एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ कैसे ज्ञात करें? ज्यामिति के मूल सिद्धांत

2024 लेखक: Angel Austin | [email protected]. अंतिम बार संशोधित: 2023-12-17 05:27

पैर और कर्ण एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ हैं। पहले खंड हैं जो समकोण के निकट हैं, और कर्ण आकृति का सबसे लंबा हिस्सा है और कोण के विपरीत 90^o है। पाइथागोरस त्रिभुज वह होता है जिसकी भुजाएँ प्राकृत संख्याओं के बराबर होती हैं; इस मामले में उनकी लंबाई को "पायथागॉरियन ट्रिपल" कहा जाता है।

मिस्र का त्रिकोण

वर्तमान पीढ़ी को जिस रूप में अभी स्कूल में पढ़ाया जाता है, उस रूप में ज्यामिति सीखने के लिए, यह कई सदियों से विकसित हो रहा है। मूल बिंदु पाइथागोरस प्रमेय है। एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ (आकृति पूरी दुनिया में जानी जाती है) 3, 4, 5 हैं।

कुछ लोग "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं" वाक्यांश से परिचित नहीं हैं। हालाँकि, प्रमेय वास्तव में इस तरह लगता है: c² (कर्ण का वर्ग)=a²+b²(वर्गों के पैरों का योग)।

गणितज्ञों में, 3, 4, 5 (सेमी, मी, आदि) भुजाओं वाले त्रिभुज को "मिस्र" कहा जाता है।यह दिलचस्प है कि आकृति में अंकित वृत्त की त्रिज्या एक के बराबर है। नाम की उत्पत्ति 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व के आसपास हुई थी, जब यूनानी दार्शनिक मिस्र की यात्रा पर गए थे।

पिरामिड का निर्माण करते समय आर्किटेक्ट और सर्वेयर ने 3:4:5 के अनुपात का इस्तेमाल किया। इस तरह की संरचनाएं आनुपातिक, आंख को भाती हैं और विशाल हैं, और शायद ही कभी ढहती हैं।

एक समकोण बनाने के लिए, बिल्डरों ने एक रस्सी का इस्तेमाल किया जिस पर 12 गांठें बंधी थीं। इस मामले में, एक समकोण त्रिभुज के निर्माण की संभावना बढ़कर 95% हो गई।

समान अंकों के चिह्न

• एक समकोण त्रिभुज में एक न्यून कोण और एक बड़ी भुजा, जो दूसरे त्रिभुज में समान तत्वों के बराबर होती है, अंकों की समानता का एक निर्विवाद संकेत है। कोणों के योग को ध्यान में रखते हुए, यह साबित करना आसान है कि दूसरे न्यून कोण भी बराबर हैं। इस प्रकार, त्रिभुज दूसरी विशेषता में समान हैं।
• जब दो आकृतियों को एक-दूसरे पर आरोपित किया जाता है, तो उन्हें इस प्रकार घुमाएँ कि वे संयुक्त होकर एक समद्विबाहु त्रिभुज बन जाएँ। इसकी संपत्ति के अनुसार, पक्ष, या यों कहें, कर्ण, समान हैं, जैसे आधार पर कोण हैं, जिसका अर्थ है कि ये आंकड़े समान हैं।

पहले चिन्ह से यह साबित करना बहुत आसान है कि त्रिभुज वास्तव में बराबर हैं, मुख्य बात यह है कि दो छोटी भुजाएँ (अर्थात पैर) एक दूसरे के बराबर हैं।

त्रिकोण II विशेषता में समान होंगे, जिसका सार पैर की समानता और न्यून कोण है।

एक समकोण त्रिभुज के गुण

समकोण से कम की गई ऊंचाई आकृति को दो बराबर भागों में विभाजित करती है।

एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं और उसकी माध्यिका को नियम द्वारा आसानी से पहचाना जा सकता है: माध्यिका, जो कर्ण तक नीचे होती है, उसके आधे के बराबर होती है। एक आकृति का क्षेत्रफल बगुला के सूत्र और इस कथन से ज्ञात किया जा सकता है कि यह टाँगों के आधे गुणनफल के बराबर है।

एक समकोण त्रिभुज में कोणों के गुण 30^o, 45^o और 60^o.

• 30^o कोण के साथ, याद रखें कि विपरीत पैर सबसे बड़ी भुजा के 1/2 के बराबर होगा।
• यदि कोण 45^o है, तो दूसरा न्यूनकोण भी 45^o है। इससे पता चलता है कि त्रिभुज समद्विबाहु है, और उसके पैर समान हैं।
• 60^o के कोण का गुण यह है कि तीसरे कोण का डिग्री माप 30^o है।

तीन सूत्रों में से किसी एक द्वारा क्षेत्र का पता लगाना आसान है:

1. ऊंचाई और भुजा के माध्यम से जिस पर यह गिरता है;
2. हेरॉन के सूत्र के अनुसार;
3. भुजाओं पर और उनके बीच के कोण पर।

एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ, या यों कहें कि पैर, दो ऊँचाइयों के साथ अभिसरण करते हैं। तीसरे को खोजने के लिए, परिणामी त्रिभुज पर विचार करना आवश्यक है, और फिर, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, आवश्यक लंबाई की गणना करें। इस सूत्र के अतिरिक्त, क्षेत्रफल और कर्ण की लंबाई के दोगुने का अनुपात भी है। छात्रों के बीच सबसे आम अभिव्यक्ति पहली है, क्योंकि इसमें कम गणना की आवश्यकता होती है।

एक आयताकार पर लागू प्रमेयत्रिकोण

एक समकोण त्रिभुज की ज्यामिति में प्रमेयों का उपयोग शामिल है जैसे:

1. पायथागॉरियन प्रमेय। इसका सार इस तथ्य में निहित है कि कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। यूक्लिडियन ज्यामिति में, यह संबंध महत्वपूर्ण है। यदि एक त्रिभुज दिया गया है, उदाहरण के लिए, SNH, तो आप सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। एसएन कर्ण है और इसे खोजने की जरूरत है। फिर एसएन²=एनएच²+एचएस²।



2. कोज्या प्रमेय। पाइथागोरस प्रमेय को सामान्य करता है: g²=f²+s²-2fscos उनके बीच के कोण का. उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज DOB दिया गया है। पैर DB और कर्ण DO ज्ञात हैं, OB ज्ञात करना आवश्यक है। फिर सूत्र यह रूप लेता है: OB²=DB²+DO²-2DBDO cos कोण D. तीन परिणाम हैं: त्रिभुज का कोण न्यून होगा, यदि तीसरे की लंबाई के वर्ग को दो भुजाओं के वर्गों के योग से घटाया जाए, तो परिणाम शून्य से कम होना चाहिए। यदि यह व्यंजक शून्य से बड़ा है तो कोण अधिक है। कोण समकोण होता है जब शून्य के बराबर होता है।
3. साइन प्रमेय। यह पक्षों के विपरीत कोणों के संबंध को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, यह भुजाओं की लंबाई और विपरीत कोणों की ज्याओं का अनुपात है। त्रिभुज HFB में, जहाँ कर्ण HF है, यह सत्य होगा: HF/sin of angle B=FB/sin of angle H=HB/sin of angle F.