अंश उभयनिष्ठ और दशमलव हैं। जब छात्र बाद के अस्तित्व के बारे में सीखता है, तो वह हर अवसर पर हर संभव को दशमलव रूप में बदलना शुरू कर देता है, भले ही इसकी आवश्यकता न हो।
अजीब तरह से, हाई स्कूल के छात्रों और छात्रों की अलग-अलग प्राथमिकताएँ होती हैं, क्योंकि साधारण अंशों के साथ कई अंकगणितीय ऑपरेशन करना आसान होता है। और स्नातक जिन मूल्यों से निपटते हैं, वे कभी-कभी बिना नुकसान के दशमलव रूप में परिवर्तित करना असंभव हो सकते हैं। नतीजतन, दोनों प्रकार के अंश, एक तरह से या किसी अन्य, मामले के अनुकूल होते हैं और उनके अपने फायदे और नुकसान होते हैं। आइए देखें कि उनके साथ कैसे काम करना है।
परिभाषा
भिन्न एक ही भिन्न हैं। यदि एक संतरे में दस स्लाइस हैं, और आपको एक दिया गया है, तो आपके हाथ में फल का 1/10 भाग है। इस तरह के अंकन के साथ, जैसा कि पिछले वाक्य में है, अंश को साधारण अंश कहा जाएगा। यदि आप 0 के समान लिखते हैं, तो 1 दशमलव है। दोनों विकल्प समान हैं, लेकिन उनके अपने फायदे हैं। गुणा करते समय पहला विकल्प अधिक सुविधाजनक होता है औरविभाजन, दूसरा - जोड़, घटाव और कई अन्य मामलों में।
एक भिन्न को दूसरे रूप में कैसे बदलें
मान लीजिए कि आपके पास एक उभयनिष्ठ भिन्न है और आप इसे दशमलव में बदलना चाहते हैं। इसके लिए क्या करने की आवश्यकता है?
वैसे, आपको पहले से तय करना होगा कि कोई भी संख्या बिना किसी समस्या के दशमलव रूप में नहीं लिखी जा सकती है। कभी-कभी आपको परिणाम को गोल करना पड़ता है, दशमलव स्थानों की एक निश्चित संख्या खो देता है, और कई क्षेत्रों में - उदाहरण के लिए, सटीक विज्ञान में - यह पूरी तरह से अप्राप्य विलासिता है। साथ ही, 5वीं कक्षा में दशमलव और साधारण भिन्नों वाली क्रियाएं बिना किसी हस्तक्षेप के एक रूप से दूसरे रूप में इस तरह के हस्तांतरण की अनुमति देती हैं, कम से कम एक अभ्यास के रूप में।
यदि आप किसी पूर्णांक से गुणा या भाग करके हर से 10 का गुणक प्राप्त कर सकते हैं, तो स्थानांतरण बिना किसी कठिनाई के बीत जाएगा: ¾ 0.75 हो जाता है, 13/20 0.65 हो जाता है।
प्रतिलोम प्रक्रिया और भी आसान है, क्योंकि दशमलव अंश से आप हमेशा सटीकता की हानि के बिना एक साधारण अंश प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 0.2 1/5 हो जाता है और 0.08 4/25 हो जाता है।
आंतरिक परिवर्तन
साधारण भिन्नों के साथ संयुक्त क्रिया करने से पहले, आपको संभावित गणितीय संक्रियाओं के लिए संख्याएँ तैयार करनी होंगी।
सबसे पहले, आपको उदाहरण के सभी भिन्नों को एक सामान्य रूप में लाना होगा। वे या तो साधारण या दशमलव होना चाहिए। आइए तुरंत आरक्षण करें कि पहले वाले के साथ गुणा और भाग करना अधिक सुविधाजनक है।
आगे की कार्रवाइयों के लिए संख्याएँ तैयार करने में, आपको एक ऐसे नियम से मदद मिलेगी जिसे भिन्न के मूल गुण के रूप में जाना जाता है और इसका उपयोग विषय के अध्ययन के प्रारंभिक वर्षों में और उच्च गणित दोनों में किया जाता है, जिसका अध्ययन विश्वविद्यालयों में किया जाता है।
