मिडिल स्कूल और हाई स्कूल के छात्रों ने "अंश" विषय का अध्ययन किया। हालाँकि, यह अवधारणा सीखने की प्रक्रिया में दी गई तुलना में बहुत व्यापक है। आज, भिन्न की अवधारणा काफ़ी बार सामने आती है, और हर कोई किसी व्यंजक की गणना नहीं कर सकता, उदाहरण के लिए भिन्नों को गुणा करना।
एक भिन्न क्या है?
ऐतिहासिक रूप से ऐसा हुआ कि मापने की आवश्यकता के कारण भिन्नात्मक संख्याएँ दिखाई दीं। जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, एक खंड की लंबाई, एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का आयतन, एक आयत का क्षेत्रफल निर्धारित करने के लिए अक्सर उदाहरण होते हैं।
शुरू में, छात्रों को शेयर की अवधारणा से परिचित कराया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आप एक तरबूज को 8 भागों में विभाजित करते हैं, तो प्रत्येक को एक तरबूज का आठवां हिस्सा मिलेगा। आठ के इस एक भाग को अंश कहते हैं।
किसी भी मूल्य के ½ के बराबर हिस्से को आधा कहा जाता है; - तीसरा; - एक चौथाई। प्रविष्टियां जैसे 5/8, 4/5, 2/4 उभयनिष्ठ भिन्न कहलाते हैं। एक उभयनिष्ठ भिन्न को में विभाजित किया गया हैमीटर और विभाजक। उनके बीच भिन्नात्मक रेखा या भिन्नात्मक रेखा होती है। एक भिन्नात्मक दंड को क्षैतिज या तिरछी रेखा के रूप में खींचा जा सकता है। इस मामले में, यह विभाजन चिह्न के लिए है।
हर यह दर्शाता है कि मूल्य, वस्तु को कितने बराबर भागों में बांटा गया है; और अंश यह है कि कितने बराबर शेयर लिए गए हैं। भिन्नात्मक दंड के ऊपर अंश लिखा होता है, उसके नीचे हर लिखा होता है।
निर्देशांक किरण पर साधारण भिन्नों को दिखाना सबसे सुविधाजनक होता है। यदि एक खंड को 4 बराबर भागों में विभाजित किया जाता है, प्रत्येक भाग को लैटिन अक्षर से नामित किया जाता है, तो परिणामस्वरूप आप एक उत्कृष्ट दृश्य सहायता प्राप्त कर सकते हैं। तो, बिंदु A पूरे इकाई खंड के 1/4 के बराबर हिस्सा दिखाता है, और बिंदु B अंक 2 दिखाता है/8 इस सेगमेंट से।
भिन्नों की किस्में
अंश साधारण, दशमलव और मिश्रित संख्याएँ भी होती हैं। इसके अलावा, भिन्नों को उचित और अनुचित में विभाजित किया जा सकता है। यह वर्गीकरण सामान्य भिन्नों के लिए अधिक उपयुक्त है।
एक उचित भिन्न वह संख्या होती है जिसका अंश हर से कम होता है। तदनुसार, एक अनुचित भिन्न वह संख्या है जिसका अंश हर से बड़ा होता है। दूसरे प्रकार को आमतौर पर मिश्रित संख्या के रूप में लिखा जाता है। इस तरह के व्यंजक में एक पूर्णांक भाग और एक भिन्नात्मक भाग होता है। उदाहरण के लिए, 1½। 1 - पूर्णांक भाग, ½ - भिन्नात्मक। हालाँकि, यदि आपको व्यंजक के साथ कुछ जोड़-तोड़ करने की आवश्यकता है (अंशों को विभाजित या गुणा करना, उन्हें कम करना या परिवर्तित करना), तो मिश्रित संख्या का अनुवाद किया जाता हैअनुचित अंश।
एक सही भिन्नात्मक व्यंजक हमेशा एक से कम होता है, और एक गलत हमेशा 1 से बड़ा या बराबर होता है।
दशमलव भिन्नों के लिए, इस अभिव्यक्ति को एक रिकॉर्ड के रूप में समझा जाता है जिसमें किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व किया जाता है, जिसके भिन्नात्मक अभिव्यक्ति के हर को कई शून्य के साथ एक के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। यदि भिन्न सही है, तो दशमलव अंकन में पूर्णांक भाग शून्य होगा।
एक दशमलव लिखने के लिए, आपको पहले पूर्णांक भाग लिखना होगा, इसे अल्पविराम से भिन्न से अलग करना होगा, और फिर भिन्नात्मक व्यंजक लिखना होगा। यह याद रखना चाहिए कि अल्पविराम के बाद अंश में उतने ही अंक होने चाहिए जितने हर में शून्य होते हैं।
उदाहरण। भिन्न को 721/1000 दशमलव संकेतन में निरूपित करें।
अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने के लिए एल्गोरिथम और इसके विपरीत
समस्या के उत्तर में अनुचित अंश लिखना गलत है, इसलिए इसे मिश्रित संख्या में बदलना चाहिए:
- अंश को उपलब्ध हर से विभाजित करें;
- एक विशिष्ट उदाहरण में, अपूर्ण भागफल एक पूर्णांक है;
- और शेष भिन्नात्मक भाग का अंश है, और हर अपरिवर्तित रहता है।
उदाहरण। अनुचित भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलें: 47/5.
