओं को जोड़ते या घटाते समय उपयोग किए जाते हैं। उन्हें उसी तरह एक स्तंभ भी माना जा सकता है, लेकिन यदि आवश्यक हो, तो लापता स्थानों को शून्य से बदल दें। उदाहरण के लिए: 5, 5697 - 1, 12. कॉलम घटाव करने के लिए, आपको दशमलव बिंदु के बाद संख्याओं की संख्या को बराबर करना होगा: (5, 5697 - 1, 1200)। तो, संख्यात्मक मान नहीं बदलेगा और एक कॉलम में गिनना संभव होगा।
दशमलव भिन्नों वाली क्रियाएं नहीं की जा सकतीं यदि उनमें से किसी एक का रूप अपरिमेय है। ऐसा करने के लिए, आपको दोनों संख्याओं को साधारण भिन्नों में बदलने की आवश्यकता है, और फिर पहले वर्णित तरकीबों का उपयोग करें।
गुणा और भाग। दशमलव को गुणा करना प्राकृतिक संख्याओं को गुणा करने के समान है। उन्हें एक कॉलम से भी गुणा किया जा सकता है, केवल अल्पविराम को अनदेखा करते हुए, और फिर अंतिम मान में अल्पविराम से अलग किया जाता है, अंकों की समान संख्या दशमलव बिंदु के बाद दो दशमलव अंशों में होती है। उदाहरण के लिए, 1, 52, 23=3, 345। सब कुछ बहुत सरल है, और यदि आप पहले से ही प्राकृतिक संख्याओं के गुणन में महारत हासिल कर चुके हैं, तो मुश्किलें पैदा नहीं करनी चाहिए।
विभाजन भी प्राकृतिक के विभाजन के साथ मेल खाता हैसंख्या, लेकिन एक मामूली विषयांतर के साथ। एक कॉलम में दशमलव संख्या से विभाजित करने के लिए, आपको भाजक में अल्पविराम को छोड़ना होगा, और भाजक में दशमलव बिंदु के बाद अंकों की संख्या से लाभांश को गुणा करना होगा। फिर प्राकृत संख्याओं के अनुसार विभाजन करें। अपूर्ण विभाजन के साथ, आप दाईं ओर के लाभांश में शून्य जोड़ सकते हैं, साथ ही दशमलव बिंदु के बाद एक शून्य भी जोड़ सकते हैं।
दशमलव भिन्नों वाली क्रियाओं के उदाहरण। अंकगणितीय गणना के लिए दशमलव एक बहुत ही उपयोगी उपकरण है। वे प्राकृतिक, पूर्ण संख्याओं की सुविधा और सामान्य भिन्नों की शुद्धता को जोड़ते हैं। इसके अलावा, एक अंश को दूसरे में बदलना काफी सरल है। भिन्न वाले संक्रियाएं प्राकृत संख्याओं वाले संक्रियाओं से भिन्न नहीं हैं।
- जोड़: 1, 5 + 2, 7=4, 2
- घटाव: 3, 1 - 1, 6=1, 5
- गुणा: 1, 72, 3=3, 91
- डिवीजन: 3, 6: 0, 6=6
साथ ही, दशमलव प्रतिशत को दर्शाने के लिए उपयुक्त हैं। तो, 100%=1; 60%=0.6; और इसके विपरीत: 0.659=65.9%।
भिन्नों के बारे में जानने के लिए बस इतना ही है। लेख में दो प्रकार के अंशों पर विचार किया गया - साधारण और दशमलव। दोनों की गणना करना काफी आसान है, और यदि आपके पास प्राकृतिक संख्याओं और उनके साथ संचालन की पूरी महारत है, तो आप सुरक्षित रूप से भिन्नात्मक संख्याओं को सीखना शुरू कर सकते हैं।