भिन्नों के गुण
मान लीजिए कि आपके पास कुछ मूल्य है। मान लीजिए 2/3। यदि आप अंश और हर को 3 से गुणा करते हैं तो क्या होता है? 6/9 प्राप्त करें। क्या होगा अगर यह एक लाख है? 2000000/3000000। लेकिन रुकिए, क्योंकि संख्या गुणात्मक रूप से बिल्कुल नहीं बदलती है - 2/3 2000000/3000000 के बराबर रहती है। केवल रूप बदलता है, सामग्री नहीं। ऐसा ही तब होता है जब दोनों भागों को एक ही मान से विभाजित किया जाता है। यह भिन्न का मुख्य गुण है, जो आपको बार-बार परीक्षण और परीक्षाओं में दशमलव और साधारण भिन्नों के साथ क्रिया करने में मदद करेगा।
अंश और हर को एक ही संख्या से गुणा करने को भिन्न प्रसार कहते हैं और भाग को घटाना कहते हैं। मुझे कहना होगा कि अंशों को गुणा और विभाजित करते समय ऊपर और नीचे समान संख्याओं को पार करना आश्चर्यजनक रूप से सुखद प्रक्रिया है (निश्चित रूप से गणित पाठ के भाग के रूप में)। ऐसा लगता है कि उत्तर करीब है और उदाहरण लगभग हल हो गया है।
अनियमित भिन्न
अनुचित भिन्न वह है जिसमें अंश हर से बड़ा या उसके बराबर हो। दूसरे शब्दों में, यदि एक पूरे हिस्से को इससे अलग किया जा सकता है, तो यह इस परिभाषा के अंतर्गत आता है।
यदि ऐसी संख्या (एक से बड़ी या उसके बराबर) को एक साधारण भिन्न के रूप में दर्शाया जाता है, तो वह कहलाती हैगलत। और यदि अंश हर से छोटा है - सही। साधारण भिन्नों के साथ संभावित क्रियाओं के कार्यान्वयन में दोनों प्रकार समान रूप से सुविधाजनक हैं। उन्हें स्वतंत्र रूप से गुणा और विभाजित किया जा सकता है, जोड़ा और घटाया जा सकता है।
यदि एक ही समय में एक पूर्णांक भाग का चयन किया जाता है और भिन्न के रूप में शेष रहता है, तो परिणामी संख्या मिश्रित कहलाती है। भविष्य में, आप ऐसी संरचनाओं को चरों के साथ संयोजित करने के विभिन्न तरीकों के साथ-साथ उन समीकरणों को हल करने के बारे में जानेंगे जहाँ इस ज्ञान की आवश्यकता है।
अंकगणित संचालन
यदि किसी भिन्न के मूल गुण से सब कुछ स्पष्ट है, तो भिन्नों को गुणा करते समय कैसे व्यवहार करें? 5वीं कक्षा में साधारण भिन्नों वाली क्रियाओं में सभी प्रकार की अंकगणितीय संक्रियाएँ शामिल होती हैं जो दो अलग-अलग तरीकों से की जाती हैं।
गुणा और भाग बहुत आसान है। पहले मामले में, दो भिन्नों के अंश और हर को केवल गुणा किया जाता है। दूसरे में - वही बात, केवल क्रॉसवर्ड। इस प्रकार, पहले भिन्न के अंश को दूसरे के हर से गुणा किया जाता है, और इसके विपरीत।