निर्णय। 47: 5. आंशिक भागफल 9 है, शेष=2 है। अतः 47/5 =92/5.
कभी-कभी आपको मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में प्रस्तुत करने की आवश्यकता होती है। फिर आपको उपयोग करने की आवश्यकता हैनिम्नलिखित एल्गोरिथम:
- पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक व्यंजक के हर से गुणा किया जाता है;
- परिणामी उत्पाद अंश में जोड़ा जाता है;
- अंश में परिणाम लिखा होता है, हर अपरिवर्तित रहता है।
उदाहरण। मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न के रूप में व्यक्त करें: 98/10।
निर्णय। 9 x 10 + 8=90 + 8=98 अंश है।
उत्तर: 98/10.
सामान्य भिन्नों का गुणन
साधारण भिन्नों पर विभिन्न बीजीय संक्रियाएं की जा सकती हैं। दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको अंश को अंश से और हर को हर से गुणा करना होगा। इसके अलावा, भिन्न हर वाले भिन्नों का गुणन समान हर वाली भिन्नात्मक संख्याओं के गुणनफल से भिन्न नहीं होता है।
ऐसा होता है कि परिणाम खोजने के बाद, आपको भिन्न को कम करने की आवश्यकता होती है। परिणामी अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाना अनिवार्य है। बेशक, यह नहीं कहा जा सकता है कि उत्तर में एक अनुचित अंश एक गलती है, लेकिन इसे सही उत्तर कहना भी मुश्किल है।
उदाहरण। दो सामान्य भिन्नों का गुणनफल ज्ञात कीजिए: ½ और 20/18।
जैसा कि आप उदाहरण से देख सकते हैं, उत्पाद खोजने के बाद, हमें एक कम भिन्नात्मक अंकन मिलता है। इस मामले में अंश और हर दोनों 4 से विभाज्य हैं, और परिणाम उत्तर है 5/9।
दशमलव भिन्नों का गुणन
कलाकृतिदशमलव भिन्न अपने सिद्धांत में साधारण भिन्नों के गुणनफल से काफी भिन्न होते हैं। अतः भिन्नों का गुणा इस प्रकार है:
- दो दशमलव अंश एक दूसरे के नीचे लिखे जाने चाहिए ताकि सबसे दाहिने अंक एक दूसरे के नीचे हों;
- आपको अल्पविराम के बावजूद, यानी प्राकृतिक संख्याओं के रूप में, लिखित संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता है;
- प्रत्येक संख्या में अल्पविराम के बाद अंकों की संख्या की गणना करें;
- गुणा के बाद प्राप्त परिणाम में, आपको दशमलव बिंदु के बाद दोनों कारकों के योग में जितने अंक दायीं ओर हैं उतने अंक गिनने होंगे, और एक अलग चिन्ह लगाना होगा;
- यदि उत्पाद में कम अंक हैं, तो आपको इस संख्या को कवर करने के लिए उनके सामने जितने शून्य लिखना होगा, एक अल्पविराम लगाना होगा और शून्य के बराबर एक पूर्णांक भाग निर्दिष्ट करना होगा।
उदाहरण। दो दशमलव के गुणनफल की गणना करें: 2, 25 और 3, 6.