जोड़ और घटाव करने के लिए, आपको एक अतिरिक्त क्रिया करने की आवश्यकता है - अभिव्यक्ति के सभी घटकों को एक सामान्य हर में लाएं। इसका मतलब यह है कि भिन्नों के निचले हिस्सों को एक ही मान में बदला जाना चाहिए - दोनों उपलब्ध हरों का एक गुणक। उदाहरण के लिए, 2 और 5 के लिए यह 10 होगा। 3 और 6 के लिए - 6. लेकिन फिर शीर्ष के साथ क्या करना है? हम इसे वैसे नहीं छोड़ सकते जैसे हमने नीचे वाले को बदल दिया था। भिन्न के मूल गुण के अनुसार हम अंश को उसी संख्या से गुणा करते हैं,जो भाजक है। यह ऑपरेशन प्रत्येक संख्या पर किया जाना चाहिए जिसे हम जोड़ या घटाएंगे। हालाँकि, छठी कक्षा में साधारण अंशों के साथ ऐसी क्रियाएं पहले से ही "मशीन पर" की जाती हैं, और विषय के अध्ययन के प्रारंभिक चरण में ही कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं।
तुलना
यदि दो भिन्नों का हर समान है, तो बड़ा अंश वाला अंश बड़ा होगा। यदि ऊपरी भाग समान हैं, तो छोटे हर वाला बड़ा होगा। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि तुलना के लिए ऐसी सफल स्थितियां शायद ही कभी होती हैं। सबसे अधिक संभावना है, भावों के ऊपरी और निचले दोनों हिस्से मेल नहीं खाएंगे। फिर आपको साधारण भिन्नों के साथ संभावित क्रियाओं के बारे में याद रखना होगा और जोड़ और घटाव में उपयोग की जाने वाली तकनीक का उपयोग करना होगा। साथ ही, याद रखें कि यदि हम ऋणात्मक संख्याओं की बात कर रहे हैं, तो बड़ी भिन्न छोटी होगी।
सामान्य भिन्नों के लाभ
ऐसा होता है कि शिक्षक बच्चों को एक वाक्यांश बताते हैं, जिसकी सामग्री को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: कार्य को तैयार करते समय जितनी अधिक जानकारी दी जाएगी, समाधान उतना ही आसान होगा। क्या यह अजीब लगता है? लेकिन वास्तव में: बड़ी संख्या में ज्ञात मूल्यों के साथ, आप लगभग किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन यदि केवल कुछ संख्याएँ प्रदान की जाती हैं, तो अतिरिक्त प्रतिबिंबों की आवश्यकता हो सकती है, आपको प्रमेयों को याद रखना और सिद्ध करना होगा, अपने होने के पक्ष में तर्क देना होगा। सही…
हम यह किस लिए कर रहे हैं? और इसके अलावा, साधारण अंश, अपनी सारी बोझिलता के बावजूद, जीवन को बहुत सरल बना सकते हैं।छात्र को, गुणा और भाग करते समय मानों की संपूर्ण पंक्तियों को कम करने की अनुमति देता है, और योग और अंतर की गणना करते समय, सामान्य तर्क निकालता है और फिर से उन्हें कम करता है।
जब साधारण और दशमलव अंशों के साथ संयुक्त क्रियाएं करने की आवश्यकता होती है, तो परिवर्तन पहले के पक्ष में किया जाता है: आप 3/17 को दशमलव रूप में कैसे परिवर्तित करते हैं? केवल जानकारी के नुकसान के साथ, अन्यथा नहीं। लेकिन 0, 1 को 1/10 और फिर 17/170 के रूप में दर्शाया जा सकता है। और फिर दो परिणामी संख्याओं को जोड़ा या घटाया जा सकता है: 30/170 + 17/170=47/170।
दशमलव के लाभ
यदि साधारण भिन्नों के साथ संचालन अधिक सुविधाजनक है, तो उनकी मदद से सब कुछ लिखना बेहद असुविधाजनक है, यहां दशमलव का एक महत्वपूर्ण लाभ है। तुलना करें: 1748/10000 और 0.1748। यह वही मान है जो दो अलग-अलग संस्करणों में प्रस्तुत किया गया है। बेशक, दूसरा रास्ता आसान है!
साथ ही, दशमलवों का प्रतिनिधित्व करना आसान है क्योंकि सभी डेटा का एक सामान्य आधार होता है जो केवल परिमाण के क्रम से भिन्न होता है। मान लें कि हम आसानी से 30% छूट को पहचान सकते हैं और यहां तक कि इसे महत्वपूर्ण के रूप में मूल्यांकन भी कर सकते हैं। क्या आप तुरंत समझ पाएंगे कि कौन सा अधिक है - 30% या 137/379? इस प्रकार, दशमलव भिन्न गणनाओं का मानकीकरण प्रदान करते हैं।
हाई स्कूल में छात्र द्विघात समीकरण हल करते हैं। यहां साधारण अंशों के साथ क्रियाएं करना पहले से ही बेहद समस्याग्रस्त है, क्योंकि चर के मूल्यों की गणना के सूत्र में योग का वर्गमूल होता है। एक भिन्न की उपस्थिति में जो एक दशमलव के लिए कम नहीं है, समाधान इतना जटिल हो जाता है किकैलकुलेटर के बिना सटीक उत्तर की गणना करना लगभग असंभव हो जाता है।
इसलिए भिन्नों को निरूपित करने के प्रत्येक तरीके के अपने-अपने संदर्भ में अपने फायदे हैं।
प्रवेश प्रपत्र
साधारण अंशों के साथ क्रियाओं को लिखने के दो तरीके हैं: एक क्षैतिज रेखा के माध्यम से, दो "स्तरों" में, और एक स्लैश (उर्फ "स्लैश") के माध्यम से - एक पंक्ति में। जब कोई छात्र नोटबुक में लिखता है, तो पहला विकल्प आमतौर पर अधिक सुविधाजनक होता है, और इसलिए अधिक सामान्य होता है। कोशिकाओं में कई संख्याओं का वितरण गणना और परिवर्तनों में सावधानी के विकास में योगदान देता है। एक स्ट्रिंग पर लिखते समय, आप अनजाने में क्रियाओं के क्रम को मिला सकते हैं, कोई भी डेटा खो सकते हैं - यानी गलती करें।
अक्सर हमारे समय में कंप्यूटर पर नंबर प्रिंट करने की आवश्यकता होती है। आप Microsoft Word 2010 और बाद में किसी फ़ंक्शन का उपयोग करके भिन्नों को पारंपरिक क्षैतिज पट्टी से अलग कर सकते हैं। तथ्य यह है कि सॉफ्टवेयर के इन संस्करणों में "सूत्र" नामक एक विकल्प होता है। यह एक आयताकार परिवर्तनीय क्षेत्र प्रदर्शित करता है जिसके भीतर आप किसी भी गणितीय प्रतीकों को जोड़ सकते हैं, दो- और "चार-कहानी" दोनों अंश बना सकते हैं। हर और अंश में, आप कोष्ठक, संक्रिया चिन्हों का उपयोग कर सकते हैं। परिणामस्वरूप, आप साधारण और दशमलव भिन्नों के साथ किसी भी संयुक्त क्रिया को पारंपरिक रूप में लिखने में सक्षम होंगे, अर्थात, जैसा कि उन्हें स्कूल में करना सिखाया जाता है।
यदि आप मानक नोटपैड टेक्स्ट एडिटर का उपयोग करते हैं, तो सब कुछभिन्नात्मक अभिव्यक्तियों को एक स्लैश के माध्यम से लिखना होगा। दुर्भाग्य से, यहाँ कोई दूसरा रास्ता नहीं है।
निष्कर्ष
इसलिए हमने सभी बुनियादी क्रियाओं को साधारण भिन्नों के साथ देखा, जो, यह पता चला है, इतने अधिक नहीं हैं।
यदि पहली बार में ऐसा लगता है कि यह गणित का एक कठिन खंड है, तो यह केवल एक अस्थायी प्रभाव है - याद रखें, एक बार आपने गुणा तालिका के बारे में ऐसा सोचा था, और इससे भी पहले - सामान्य कॉपीबुक और गिनती के बारे में एक से दस।
यह समझना महत्वपूर्ण है कि दैनिक जीवन में हर जगह भिन्न का उपयोग किया जाता है। आप पैसे और इंजीनियरिंग गणना, सूचना प्रौद्योगिकी और संगीत साक्षरता, और हर जगह - हर जगह से निपटेंगे! - भिन्नात्मक संख्याएँ दिखाई देंगी। इसलिए, आलसी मत बनो और इस विषय का अच्छी तरह से अध्ययन करो - खासकर जब से यह इतना कठिन नहीं है।