निर्णय।
मिश्रित भिन्नों का गुणन
दो मिश्रित भिन्नों के गुणनफल की गणना करने के लिए, आपको भिन्नों को गुणा करने के लिए नियम का उपयोग करना होगा:
- मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलें;
- अंशों का गुणनफल ज्ञात कीजिए;
- हरों का गुणनफल ज्ञात कीजिए;
- परिणाम लिखें;
- अभिव्यक्ति को यथासंभव सरल बनाएं।
उदाहरण। 4½ और 62/5. का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
किसी संख्या को भिन्न से गुणा करना(अंश प्रति संख्या)
दो भिन्नों, मिश्रित संख्याओं के गुणनफल को खोजने के अलावा, ऐसे कार्य भी हैं जहाँ आपको किसी प्राकृत संख्या को भिन्न से गुणा करने की आवश्यकता होती है।
तो, दशमलव भिन्न और प्राकृत संख्या का गुणनफल ज्ञात करने के लिए, आपको चाहिए:
- अंश के नीचे की संख्या लिखें ताकि सबसे दाहिने अंक एक के ऊपर एक हों;
- अल्पविराम के बावजूद उत्पाद ढूंढें;
- परिणाम में, अल्पविराम का उपयोग करके पूर्णांक भाग को भिन्नात्मक भाग से अलग करें, दायीं ओर गिनते हुए भिन्न में दशमलव बिंदु के बाद वर्णों की संख्या।
एक साधारण भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने के लिए, आपको अंश और प्राकृतिक गुणनफल का गुणनफल ज्ञात करना चाहिए। यदि उत्तर छोटा अंश है, तो उसे परिवर्तित किया जाना चाहिए।
उदाहरण। 5/8 और 12. के गुणनफल की गणना करें
निर्णय। 5/812=(512)/8=60/8 =30/4 =15/2 =71/2.
उत्तर: 71/2.
जैसा कि आप पिछले उदाहरण से देख सकते हैं, परिणामी परिणाम को कम करना और गलत भिन्नात्मक अभिव्यक्ति को मिश्रित संख्या में बदलना आवश्यक था।
साथ ही, भिन्नों का गुणन मिश्रित रूप और प्राकृतिक गुणनखंड में किसी संख्या का गुणनफल ज्ञात करने पर भी लागू होता है। इन दो संख्याओं को गुणा करने के लिए, आपको मिश्रित गुणनखंड के पूर्णांक भाग को संख्या से गुणा करना चाहिए, अंश को उसी मान से गुणा करना चाहिए, और हर को अपरिवर्तित छोड़ देना चाहिए। यदि आवश्यक हो, तो परिणाम को यथासंभव सरल बनाएं।
उदाहरण। ढूँढ़ने के लिए95/6 और 9. का गुणनफल
निर्णय। 95/6 x 9=9 x 9 + (5 x 9)/ 6 =81 + 45/6 =81 + 73/ 6 =881/2.
उत्तर: 881/2.
10, 100, 1000 या 0, 1 के गुणनखंडों से गुणा करें; 0.01; 0, 001
निम्नलिखित नियम पिछले पैराग्राफ से अनुसरण करता है। दशमलव अंश को 10, 100, 1000, 10000, आदि से गुणा करने के लिए, आपको अल्पविराम को दाईं ओर उतने अंकों के वर्णों से ले जाना होगा जितने गुणक में एक के बाद एक शून्य होते हैं।
उदाहरण 1। 0, 065 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
निर्णय। 0.065 x 1000=0065=65.
उत्तर: 65.
उदाहरण 2। 3, 9 और 1000 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
निर्णय। 3.9 x 1000=3.900 x 1000=3900।
उत्तर: 3900.
यदि आपको एक प्राकृत संख्या और 0, 1 को गुणा करना है; 0.01; 0.001; 0, 0001, आदि, आपको परिणामी उत्पाद में अल्पविराम को बाईं ओर ले जाना चाहिए, जितने अंक एक से पहले शून्य हैं। यदि आवश्यक हो, तो प्राकृत संख्या से पहले पर्याप्त संख्या में शून्य लिखे जाते हैं।
उदाहरण 1। 56 और 0, 01 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
निर्णय। 56 x 0.01=0056=0.56.
उत्तर: 0, 56.
उदाहरण 2। 4 और 0, 001 का गुणनफल ज्ञात कीजिए।
निर्णय। 4 x 0.001=0004=0.004.
उत्तर: 0, 004.
इसलिए, परिणाम की गणना को छोड़कर, विभिन्न भिन्नों का गुणनफल खोजना मुश्किल नहीं होना चाहिए; इस मामले में, आप कैलकुलेटर के बिना बस नहीं कर सकते।
